vous avez une façon tout à fait ludique et communcative de faire aimer les maths même aux plus réfractaires comme moi qui pourtant doivent se remettre dedans pour préparer un concours, j'aimerais avoir un prof particulier comme vous pour m'aider, bravo pour ce que vous faites

Je n'aurais pas imaginé qu'il y ait 9 couples de solutions à cette équation. Brillant !! Très bien expliqué en plus.

Bravo pur cette belle résolution et votre pédagogie! à 8minutes 50 une petite coquille pour le couple (35;14) erreur : (4;35)

Vous pourriez aussi décomposer 100 en produit de facteurs premiers pour observer tous ses diviseurs et enlever le risque d'en oublier👍🏾

C'est un bonheur de voir vos vidéos ...bravo..et surtout ne vs arrêtez pas

Excellente vidéo, j'aimerais par contre pointer du doigt une petite erreur de rigueur, en effet, on avait certes que x et y sont strictement positifs , mais rien nous dit que x-10 et y-10 le sont, donc il aurait fallu considérer les produits de négatifs ( -10 * -10 = 100 ..etc ) , et voir que dans tout ces cas là, on avait x ou y négatif ( donc au final, pas de solution supplémentaire, mais on l'avait pas montré avant ) Une autre méthode aurait été de dire que 1/x > 0 , donc 1/10 = 1/x + 1/y > 1/y donc y > 10 , ainsi on a bien que y-10 > 0 aussi

Je suis Haïtien, avec ton aide et avec ta capacité après quelque temps je serai un grand enseignant en math🙌👌

Équation très intéressante, merci 👍🏼

Merci souvent je vous suis et je suis d'accord avec vous dans tous vos cours de Maths et je vous remercie et vous encourage beaucoup !

Let's make a generalization to such mathematical question. For such problem 1/x + 1/y = 1/n where n is a prime number there are 3 solutions. The FORMULAS for solutions: 1. (x,y) = (n(n+1), n+1) 2. (x,y) = ((n+1), (n(n+1)) 3. (x,y) = (2n, 2n) Only three solution, because the square of a prime number (n^2) has three pairs of factors (three pairs of divisors): 1) 1 * n^2 2) n^2 * 1 3) n * n there are 3 solutions ----> (prime number)^2 Amount of divisors = amount of solutions = (2+1) -----> (exponent +1) If n is an even numbers there are much more solutions (it depends of an amount of divisors of n^2, and what they are like). Ex: if n = 6; n^2 = 36 there are 9 solutions ----> 36 = 2*2*3*3 = 2^2 * 3^2 Amount of divisors = amount of solutions = (2+1) * (2+1) = 3 * 3 = 9 -----> (exponent +1) * (exponent +1) Ex: if n = 8; n^2 = 64 there are 7 solutions ----> 64 = 2*2*2*2*2*2 = 2^6 Amount of divisors = amount of solutions = (6+1) = 7 -----> (exponent +1) Ex: if n = 10; n^2 = 100 there are 9 solutions ----> 100 = 2*2*5*5 = 2^2 * 5^2 Amount of divisors = amount of solutions = (2+1) * (2+1) = 3 * 3 = 9 -----> (exponent +1) * (exponent +1) If n is an odd numbers (but not a prime) there are much more solutions (it depends of an amount of divisors of n^2, and what they are like). Ex: if n = 9; n^2 = 81 there are 5 solutions ----> 81 = 3*3*3*3 = 3^4 Amount of divisors = amount of solutions = (4+1) = 5 -----> (exponent +1) Ex: if n = 15; n^2 = 225 there are 9 solutions ----> 225 = 3*3*5*5 = 3^2 * 5^2 Amount of divisors = amount of solutions = (2+1) (2+1) = 9 -----> (exponent +1) * (exponent +1) Ex: if n = 25; n^2 = 625 there are 5 solutions ----> 625 = 5*5*5*5 = 5^4 Amount of divisors = amount of solutions = (4+1) = 9 -----> (exponent +1) * (exponent +1) The FORMULA for factors: (x - n)(y - n) = n^2

Merci encore. Enseignant en histoire en collège,je n'ai de cesse de regarder tes vidéos. Rapide et pédagogique, tu insistes bien sur les réflexes à avoir notamment la factorisation et autres. Merci de nouveau.

Il manque la vérification pour les valeurs négatives de x-10 et y-10 (x et y sont strictement positifs... pas x-10 et y-10), mais on s'aperçoit rapidement qu'elles ne sont pas possibles, car ça imposerait, à chaque fois, que x ou y soit négatif (ou, dans le cas -10x(-10), que x et y soient nuls, ce que l'énoncé exclut).

Vous avez vraiment un don de nous détendre et nous faire aimer les maths ❤ merci !

Use the formula. If 1/a + 1/b = 1/c and a, b, and c are positive integers, then 1/(c + 1) + 1/(c + 1)(c) = 1/c 1/(10 + 1) + 1/(10 + 1)(10) = 1/10 1/11 + 1/110 = 1/10 (Note: the commutative property obviously applies to the LHS.)

Merci pour tes supers cours

T'es formidable ❤ Merci. Tu présentes les maths comme un jeux. T'es un génie. Salut champion 🎉

vous etes le big boss des maths et je trouve votre exuberence d'explication touchante mille fois merci

Interessant exercice . Surtout la recherche de la factorisation qui permet d obtenir le produit .

plus simple 1/x + 1/y =1/10 équivaut x y -10 y = 10 x ou bien y(x - 10 ) = 10 x autrement y= 10 x / (x - 10 ) x et y positifs avec x et y supérieur ou égal a 11 pas de solution pour x = 10 enfin avec mon respect simplement on fixe une valeur de x et en conséquence on trouve la valeur correspondante a y simple équation y = f(x) NB: le nombre de solution est infini sur un domaine de x [11 ; + infini [ la condition que x et y soient des entiers ( surtout pour y ) nous ramène a une méthodologie anti - mathématique . merci pour votre attention

Résolu de la même manière sur la première partie, en aboutissant à [y = 10x/(x-10)], mais en utilisant (x=20;y=20) comme point pivot (solution évidente) et 20>= y > 10 ; x > 10 car impossibillité technique sinon (on peut intervertir les limites sur x et y si x= 10y/(y-10) ). Donc 9 cas à tester: x:11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 et y devant rester entier 11 -> 110 12 -> 60 13 -> pas entier 14 -> 35 15 ->30 16-> pas entier 17-> pas entier 18-> pas entier 19-> pas entier puis inclure les symétriques (x et y intervertis) -> 4 couples, leurs symetriques, et (20 ; 20) PS: la manière est assez "sale", mais se fait de tête, sans papier ni tableau.

Si ça peut intéresser quelqu'un voici ma solution analytique, sans astuce : je passe les détails et j'exprime y en fonction de x : y=10*x/(x-10) Par division euclidienne 10x=(x-10)*10+100 il vient y=10 +100/(x-10), or y doit être entier donc x-10 doit être un diviseur de 100 100=(2^2)*(5^2). il y a donc 9 diviseurs de 100 : (1,2,4,5,10,20,25,50,100) donc 9 solutions, pour la première x-10=1 d'où x=11 y=110 pour la seconde x-10=2 d'où x=12 y=60 pour la troisième x-10=4 d'où x=14 y= 35 etc.. Note : lorsqu'un nombre se décompose en a^b*c^d le nombre de diviseurs est (b+1)*(d+1)

Comme toujours, l'amphi est plein pour assister au spectacle 👍

Pouvez vous nous faire une vidéo sur l'encadrement d'une racine carré à l'unité, au dixième et au milième près merci .

Je retrouve avec vos vidéos la délicieux moment où en court de math ça faisti "tilt" et j'avais compris. Merci monsieur.

Formidables explications. Tout le monde adorerait vous avoir comme professeur. Vos méthodes sont compréhensibles et claires expliquées sur un ton amical et proche. J'adore ! Je suis en prépa et ça m'aurait bien aidé d'avoir un tel prof au lycée ! Continuez de sortir de telles vidéos svp.

En python: import sympy x = sympy.Symbol('x') for y in range(11, 111): xi = sympy.solve(10*x/(x - 10) - y, x) #print(xi, y) if xi[0].is_integer: print(xi[0], y) on sait qu'il n'y a pas d'autres solutions car x>=11, y>=11 et si y>110 alors x

Merci pour cette vidėo , pouvez vous nous faire une vidéo sur la définition de la racine carrée par une mėthode simple pour faire comprendre nos enfants.

incroyable cette video j'aime bcp le principe de fait ce que tu veux mais paye le prix

Géniales vos vidéos. Pourriez vous indiquer dans la description le niveau scolaire auquel correspond le problème posé ?

le jeux d acteur au moment du "ah non , tu peux pas les changer là " (7min02) vaut un Cesar ahahah Merci encore pour ton boulot , chapeau !

Liste des solutions données par la fonction python/sagemath ( ou n importe quel module python donnant la liste des diviseurs d un nombre : Fonnction affichant la liste des solutions de 1/x +1/y = 1/n . n donné par l utilisateur def solve_1_div_x_plus_1_div_y(n): for i in divisors(n^2): if i > n : break j = n^2/i a = 1/(i + n) b = 1/(j + n ) c = a+b print (f"{a} + {b} = {c} " ) solve_1_div_x_plus_1_div_y(10) ========== Output ========================= 1/11 + 1/110 = 1/10 1/12 + 1/60 = 1/10 1/14 + 1/35 = 1/10 1/15 + 1/30 = 1/10 1/20 + 1/20 = 1/10 On peut remarquer aussi que pour n premier , on n a que deux solutions : 1/2p + 1/2p = 1/p ; 1/p +1/(p^2+p) = 1/ p

Bonsoir je voudrais que vous me former en mathématique. Vous êtes très bon et je comprends vite avec votre explication.

A noter : chatgpt donne des solutions complètement fausses. : " The equation (1/x) + (1/y) = (1/10) can be rewritten as 10/(xy) = 1, which gives xy = 10. Now we need to find two numbers x and y whose product is 10. One way to do this is to list the factors of 10 and try different combinations: 1 * 10 = 10 2 * 5 = 10 So, the solutions to the equation are x = 2 and y = 5 or vice versa, i.e., x = 5 and y = 2. Therefore, the possible solutions are: x = 2, y = 5 or x = 5, y = 2 Note that both solutions give the same equation (1/x) + (1/y) = (1/10)"

super video ^^

Mais qu'il est joueur ! Un vrai régal ces vidéos ^^ Merci encore !

Petite critique gentille : de @1:00 à @2:00 tu ne fais que mettre en dénominateur commun en fait, en deux étapes; ensuite tu décomposes (x+y) à @2:19 et tu passes tout à gauche au final pour arriver @2:27 à la forme "clean" (genre polynôme): x*y - 10*x - 10*x = 0 Du coup pourquoi ne pas plutôt : - tout mettre d'un coté pour avoir une forme propre truchmuche = 0 - d'un seul coup, mettre ça avec un dénominateur commun qui sera donc directement 10*x*y - enlever la fraction pour le garder que le numérateur - arriver donc à 10*x + 10*y - x*y = 0 On dirait que j'ergote vu qu'on arrive au même point (enfin à l'opposé près) par un chemin analogue. Mais alors pourquoi je préfère ça? Parce que c'est nettement plus méthodique : - une équation va toujours s'écrire sous la forme machin = 0 (sauf si on voit immédiatement la voie de sortie) - les fractions dégagent - une fraction = 0 => le numérateur = 0 Je veux dire qu'il y a moins d'étapes de doute (doute sur le bon chemin), c'est plus algorithmique, donc mieux pour reformuler les problèmes quand il y a plusieurs fractions. Dès qu'il y a plein de fractions qui n'ont pas de simplification évidente c'est la meilleure méthode selon moi.

Brillante explication de l'utilité de la factorisation.

un plaisir, merci

J’ai instantanément pensé à x=y=20. Étonné qu’il y aie d’autres solutions.

Merci😊

J'sais pas pourquoi j'pensais qu'il y aurait moins de couples de solutions ! Super vidéo !

bonjour tu as fait une petite faute à @8:50 tu a écrit 4 et pas 14 quant tu interverti X et Y sinon super vidéo comme d habitude

d'une façon générale l'équation 1/x +1/y =1/n admet d(n²) couples de solutions entières où d(n²) est le nombre de diviseurs de n². Ces solutions sont x=n+d et y= n.(n+d)/d où d est un diviseur de n². .....sachant cela, sauriez vous trouver toutes les solutions entières de 1/x² +1/y² = 1/z² ???!! comme par exemple: 1/15² + 1/20² = 1/12² ou 1/65² +1/156² = 1/60²

Trop trop fort !

Super... rien à dire de plus

La clef qui me manquait, c'est "tout simplement" rappeler que pour ce genre de problèmes (résolution avec entiers positifs), il faut ramener le problème à un produit. Sauf que ça n'a rien de simple. Et j'ai un sérieux problème avec ça : d'où ça vient, ça ? Comprenez bien. C'est "simple" quand on a vu le truc au moins une fois. On applique deux trois fois l'exercice, le concept, et ça devient acquis. Une fois acquis, on le sait, et c'est magique. Tout comme on "sait" que 1+1 = 2, on "sait" la commutation des multiplications, on "sait" factoriser, etc. Mais d'où ça vient, tout ça ? Autrement dit : si on ne vous dit jamais le "truc", comme pouvez-vous le trouver ? Et je ne parle pas d'être chanceux et, d'à force de tourner le problème dans tous les sens, finir par découvrir (redécouvrir) la méthode. C'est très bien si vous y parvenez, et je suis sûr que les tronches qui y parviennent ont un bien meilleur "feeling" de la chose. Mais ça ne change rien au problème. Vous avez trouvé une recette, vous l'appliquez, mais même vous, je suis sûr que vous avez cette petite frustration : avez-vous réellement "compris" ? Moi, j'aimerais comprendre POURQUOI ramener ce genre de problème à une multiplication permet de résoudre le problème. Y'a-t-il d'autres méthodes ? S'il n'y en a pas d'autres, pourquoi est-ce la seule ? S'il y en a d'autres, mais toutes pourries, pourquoi sont-elles pourries ?

En tant que mathématicien, j'adore vos vidéos pour leur qualité pédagogique. Ici, sans pinailler ;-), je pense qu'il y a une faiblesse dans le raisonnement car si x et y sont des entiers positifs, vous n'expliquez pas pourquoi (x-10) et (y-1O) sont aussi des entiers positifs. C'est nécessaire de s'en assurer, sinon quand vous faites les combinaisons possibles pour obtenir 100 par multiplication, vous devez également tenir compte des entiers négatifs (ex : -5 x (-20) ) et ne pas vous limiter aux combinaisons positives et puis ensuite rejeter les solutions quand x ou y que l'on obtient est négatif ou nul. Pour éviter ce problème, je l'ai fait d'une autre façon, en démontrant que x et y doivent tous les deux êtres supérieurs à 10. J'ai alors fait un changement de variables : x = 10 + s et y = 10 + t. Ce changement de variables permet d'arriver à s . t = 100 (où s et t sont des entiers strictement positifs) sans devoir passer par la mise en évidence forcée.

S'il Vous Plait Prof Est-il Possible De Faire Une Vidéo Sur Comment Démontré Que r(-2;-3) Est Un Centre De Symétrie De La Courbe. ?

Another way, let's assume that all fractions are parts of ONE HOUR and convert it to minutes. Then, 1/10 (h) = 6 (min). Now enough check all possibles sums of two positive integers which are equal 6. E.g., 6 = 5+1 => 1/x = 5 (min) = 1/12 (h) => x = 12, and 1/y = 1 (min) = 1/60 (h) => y = 60, etc. Sorry, I don't speak French. Best of luck.

j'en ai une puissante sur ce coup là : 1/x + 1/y = 1/10 donc x = 20 et y = 20, donc 1/20 + 1/20 = 1/10 car 2/20 = 1/10. si c'était comme ça il n'y aurait pas de vidéo ! merci Hedacademy !

Merci

Wah! Je n'aurai pas trouvé. Merci :)

J'aime bien vos cours 💕. Grâce à vous, j'ai compris le théorème de Pythagore mais vous expliquer vos cours rapidement.

Super intéressant, je regrette de ne pas l'avoir eu comme prof de math...

Merci bien

en omettant les conditions que x et y soient des entiers positifs et si on part de cette équation en isolant une des variables (c.a.d x=f(y) ou y=f'(x)) on arrive a une seul solution y= 1 et x= -10/9

Salut! Super video comme d habitude. Est ce que tu acceptes les questions aussi? J ai tjs ete nul en math et donc j ai pas la logique du trucs. Je travaille dans une boite et on vend des packagings a des ecoles. On vend a l unite a 2 euros et on fait le 3eme gratuit. Donc je fais le calcul avec des batons et un tableau cest mega chiant. Et si je fait une reduction de 33 pourcent ca donne pas le bon resultat. Cest quoi que je fais de travers stp?

le produit en croix n'est pas une règle mais le résultat d'une règle : multiplier les deux membres d'une (in)égalité par un même nombre !! ici je multiplie les deux membres par 10xy et j'obtiens directement 10x + 10y = xy 😉

La technique du grappe de raisins en voulant chercher les même facteurs commun... Vraiment bien joué. 😮 Waou !!!

Je comprend lorsque tu explique mais c'est différent pour moi a l'école merci je suis Haïtien

Comment s'appelle ce type de raisonnement ? J'étais arrivé jusqu'à l'étape de factorisation par y-10

1/x + 1/y = 1/10 IF x=y then 1 + 1 = 2 then 2/x = 1/10 => x=20 and y=20

Ce problème admet une jolie généralisation. Si n est un entier strictement positif, notons f(n), le nombre de couples (x;y) d'entiers strictement positifs solutions de l'équation 1/x+1/y = 1/n. On peut déterminer f(n) et caractériser les nombres premiers : ce sont les seuls entiers n pour lesquels f(n) = 3. Un joli problème pour des terminales.

Genial

Le meilleur prof de math

On aurait pu aussi poser S=x+y et P=xy ainsi P=10S et par suite , on se ramène à une équations du 2nd degré x^2 - Sx +10S = 0.

Merci pour ces friandises mathématiques ! Pour ma part c'est la méthode bourrin avec Excel. (Mais sans réflexion sur la valeur max. que j'ai mise au pif à 150) Lorsque la valeur de la colonne x+y est égale à la valeur xy/10 la cellule se met en surbrillance. La colonne x est figée et je modifie uniquement la première valeur de y qui se recopie ensuite dans les lignes suivante. On trouve aussi comme ça...

Très chouette vidéo encore! :) Je n'ai jamais "compris" le concept du produit en croix perso. Disons que je trouve que c'est un artifice superflu. Presque un "mot en trop". Là, c'est flagrant que ça ne sert à rien. Tu dis au départ de mettre au même dénominateur la partie de gauche. Faut faire idem à droite direct, tout mettre au même gauche/droite! Du coup, un fois fait, on peut simplement virer tous les dénominateurs de l'équation. Ce qui revient au même donc que le produit en croix. On arrive à "10y+10x=xy", et on peut évacuer cet artifice si je peux dire, puisqu'on a fait la démarche en toute connaissance de cause. :) Après, sur la vidéo en l'occurrence, j'aurais bien aimé que tu mettes en évidence pourquoi la solution n'est pas unique. Pas juste le montrer, mais l'expliquer, même grossièrement. Cela dit, ça déborderait largement de ta vidéo! ^_^ Vive les maths et tes vidéos! Des bisous!

Je pose X=1/x et Y=1/y 1/x + 1/y = 1/10 ==> X+Y = 1/10 Je pose X=Y ==> 2X = 1/10 X = 1/20 Y= 1/20 Au final x=20 et y=20 : une solution très rapide

👍👍👍

Bonjour Pourquoi vous n'avez pas pensé aux solutions des produits négatifs ? -10×(-10)=100 par exp ou -50× (-2......etc

Hedacademy....C'est du nanan. 👍🤨🤩🙂😇

On construit x^2-Sx+P=0 où S est x+y et P est x×y Delta=S^2-4×1×4P=S^2-4×1×10S= S×(S-40) Racine unique si Delta=0 Donc si S=40 Donc si x=y=20

👍

kiffant

C'est cool ❤GR2.2 n1

J ai une question : N’auraitt on pas pu ecrire x(y-10)-10(y-10+10)?

(20;20) est facile à trouver puisque 2/20 = 1/10... J'avais bien l'intuition qu'il y avait d'autres solutions et j'ai cherché un peu à tâtons : 1/100 + 9/100 (100 non divisible par 9 donc ça ne marche pas), etc... Trouver les autres solutions s'avère être assez compliqué, surtout quand on ne sait que faire de l'équation. Beau retournement de cerveau pour y arriver, mais c'est une méthode à connaître.

Sinon vu qu'il est précisé que x et y sont strictement positif est ce qu'on pourrais pas directement inverser toute la fraction sa nous donnerai x+y=10, et du cou Vx∈]0;10[ x=10-y , et Vy∈]0;10[ y=10-x

j aurai voulu vous avoir en math

J'ai plus l'âge des bancs d'école mais très vidéos très ludiques et pédagogiquement me régalent 😅👏

ça me rappelle mes cours d'électronique, quand on doit déterminer deux résistances R1 et R2, en connaissant la valeur de l'impédance équivalente en parallèle, 1 sur impédance équivalente égal 1 sur r1 + 1 sur r2

Bigre, rarement tes vidéos m'avaient autant largué. Clairement, je n'ai pas du tout le niveau. Histoire de me faire une idée, cette équation correspond à quel niveau scolaire actuel ? (pour info, j'ai eu un très bon niveau en maths jusqu'en 3ème. Ensuite, mes choix d'orientation ont fait que je n'en ai pour ainsi dire plus jamais fait. Et c'était il y a lontemps...)

marrant, passé à côté sur ce coup la ...

Possible de trouver en 30sec en dissociant 1/10 en 1/20 + 1/20 puis x=y=20 bien vu

C' est si simple et vous ,vous compliquez cette équation depuis au paravent x et y =10 dont x=10 et y=10 il complique les choses pour allonger la video

Oui, mou aussi j'ai bien aimé la question, .... enfin surtout la réponse. 😂

Excellent pedagogue

Formidable

On peut proposer cet exercice à partir de quel niveau svp ? (j'hésite entre 1ère ou Terminale)

petite erreur de recopie à 8:47 x=14 en noir doit devenir y=14 en orange, mais sur le tableau il y a y = 4

"On vérifie", "On vérifie quand même" ... Mais trop ! J'arrête pas de le dire à mon gosse ;)

Qui résoudra cet exercice pour X et Y éléments de l'ensemble des entiers relatifs Z ?

Merci pour ta chaîne. Je suis maintenant à la retraite mais j'ai eu 18/20 au bac scientifique. J'ai toujours aimé les maths, je faisais des maths en cours de philo ! A chaque fois j'essaie de réfléchir à tes problèmes . Là je suis resté bloqué sur le 10(x+y)=x.y. J'ai essayé de développer comme toi mais ça ne donnait rien. Je n'ai pas pensé à la double factorisation ! Tu as réussi à rendre vivants les cours de maths. Bravo !!!

1/x + 1/y = 1/10 => y/xy + x/xy = 1/10 => (x+y)/xy = 1/10 => 10x+10y = xy => xy -10x -10y = 0 => x(y-10) -10y = 0 => x(y-10) -10(y-10) -100 = 0 => (y-10)(x-10) = 100 Diviseurs de 100 : 100*1 , 50*2 , 25*4 , 20*5 , 5*20 , 4*25 , 2*50 , 10*10 , 1*100 D'où : y-10 = 100 ET x-10 = 1 => y = 110, x = 11 y-10 = 50 ET x-10 = 2 => y = 60, x = 12 y-10 = 25 ET x-10 = 4 => y = 35, x = 14 y-10 = 20 ET x-10 = 5 => y = 30, x = 15 y-10 = 10 ET x-10 = 10 => y = 20, x = 20 y-10 = 5 ET x-10 = 20 => y = 15, x = 30 y-10 = 4 ET x-10 = 25 => y = 14, x = 35 y-10 = 2 ET x-10 = 50 => y = 12, x = 60 y-10 = 1 ET x-10 = 100 => y = 11, x = 110 D'où les solutions S= { {y = 110, x = 11}, {y = 60, x = 12}, {y = 35, x = 14}, {y = 30, x = 15}, {y = 20, x = 20}, {y = 15, x = 30}, {y = 14, x = 35}, {y = 12, x = 60}, {y = 11, x = 110} }

Il y’a une autre solution complexe de la forme x=(1+isqr(39)/2 et y=(1-isqr39)2

Trop des solutions et en plus c est compliqué

Punaise, je comprends rien mais j'aimerais donc comprendre. ;-)

Merci beaucoup mais j'aimerais vous demander d'y aller lentement car vous y allez très vite.

Facile S=(IR\{0,10})×{x€IR:y=10x/(x-10)}.