Шапошников С. В. - Математический анализ I - Классификация точек множества

No video

Шапошников С. В. - Математический анализ I - Классификация точек множества

Рет қаралды 13,648

Күн бұрын

0:00:10 1. Утверждение о связности числовой прямой
0:17:42 2. Классификация точек множества
0:26:05 3. Теорема о предельной точке множества
0:41:30 4. Теорема Больцано о предельной точке
0:54:45 5. Теорема о замкнутом множестве
1:13:57 6. Нетривиальный пример замкнутых множеств

Пікірлер: 29

@aeuonep 5 жыл бұрын

Спасибо за лекцию! Шапошников объясняет просто офигенно!

@gf5012 3 жыл бұрын

Если не трудно, объясните, почему на 1ч16м17с лектор вводит последовательность частичных пределов sₙ , которая сходится к какому-то пределу s? Почему эта послед. должна вообще сходиться к чему-то? Например, к чему сходится посл. ч. пределов последовательности aₙ=(-1)ⁿ ? Её част. пределы s= 1 и -1. Они куда-то сходятся?

@dormantaeon1769 2 жыл бұрын

Он хочет доказать, что мн-во частичных пределов последовательности замкнуто, для этого проверяет выполнение пункта 4 предыдущей теоремы (мн-во замкнуто, если предел любой сходящейся последовательности его элементов принадлежит множеству). Для проверки он предполагает, что найдётся какая-то сходящаяся последовательность частичных пределов. В вашем примере нам надо построить какие-то сходящиеся последовательности из множества {1; -1}; таких последовательностей может быть два класса: в первом с некоторого номера все члены = 1, во втором = -1. Пределы таких последовательностей равны, соответственно 1 и -1, а значит они принадлежат самому мн-ву частичных пределов. Эта ситуация, насколько понимаю, рассмотрена на 01:04:40.

@YriLee Жыл бұрын

12-я минута. Утверждение 2. Два закрытых числовых множества вдруг становятся открытыми. Это что-то из Хогвартса.

@dormantaeon1769 Жыл бұрын

@@YriLee сори, не вслушивался в то, что там на 12й минуте, но попробую угадать, из-за чего вопрос. Во-первых, не "закрытые" множества, а замкнутые множества (хотя в английском варианте это closed sets, действительно "закрытые"). Во-вторых, при первом знакомстве с темой кажется, что множество либо открыто, либо замкнуто - но это не так. Бывают и не открытые и не замкнутые, а бывают одновременно открытые и замкнутые.

@Krab1o 2 жыл бұрын

Подскажите, пожалуйста, идею доказательства упражнения, которое дано после теоремы о предельной точке.

@mathemag 2 жыл бұрын

Кто-нибудь может ответить на глупые вопросы про совпадение множеств частичных пределов и замкнутых множеств? 1) В доказательстве подразумевается, что множество частичных пределов счётно (оно явно нумеруется). Почему это так? Множество всех подпоследовательностей нетривиальной последовательности, в общем случае, несчётно (чтобы это понять, достаточно установить его равномощность множеству всех подмножеств счётного множеств, т.е., читай, булеану натуральных чисел). Если общее число подпоследовательностей несчётно, то с чего взято, что множество частичных пределов - счётно? То есть, этот факт, по идее, нужно доказать отдельно? Или он был где-то доказан ранее, а я упустил? 2) С одной стороны, если множество частичных пределов несчётно, то доказательство рассыпается (нельзя пронумеровать частичные пределы; собственно, нельзя пронумеровать все сходящиеся подпоследовательности, а если можно, то как - неочевидно). С другой стороны, лектор сказал, что каждое замкнутое тоже есть множество частичных пределов... то есть отрезок - это множество частичных пределов какой-то последовательности? А значит, оно может быть несчётным, ну как минимум косвенное указание на это дал сам же лектор... который использует счётность этого множества в доказательстве. Где упущение в моих рассуждениях? Кроме того, несчётна сама числовая ось, т.е., предполагается, что есть последовательность, множество частичных пределов которой - это... все действительные числа? 0_0 Это надо какой-то очень странный обход всех рациональных чисел сделать - или? У меня нет идей, как это должно работать, если честно, хотя понятно, что множество рациональных чисел всюду плотно, но... но... но как? Может кто подсказать? И если да, это действительно так работает, то как будет выглядеть доказательство с учётом несчётности?

@TheUtiputi 2 жыл бұрын

1) s(k) просто последовательность частичных пределов, там нет речи о том, чтобы перенумеровать все частичные пределы S. Просто берется любая сходящаяся последовательность принадлежащая S. 2) да, где-то выше в лекциях была задача привести пример последовательности, множество частичных пределов которой отрезок [0;1]. Последовательность можно задать табличным обходом рациональных чисел, достаточно сюръекции 1/2 1/3, 2/3 1/4, 2/4, 3/4 итп,. это для отрезка. Любой(не нужен какой-то экзотический) способ нумерации всех рациональных чисел даст последовательность, множество частичных пределов которой всё R.

@egor_neo 4 жыл бұрын

Для тех, кто будет пересматривать - в 3 пункте есть некоторая неточность в доказательстве.

@user-bc6zb1bo8i 4 жыл бұрын

Можете уточнить, в чем заключается неточность?

@egor_neo 4 жыл бұрын

@@user-bc6zb1bo8i там в доказательстве надо выбирать обязательно симметричную окрестность, в которой лишь конечное число точек множества, иначе когда мы потом берем Ueps туда могут случайно попасть незапланированные точки (которых не было в U(a)andE)

@user-mo6vz5mg3t 3 жыл бұрын

@@egor_neo не очень понимаю ваше замечание. Мы берем ε - минимальное из всех расстояний от a до любого x_k. Тогда по определению интервала ни один из x_k не принадлежит множеству U_ε(a) and E. Значит, так как мы брали все точки x_k (а их конечное число) такие, что они лежат в U(a) and E, то в U_ε(a) and E может остаться только точка a (если она входила в U(a) and E). Тогда если берем U_ε(a)\{a} получаем, что пересечение U'_ε(a) and E равно пустому. То есть в симметричной окрестности, которую мы берем, по построению нет точек, входящих в пересечение (кроме может быть a). Или я ошибаюсь?

@egor_neo 3 жыл бұрын

@@user-mo6vz5mg3t Там фишка в том, что когда мы предположили противное, нам могли выдать какой-то очень плохой промежуток, представьте, что, например, там всё так устроено - точка а, [a,a+1\2) - пусто, [a+1/2,+inf] в E входят просто все точки, а на (a+5,a] в множество E входит, например, точка a+4, и только она, тогда взяв симметричный промежуток с eps = 4, у нас в него попадет куча точек, которые были справа от a+1/2, и все, пустой\почти пустой промежуток мы не получили, поэтому его надо еще поджимать, чтобы он был меньше, чем исходно данный.

@timothytiberius487 3 жыл бұрын

@@egor_neo, извините, но ваше построение неверно. Вы указали что на промежутке от а до а+5 у нас единственная точка: а+4. Вы сказали что бесконечно много точек у нас от а+1/2 до +inf. А это значит что все те бесконечные точки(кроме а+4) находятся справа от а+5. Если вы возьмёте епсилон=4, то в проколотой окрестности не будет вообще ни одной точки. Так что неясно до сих пор о чем вы говорите.