tu t'es surtout égarer mdr

Une horreur oui. Si il y en a que ça amuse tant mieux pour eux. Ça me faisait tellement ch....er qu’a la fin je n’essayais même plus de comprendre. Au dernier examen, zéro sur toute la ligne. Heureusement la géométrie et la trigonométrie m’on sorti de là .

@@claudedaco3339 Bah, personne ne vous oblige à regarder cette chaîne, si cela vous déplaît ;) Mais avec la bonne humeur et le dynamisme de l'auteur(ou des auteurs plutôt) de ces vidéos, et la varité é des sujets et niveaux abordés ,cela m'étonnerait que vous n'y trouviez pas quelque chose qui vous plaît :)

Perso, j'ai analysé directement f(x) = x² + 1/x² Sa dérivée 2x - 2/x³ s'annule en x = 1 et en x= -1 avec f(x) = 2 Conclusion: f(x) ≥ 2 et donc : (a² + 1/a²) + (b² + 1/b²) ≥ 4 quels que soient les couples (a,b) Sachant que a² + 1/a² + b² + 1/b² = 4 Il n'existe pas d'autres solutions que les 4 couples (1;1) , (-1;-1) , (1;-1) , (-1;1) (qu'on voit dès le début 1+1+1+1 = 4) PS: en détaillant, entre 0 et l'infini, x² est croissante, 1/x² est décroissante et donc x² + 1/x² passe par l'extremum là où la dérivée s'annule. (x² + 1/x² est symétrique par rapport à l'origine)

@@Ctrl_Alt_Sup Oh les barbares! Ça sent sup et spé, ça. Je vous assure qu'il peut exister un grand bonheur dans la simplicité (volontaire ou pas), Commentaire d'un fruste :)🙃

PAREIL

le * pour la multiplication c'est une convention d'informatique, vu que le x est déjà réservé pour les variables et le . pour les décimales. En math classique tu vas trouver le * pour des opérations qui sont particulières et généralement toujours définies avant d'être utilisées, sinon pars du principe que c'est une multiplication. La division c'est toujours /, le : on ne le retrouve quasiment plus dès le lycée.

Qq1 l'a résolu sur C,? Moi je sèche

Il n'est jamais dit que a et b sont des entiers naturels, donc X + 1/x >= 2 reste à démontrer.

​@@FrenchCyclotron( x-1)²≥0 donc x²-2x+1≥0 et donc x + 1/x ≥ 2 Le fait que a et b soient ou non entiers changent rien

@@samyichalalen411 Oui d'accord, c'est le fait de déduire que la seule solution est x = 1 qui n'est valable que si x est un entier naturel. Autrement, il peut y avoir une infinité de solution.

Mon second réflexe sur ce pb (après avoir noté les symétries) a été de prouver que le min de x -> x+1/x est bien 1. (J'ai failli oublier de préciser que x remplace a² donc x>0)

Cela donne une solution, mais cela ne prouve pas que ces solutions sont uniques

Il n'y a pas à se torturer la tête, cette petite chose est beaucoup plus simple à résoudre que ce qu'il fait : On considère, pour x>0, la fonction f : x ----> x+1/x. On dérive gentiment ça en 1-1/x² et on s'aperçoit alors que la fonction admet un minimum absolu en 1, et que f(1)=2. On en déduit que pour que f(a²)+f(b²)=4, alors a²=b²=1 donc que les seules valeurs possibles pour a et b sont 1 et -1. Voilà, c'est torché. On peut aller boire l'apéro pendant que le monsieur termine.

Et pq chaque terme vaudrait 1 au fait?

Oui, ce sont en quelque sorte (en n'employant pas rigoureusement les termes) les racines évidentes du polynôme

@@77kiki77 Si si on peut rigoureusement dire qu'il y a un polynôme de 2 ou d'une var, du 4e ou 2e degré, selon les goûts. C'est mon 3e réflexe (voir une forme quadratique d'une seule var) quand je vois cette formule (mon 1er étant les symétries, mon 2e l'étude de x->x+1/x pour x = a² donc x>0). Il y a plein de façon d'aborder le genre de pb.

@@cainabel2553 tu peux développer sur ce que tu fais après ça svp?

​@@arthurgramond9347 Si tu vois une forme quadratique de deux variables, ce n'est pas simple. Mais tu n'as pas besoin de considérer à la fois a et b comme des variables. Si tu vois une forme quadratique d'une variable, autrement dit un polynôme de degré 2, tu le traites comme tel, tu utilises le discriminant, etc. Mais les transformations illustrées par la vidéo sont une meilleure piste!

Comment pouvez vous affirmer si péremptoirement que pour 1 bon, il y a 9 de mauvais? Vous êtes médaille Fields? Docteur en pédagogie des mathématiques? Ça sent l'échec scolaire, tout ça. Et le blâme d'autrui. Et l'aveuglement quant à ses propres capacités intellectuelles. Affrontons la réalité, que diable! Souvent, si on (et je m'inclus dans ce on) ne comprend pas, ce n'est pas parce que l'explication est déficiente. C'est qu'on n'est tout simplement pas capable de comprendre. Cela est-il si difficile à comprendre, justement, et à admettre? Là, j'ai compris. Merci pour ces révisions.

@@guyeysseric9442 ce n est pas tant les profs qui sont parfois mauvais. C est plutôt l idéologie dominante à L EN. qui fait beaucoup de dégâts. A commencer par un nivellement par le bas.

Attention ici x est fonction de a (x=a²) donc f'(x)=2a-2/a³ qui n'est pas égal à 1-1/x²

@@arthurgramond9347 Tu peux préciser?

C'est la bonne méthode. Pour éviter de t'embêter à la fin tu dis juste que comme le minimum absolu de ta fonction f est égal à 2 et que tu as f(a²)+f(b²)=4, cela force a²=b²=1 (si tu as par exemple a² différent de 1, tu as un nombre >2 ajouté à un nombre qui vaut au moins 2, donc c'est >4). Après tu résous a²=1 et b²=1 comme un gentil petit lycéen.

Maintenant il ne te reste plus qu'a expliquer ton raisonnement aux élèves de 3 ème et seconde ;)

Comment tu trouves a-1/a =0 et b-1/b =0 directement sans passer par cette méthode ?

@@arthurgramond9347 j'ai juste fini plus vite au début bien sur qu'il faut utiliser cette méthode a partir de 6 : 18, j'ai juste pris un raccourci.

Houla faut pas tout mélanger, c'est dans le cas de multiplication ou division de fraction ici c'est juste addition soustraction donc non tu peux pas

Comment tu veux passer par là (par l'inverse) pour avoir la solution? Je ne comprends pas du tout ce que tu sous entends!

à la limite tu pourrais faire un changement de variable, avec A=a² et B=b². Ce qui donne A+1/A+B+1/B=4, mais je ne suis pas sûr que ça nous mène très loin

Oui tu as raison

disons que tu as 4 solutions, tu dois alors répondre à la question : est-ce que ce sont les seules ?

@@warny1978 Je préfère prendre la valeur absolue et dire qu'on a un ensemble de solutions : |a| = |b] = 1 et ensuite on explicite avec + et -

Tu peux poser f(x)=x+1/x et étudier la fonction autour de 1... et ainsi démontrer rigoureusement que f(1)=2 est bien un min de la fonction. C'est une des approches possibles de ce pb.

Ce que tu sembles être en train de faire c'est un brouillon de démonstration par l'absurde, tu supposes qu'il y ait une autre solution differente de (+/- 1, +/-1) que tu écris (1 + k, 1 + p) avec k et p different de -2 dont tu tires des absurdités par une disjonction de cas.

Non pour avoir l’équation d’un cercle tu dois avoir x2 + y2 = r avec r différent de 0. Ici, r = 0 ce qui correspond à « l’équation d’un point » de coordonnée 0,0. De plus, tu n’aurais pas d’autres solutions dans C. Tu peux voir que l’équation correspond à peu près au module d’un nombre complexe : |z|^2 = x^2 + y^2 = 0 Or le module d’une nombre complexe est égale a 0 implique que x = 0 ET y = 0. Ici x = a - 1/a et y = b - 1/b

Oui, les solutions ( a, b ) sont sur un cercle centré en O et de rayon racine (2), comme le laisse penser les quatre solutions lorsque a et b sont des entiers relatifs (1,1), (1,-1), (-1,1) et (-1,-1). On peut le démontrer en faisant une rotation de pi / 4 dans le plan complexe’ auquel cas l'expression devient une simple équation de cercle.

Dans C, avec a et b complexes, si b est un complexe quelconque’ on obtient une équation du second degré en a carré qui a donc deux solutions, soit quatre valeurs de a possibles.

J'ai oublié une partie de l'équation, autant pour moi : les seules solutions réelles sont bien celles dans Z.

"la somme des fractions" Quelles fractions? J'ai pas suivi

Chiant

Met au même dénominateur, passe ton quatre de l'autre coté et tu fera apparaitre (a²-b²)²=0 ou (b²-a²)²=0 donc tu les a bien si

Une formule an (a-b) n'est pas symétrique, a et b ne sont pas interchangeable, on voit facilement que le pb a *un nombre incroyable de symétries*: a et b a et -a b et -b a et 1/a b et 1/b

Solutions plutôt que racines, non?

Et pq ça? Qu'est-ce qui se passerait s'ils avaient la même valeur? Et si vous introduisez c, d, e, f... valant chacun un nombre entier, il faut aussi que a et b ne valent pas la même valeur? Donc en introduisant des var supplémentaires, je peux vous interdire toute solution entière?

on mets tt sur le meme dénominateur

@@adrienwillermain6604 j'arrive pas à capter cette étape justement. Je vois pas comment on fait

1° ) Quand tu as une fraction égale à 0, c'est le numérateur qui dois être égal à 0 car le dénominateur ne pourra jamais l'annuler. x/5 = 0 a même solution que x/8 = 0 etc... alors que 3/x = 0 n'a pas de solution car 3 =/= 0 On voit donc une equivalence entre le rapport = 0 et le numérateur = 0 (Sans pour autant qu'il y ait ce que tu as écrit, c'est les equations et non les valeurs qui sont équivalentes) 2° ) la mise au mm dénominateur consiste à rendre comparable des choses qui ne le sont pas à la base. Par exemple si tu devais comparer un lot de 10 balles de tennis avec un tonneau de 3 litres remplis de balles de tennis, c'est difficile de voir qui est le plus grand. Il faut donc faire en sorte que l'un d'entre-eux soit exprimé en terme de l'autre (que tous les deux soient exprimés en quantité de tonneaux ou en nombre de balles). C'est souvent l'indicateur le plus facile qui concède et adopte l'écriture du plus problématique. Dans le cas de fractions: Si je te dis que que j'ai acheté "a" pizzas entières et aussi une tranche de pizza supplémentaire (1/a) Est-ce plus simple d'exprimer le lot en termes de tranches de pizza ou de pizzas entières ? En tranches de pizza naturellement. Une pizza a "a" tranches de pizza (car a × 1/a = 1 pizza) donc comme on a "a" pizzas, on a "a × a = a^2" tranches de pizzas. On oublie pas la tranche de pizza supplémentaire qu'on a commandé : on a "a^2 + 1" tranches de pizzas soit (a^2 + 1)/a D'un point de vue général et théorique, la mise au même denominateur consiste à multiplier le nombre sans denominateur (ou de denominateur = 1 si tu veux) par celui de l'autre c'est à dire à "tranchifier" l'entier. Level au dessus : Si tu veux mettre au même denominateur deux fractions à denominateur différent. Le principe reste le mm : trouver un instrument de mesure commun. La technique qui marche tout le temps consiste à multiplier les numérateurs et denominateurs d'une des fractions par le denominateur de l'autre. Exemple concret avec 3/ *5* + 7/ *8* 3/5 = (3 × *8* )/(5 × *8* ) = 24/40 7/8 = (7 × *5* )/(8 × *5* ) = 35/40 donc la somme des deux vaut exactement (35 + 24)/40 = 59/40 En pratique on a trouver un découpage commun des parts des deux pizzas qui avaient été coupées différemment. - la première étaient coupées en 5 tranches - la deuxième en 8 tranches. Ce que cette technique fait c'est qu'elle t'assures que tu peux decouper les pizzas de nouveau et toujours arriver vers un découpage équivalent ici de 5×8 = 40 tranches. Hope it helps!

"(a²-1)/a = a²-1" parce que égal à 0 ! (a²-1)/a = 0 veut dire que a²-1 = 0 (a ne peut pas être nul car au dénominateur, on peut donc l'enlever vu que c'est l'égalité à 0 de (a²-1)/a qui compte) Si (a²-1)/(a + b + c + d + e + f) = 0, seul a²-1 = 0 sera 'pertinent', (a + b + c + d + e + f) anecdotique et sans effet (car pas nul, interdit la nullité au dénominateur !). "a-1/a=0 à (a²-1)/a" (a c'est a²/a, a^3/a² a^4/a^3, etc. a peut donc être écrire a²/a, a-1/a = a²/a -1/a = (a²-1)/a (on les met en fractions de même dénominateur)

Eh oui Monsieur le Professeur pour adhérer à la démarche pédagogique "l'élève de base" a quelquefois besoin d'enseignants qui, sans tomber dans le copinage savent se mettre à sa portée. Il comprend mieux quand il entend parler d'équipes, de candidats et d'éléments qui peuvent passer d'un côté à l'autre sans changer les équilibres... La rigueur certes louable que vous prônez risque de renforcer l'image austère des mathématiques et donc d'éloigner de nombreux élèves. Pour ce qui est "d'envoyer de l'autre côté" le vieil ingénieur que je suis peut témoigner s'en est donné à coeur joie durant toutes mes études et dans ma vie professionnelle et cela sans aucun scrupule :-)

T'entends par quoi étudier la fonction x->x²+1/x²

@@arthurgramond9347 déduire que 2 est un minimum

Tu avais la bonne idée de base mais tu as trébuché juste à la fin. Tu te compliques la vie pour rien du tout en choisissant cette fonction. Voilà ma méthode : On considère, pour x>0, la fonction f : x ----> x+1/x. On dérive gentiment ça en 1-1/x² et on s'aperçoit alors que la fonction admet un minimum absolu en 1, et que f(1)=2. On en déduit que pour que f(a²)+f(b²)=4, alors a²=b²=1 donc que les seules valeurs possibles pour a et b sont 1 et -1.

​@@italixgaming915 oui c'est également valide

(a+b)² = a² + 2ab + b², si b = 1/a 2ab = 2. Là on part de a² + 1/a², pour remplacer par (a + 1/a)² il faut 'compenser' le 2 qui est apparu (via le développement de (a+b)²) en le soustrayant (rien ne se perd, rien ne se crée, tout se transforme).

Préliminaire évident : noter la symétrie et ne traiter que a et b positifs. Finaliser en ajoutant les valeurs opposées

Je commence par voir que les variables sont toutes au carré donc le signe ne joue pas; donc autant ne chercher que les solutions positives. C'est mon 1er réflexe.

@@cainabel2553 oui j'ai fais la même chose, les solutions négatives je les ai déduites de mes solutions positives

Avec plaisir. Ravi d’appendre d’appendre que les réflexes et raisonnement arrivent 😁

Non tu peux avoir a = b

Quel élément suggère que ces deux variables ne doivent pas être égales? Et pourquoi ne dites vous pas que a et b doivent être différents de 1, parce que l'équation utilise une variable qui vaut 1: l'équation s'écrit a²+1/a²+b²+1/b²=2 mais on peut poser c=1 et l'écrire a²+c/a²+b²+c/b²=2 donc voilà cela imposerait que a ne peut pas valoir la même chose que c? Ou alors on introduit d = -1 on écrit a²+c/a²+b²+c/b²=d+3 et donc a et b doivent être différents de -1, puisque deux variables ne peuvent pas avoir la même valeur?

Oulah tu t'es compliqué la vie comme jamais... On considère, pour x>0, la fonction f : x ----> x+1/x. On dérive gentiment ça en 1-1/x² et on s'aperçoit alors que la fonction admet un minimum absolu en 1, et que f(1)=2. On en déduit que pour que f(a²)+f(b²)=4, alors a²=b²=1 donc que les seules valeurs possibles pour a et b sont 1 et -1.