Мой канал в VK - yellow.school Реши уравнение: х² - 5 = √(х+5)
Пікірлер: 588
@AlexeyEvpalov10 ай бұрын
Метод частичной замены переменной. Обозначим x^2-5=y (1), где y>=0, тогда y=V(x+5) возводим в квадрат и переносим 5, y^2-5=x (2). Вычтем (2)-(1) y^2-x^2)=x-y, разложим разность квадрата и перенесём всё в одну сторону (y-x)(y+x)+(y-x)=0 или (y-x)(y+x+1)=0. Подставив из (1) y=x^2-5 получим (x^2-x-5)(x^2+x-4)=0. Совокупность тех же уравнений, Ответы те же.
@tashayakimovich74359 ай бұрын
😊
@meshokshtuka71138 ай бұрын
Да, такая замена переменной выглядит более правильной математически
@alexxey837 ай бұрын
Вообще, когда y=f(x), а x = f(y) => будет решение при x = y. Получаем тревиальное уравнение x^2 - 5 = x
@perelmanych7 ай бұрын
Изящно!
@perelmanych7 ай бұрын
@@alexxey83 Если нарисовать рисунок, то это становится очевидным. Однако, на рисунке также очевидно существование второго отритцательного корня и вот с ним как раз проблема.
@badjinda10 ай бұрын
Можно увидеть и геометрический смысл. y=х²-5 -- это парабола, смещённая на 5 вниз, y=√(х+5) -- это её левая ветка, повёрнутая на 90 градусов (перестановка осей). Тут наглядно видно ОДЗ, т.е. точки пересечения этих кривых. Далее (или, скорее, наоборот, это было не далее, а даже ранее, чем задача приняла свою финальную форму), можно задаться вопросом, как смещаются точки пересечения этих ветвей в зависимости от величины параметра сдвига, который у Вас взят за t. После чего можно осмысленно придти к более общей задаче через t или через систему, как в комментариях, и получить решение данной конкретной как частного случая
@dmxumrrk33210 ай бұрын
Первым делом увидел. И обязательно нарисовал бы перед тем, как решать. Оно нагляднее.
@eduardionovich44259 ай бұрын
ОДЗ - это не точки пересечения кривых. Пора бы знать.
@badjinda9 ай бұрын
@@eduardionovich4425 Конечно, точки пересечения кривых - это сами значения, а видно, в каких областях они лежат
@user-rw8uq5dd8w4 ай бұрын
@@dmxumrrk332 , то же самое. Если б стояла задача решить графически, решалось бы в шесть секунд.
@erdgeschoss-bf3vc4 ай бұрын
@@user-rw8uq5dd8wну нет, как вы корни в данном случае графически-то найдете?
@barsik54089 ай бұрын
Эта задача была для поступления в ВМК лет 20-30 назад. Ещё на форуме мехмата МГУ её решали.
@knopochka1304Ай бұрын
В обычной школе в математическом классе спокойно решали.
@user-qn5nw3ve4t10 ай бұрын
Можно найти один корень используя свойство: если f(x) возрастает, то уравнение f(f(x)) = x имеет те же корни, что и уравнение f(x) = x. В нашем случае это будет уравнение sqrt(x+5) = x. Остальные корни можно найти разделив уравнение 4 степени на x^2-x-5
@mikola82410 ай бұрын
Беру от фонаря х=4 и подставляю в условие вроде проверки 16-5=√4+5 и 9=√9 мне кажется абсюрт
@user-od3vt8bl6f7 ай бұрын
@@mikola824 16-5 = 11)) 11=v9 ?
@mp4433 ай бұрын
Если f(x) убывает, это свойство тоже верно, нет?
@n.6629 ай бұрын
Уже и не помню этот способ, но именно тут он сам всплыл в голове, чтение мыслей. Спасибо, что напомнили
@natteft65935 ай бұрын
только этот способ далеко не самый простой, эта задача решается проще))) Странно, что у вас сложный способ всплыл)))
@volodymyrbabych876110 ай бұрын
Формально ОДЗ записано с ошибкой. Там написано что x в квадрате больше 5. Но при этом учитывая правую часть под корнем, получаем что ОДЗ должно быть x больше корня с 5. В данном случае на финальный результат не влияет, но упущение ограничений в ходе решений не очень хорошо.
@user-pd7js7cy9m10 ай бұрын
Уточним. Уравнение : (1) sqrt[u(x) ]=v(x) - равносильно системе : { (2) u(x)=[ v(x) ]^2 ; (3) v(x)>=0 } . При этом , условие : (4) u(x)>=0 - выполняется автоматически для решения системы . А условие (3) необходимо для исключения корней уравнения (5) sqrt[ u(x) ]=-v(x) , которое при возведение в квадрат «передает» свои корни уравнению (2) . {заметим , что ‘-v(x)’ « ничуть не отрицательнее , чем ‘v(x)’ } . Например : (6) sqrt(x+6)=x и (7) sqrt(x+6)=-x . Из двух получающихся корней уравнения (8) x^2-x-6=0 - один : x=3 - корень (6) , другой : x=-2 - корень (7) . С уважением , Лидий
@volodymyrbabych876110 ай бұрын
@@user-pd7js7cy9m Полное ОДЗ x E [-5 ; sqrt(5) ] U [ sqrt(5); бесконечность). Ну а в данном случае допускается промежуток от минус бесконечности к -5, что ошибочно. Я не прав?
@@user-ig8de5jf6h Этот вариант не верный, я выше обьяснил почему.
@math-to-masses10 ай бұрын
Построив графики левой и правой части, можно сделать вывод, что эти графики симметричны относительно оси y=x. Вспоминаем, что таким свойством обладают обратные функции. А значит достаточно найти решение уравнения x^2-5 = x или sqrt(x+5) = x. Факт, что оба этих уравнения приводят к одинаковому уравнению, намекает, что мы не ошиблись, сделав вывод, что функции обратны друг другу. Решая квадратное уравнение x^2 - x - 5 = 0, получаем два решения, из которых подходит только положительный
@meshokshtuka71138 ай бұрын
А как-то аналитически, без графических построений можно обосновать, что уравнение сводится к x²-x-5=0?
@lukaskamin7557 ай бұрын
ошиблись конечно, т.к. решений два. Странно, если Вы построили график, чтоб определить обратность функций, неужели Вы не заметили, что точек пересечения две?!! и вторая совсем не лежит на биссектрисе y=x. Ваше предположение верно лишь для монотонных функций, вроде экспоненты и логарифма, или монотонных степенных (очевидно только нечетных степеней). В нашем случае у параболы 2 ветки, а корня квадратного только одна, и левая ветка параболы не является обратной к корню, соответственно не симметрична с ним относительно y=x (думаете не станете спорить). Еще пример графики тангенса и арктангенса, помимо точки (0;0) пересекаются еще в бесконечном множестве точек, так как у тангенса бесконечное число периодически повторяющихся веток, а арктангенса - всего одна
@lukaskamin7557 ай бұрын
@@meshokshtuka7113 конечно можно, и даже нужно, т.к. доказательство обратности графическим способом это очень странный и не совсем надежный способ доказательства. По классике нужно записать одну из частей как функцию y=f(x)? затем поменять переменные местами, выйдет x=f(y) (это и есть определение обратной функции), а чтоб получить явный вид обратной функции нужно решить уравнение относительно y, получится какая функция y=g(x) , она и будет обратной. Более простой вариант взять какую-то часть нашего уравнения, и подставить ее целиком вместо х в другую часть, вы получите х. Проблема лишь в том, что функции бывают немонотонными (то убывают, то возрастают), что мы и видим в этом случае x^2-5 - парабола, имеющая как известно 2 ветви, и каждое свое значение кроме значения в вершине принимает в 2х точках, поэтому целиком ее использовать как обратную нельзя, нужно выделить интервал монотонности (иначе одному х будет соответствовать 2 значения у), логично что в данном случае выбирают правую ветвь. Поэтому рассуждение о поиске решения только на биссектриссе 1-3го координатных углов ( у=х) НЕВЕРНО. Именно поэтому один из корней был потерян, так как график ф-ции с корнем пересекает обе ветви параболы, но обратной она является только по отношению к правой ветви, левая же ветвь в качетве обратной имеет функцию с корнем взятую с обратным знаком т.е. -корень(х+5), кстати если подставлять левую часть в правую, то Вы получите плюс-минус х, т.к. корень из квадрата равен модулю выражения под знаком квадрата (ленюсь писать формулы с корнями текстом))), эта неопредленность как раз связана с наличием у параболы двух веток
@dmitry53196 ай бұрын
да, я тоже так решил где-то за минуту
@natteft65935 ай бұрын
@@meshokshtuka7113 возьмём t = √(x+5). Тогда подставляе в уравнение, получим t² -5 = √(t+5), т.е. t = x является решением исходного уравнения,
@nikitakoss364510 ай бұрын
чтобы решать таким образом нужно заранее знать что такой способ решения приведет к правильному ответу.
@user-ii8fg4jr7u9 ай бұрын
Не обязательно. Отрицательный результат - тоже результат. Если один способ не прокатит, можно другим. Это как метод проб и ошибок. Математика - она такая😃
@barsik54089 ай бұрын
@@user-ii8fg4jr7u Да, вы правы. Так как располагаешь временем и не влечет за собой ответственность в неправильном ходе решения. В других сферах деятельности может быть недопустимо. Например, опыты стоят времени и денег.
@Kkustm3 ай бұрын
Нет… если бы все решения можно было не решать, просто потому что ты не знаешь что это может быть правильным, то и решения не будет. Разве смысл задачи только в ее ответе?
@AlexeyEvpalov10 ай бұрын
Строго говоря, ОДЗ только x+5>=0. Выражение x^2-5 имеет смысл при любом x. Неравенство x^2-5>=0 получено в ходе решения из определения множества значений квадратного корня, и ОДЗ не является. При возведении в квадрат, могли появиться посторонние корни, там необходимо указать x^2>=5. Решение уравнения относительно t=5, позволило перейти от уравнения 4 степени к двум квадратным уравнениям. Спасибо за оригинальный способ. Но это частный случай, дискриминант не обязан быть квадратом какого-то выражения. Можно решить методом неопределённых коэффициентов x^4-10x^2-x+20=(x^2+b1x+c1)(x^2+b2x+c2)= x^4+(b1+b2)x^3+ (b1b2+c1+c2)x^2+(b1c2+b2c1)x+c1c2. Приравняв коэффициенты при соответствующих степенях, получим систему b1+b2=0, b1b2+c1+c2=-10, b1c2+b2c1=-1, c1c2=20, откуда (можно подбором) b1=1, b2=-1, c1=-4, c2=-5. Получили ту же совокупность уравнений x^2+x-4=0 и x^2-x-5=0. Ответы те же.
@user-xc2gu5jg9n10 ай бұрын
Там суть в том, что x^2-5 равно квадратному корню какого-то числа. Если я правильно помню, квадратный корень не может быть отрицательным. То-бишь, конечно может быть, но для удобства принято считать, что корень только положительный. В школьных расчетах, так точно.
@AlexeyEvpalov10 ай бұрын
@@user-xc2gu5jg9n Согласен, неравенство x^2-5>=0 должно выполняться, как множество значений квадратного корня. Но это не ОДЗ, ведь функция f(x)=x^2-5 в правой части, без учёта левой, существует всегда. У Валерия Волкова есть ролик про ОДЗ, где это рассматривается подробно.
@Evgeny-271810 ай бұрын
@@user-xc2gu5jg9n Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа √(x^2)=abs(x). Определяется как АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА и никогда не может быть отрицательным! Это вовсе не из соображений удобства, оно здесь ни при чём. Во всех расчетах и всегда.
@cscs-zy3iq10 ай бұрын
Одз носит формальный характер. Под корнем не может быть отрицательного и квадратный корень из этого числа не отрицательный. Значит надо эти два условия записать и на время про них забыть
@user-vs6jw1zd8y10 ай бұрын
Одз к УРАВНЕНИЮ! Можно присобачить ещё ваше условие, но это лишнее. Ведь оно гарантировано после возведение в квадрат. А вот правая часть нет, а она обязана быть неотрицательной
@Realalexandro10 ай бұрын
Всё гораздо проще и не надо ничего никуда возводить, и потом группировать немыслимым образом - это способ для "тугих"! С ОДЗ да тоже косяк. Оно должно быть такое, два промежутка: -5 получаем сис-му: x^2-b=a и a^2-b=x; вычитаем из 1го ур-ия второе получаем следствие из сис-мы: x^2-a^2=-(x-a); Дальше очевидно всё в одну сторону, раскладываем разность квадратов, выносим (x-a), получаем конструкцию вида (x-a)(x+a+1)=0 Отсюда либо x=a т.е. x=sqrt(x+5), либо x=-a-1 т.е. x=-sqrt(x+5)-1. Дальше решаем совокупность стандартным методом, пересекаем с ОДЗ, отсекаем в каждом случае по лишнему корню и вуаля, получаем тот же ответ! Очевидно, что найденные решения уравнения-следствия из полученной нами в рез-те исходной замены сис-мы будут и корнями сис-мы, а значит и исходного ур-ия. Что касается проверки того, нет ли у исходного ур-ия ещё каких то решений помимо найденных двух (а в теории их может быть до 4х т.к., если будем возводить в квадрат получим ур-ия 4й степени), то просто говорим, что справа строго возрастающая и положительная функция т.к. это радикал, а слева парабола, кот. на одной ветви убывает, на другой возрастает => графики функций могут иметь не более 2х точек пересечения или 2х решений для ур-ия, поскольку убывающую ветвь параболы монотонно возрастающая фун-ия с корнем может пересечь лишь раз, а вот возрастающую ветвь тоже не больше раза т.к. квадратичная фун-ия естественно растёт быстрее функции с радикалом! При желании более строго это можно доказать с помощью производных обеих функций и промежуточных значений на различных отрезках монотонности для параболы, хотя это и так очевидно по-моему.
@alvinareichert33913 ай бұрын
Класс!
@user-yp4sp8wd3o2 ай бұрын
С одз Вы неправы. Возводя в квадрат обе части такого уравнения, мы получаем, что подкоренное выражение равно неотрицательному числу при условии, конечно, что левая часть, в данном случае, неотрицательна. Условие неотрицательности подкоренного выражения лишнее в таких уравнениях.
@Realalexandro2 ай бұрын
@@user-yp4sp8wd3o, если бы мы возводили в квадрат, то ДА, но если вы не заметили (надо читать внимательнее, какое решение я предлагал), то данное уравнение возведением в квадрат вменяемыми людьми при помощи школьных методов нерешаемо или решаемо очень громоздко с большой вероятностью ошибки. Поскольку в квадрат мы не возводим и получается, что используется более сложный творческий метод решения, соответственно, ваша стандартная школьная логика поиска ОЗД тут неприменима. Ибо, если вы не учтёте ограничение x>=-5 (для подкоренного выражения), то в предлагаемом алгоритме решения не сможете отсечь посторонние корни, и получите в итоге не верное решение! Т.е. если вы не возводите в квадрат, то и преимуществом уменьшения ограничений по ОДЗ при приравнивании подкоренного выражения к квадрату левой части пользоваться не можете! Вообще тут вопрос философский как понимать что такое ОДЗ. Лично я его понимаю в расширенном виде - не просто, как область допустимых значений аргумента по ограничениям на подкоренные выражения, логарифмы и.т.п., но и как ограничения на аргумент при которых ур-ие в принципе разрешимо, ведь если левая парабола находится в своём "минусовом" коридоре, то и не отрицательному значению под корнем справа она никак не может равняться на этом промежутке! Отсюда в принципе не ошибка учесть все ограничения по ОДЗ, как это сделал я, даже если решать методом возведения частей в квадрат. Может это немного избыточно, но точно не ошибка, поскольку решения мы с таким ОДЗ точно не потеряем и сможем отсечь все лишние.
@user-ik4ch7wl3l10 ай бұрын
x⁴ - 10x² - x + 20 = 0 раскладывается как (x² + x + a)(x² - x + b) = 0 x⁴ - x³ + bx² + x³ - x² + bx + ax² - ax + ab = 0 x³| -1 + 1 = 0 x²| b - 1 + a = -10 x | b - a = -1 ab = 20 b + a = -9 b - a = -1 2a=-8 a=-4 b=-5 (x² + x - 4)(x² - x - 5) = 0
@user-xg9yp2cs5x7 ай бұрын
Подскажите, откуда взялось -10 в x²| b - 1 + a = -10 и -1 в x | b - a = -1.
@user-ik4ch7wl3l7 ай бұрын
В самом начале при x² было -10. - 10x²
@user-ik4ch7wl3l7 ай бұрын
И при x было -1 (как "-x").
@user-xg9yp2cs5x7 ай бұрын
@@user-ik4ch7wl3l Спасибо! А x³| -1 + 1 = 0, потому что x³ вообще не было. Теперь понятно. А как это способ разложения на множители называется?
@user-ik4ch7wl3l7 ай бұрын
@@user-xg9yp2cs5x разложение с помощью неопределённых коэффициентов
@user-lc4ib4qb3q5 ай бұрын
У меня получилось Х = 2,79. Но я ничего не вычисляла, а просто подставляла цифры. Вначале выяснила, что ответ меньше 3 и больше 2, потом выяснила, что меньше 2,8 и больше 2,7 и в итоге получилось 2,79.
@Pablo_de_Lexandro3 ай бұрын
а где отрицательный корень?
@ivanovserg87955 ай бұрын
Вместо непонятных вычислений √17 и √21 надо пользоваться оценками сверху/снизу заменив их известными корнями √16 и √25
@nikut33775 ай бұрын
Да согласен, тоже не понравились эти танцы
@ivekrok37305 ай бұрын
Оба решения (оригинальная замена и метод частичной замены) - отличные!!
@kripovender6 ай бұрын
Схема Горнера: «Я что, доя вас какая шутка?» Не знаю как в других школах, но у нас о ней в 9-м рассказывали, хотя школа не с математическим уклоном, а химико-биологическим…
@fireshadow49494 ай бұрын
А ничего, что для схемы горнера нужно подобрать один корень хотя бы, а здесь корни -0.5-sqrt(17)/2 и 1/2+sqrt(21)/2
@user-pd7js7cy9m10 ай бұрын
Именно этим методом , известный и уважаемый Валерий Волков решал именно эту задачу : (0) x^2-5=sqrt(x+5) - несколько лет назад . Уже тогда мною был предложен другой известный метод решения . (жалко не я придумал !😊) . Вводим новую переменную : (1) y=sqrt(x+5) ; (2) y>=0 . Получаем вместо (0) : (3) x^2-5=y . Возводим обе части (1) в квадрат и , после преобразований , получаем : (4) y^2-5=x . Исходное уравнение (0) равносильно системе : (2) ,(3) , (4) . Вычитаем почленно из (4) равенство (3) . Получаем следствие : (5) (y-x)*(y+x)=-(y-x) , которое равносильно объединение двух уравнений : (6) y-x=0 и (7)y+x=-1 . Тогда исходное уравнение (0) равносильно ОБЪЕДИНЕНИЮ ДВУХ СИСТЕМ : { (3) , (6) , (2) } и { (3) , (7) , (2) } . Они легко решаются подстановкой . Получаем Ваш ответ , полученный Вами НУ ОООЧЧЕНЬ остроумным методом. Разумеется ОДЗ написана неправильно : [ 1:34 ], но , в предлагаемом подходе , она вообще не нужна . Равносильность , при возведении в квадрат , обеспечивает условие (2) . В связи с развернувшейся в комментариях полемикой , уточним : как решаются уравнения вида : (8) sqrt[ u(x) ]=v(x) . Чтобы избавиться от корня « хочется» обе части уравнения возвести в квадрат . Получаем : (9) u(x)=[ v(x) ]^2 , которое содержит все корни (8) . При этом , ОДЗ уравнения (8) : u(x)>=0 для корней (9) выполняется автоматически .( на экзамене об этом надо упомянуть !!! ) Но , уравнение (10) : sqrt[ u(x) ]=-v(x) - при возведении обеих частей в квадрат «дает» то же самое уравнение (9) . Чтобы избавиться от этих «лишних корней» ( и именно поэтому !! ) , пишем дополнительное условие : v(x)>=0 . { заметим , что ‘-v(x) ‘ - ничуть не отрицательнее , чем ‘ v(x) ‘ . Пример : (11) sqrt(x+6)=x ; (12) sqrt(x+6)=-x ; после возведения обеих частей в квадрат , получаем уравнение : x+6=x^2 . Один его корень : x1=3 -корень уравнения (11) , другой - x2=-2 - корень уравнения (12) . Вот так . С уважением , Лидий
@pavlokravets70659 ай бұрын
Спасибо за развернутый комментарий. Элегантное решение! P.S. Автор видео на [ 1:34 ] как раз и написал дополнительное условие (я так понимаю, под ним подразумевается ОДЗ): v(x)>=0, но оставил его "как есть", как и упомянутый Вами Валерий Волков.
@sergponomar71606 ай бұрын
Вот по этой причине не дают Нобелевские премии Арифметикам, у них на простое решение всегда несколько ещё более сложных решений..
@olgaturbasova58109 ай бұрын
Спасибо за интересную задачку.
@user-xp6fw9gz8k3 ай бұрын
Предложенный метод выглядит подобранным задним числом, когда решения задачи уже известны. Вряд ли его можно будет регулярно применять в других задачах. Я вот сразу увидел как получить разложение в произведение двух квадратных трёхчленов. (x^2-5)^2- 5 = x Мы дважды применяем оператор - возведение в квадрат и затем вычитание пяти. В итоге приходим к тому же, с чего начинали. А что если уже после первого применения этого оператора мы возвращаемся в начало? То есть x^2-5 = x. Тогда очевидно повторное применение ничего снова не изменит. Отсюда имеем первые два корня. Останется разделить уголком многочлен четвёртой степени на многочлен второй степени x^2-x-5. Получим второй многочлен второй степени x^2+x-4, из которого найдём 3-й и 4-й корни.
@Kukucapol_Pelmenev6 ай бұрын
если построить графики максимально точно, то можно определить примерные значения до десятых. смотря на ответ, можно сказать, что пересечения есть в точке x=~-2,6; x=~2,8.
@alexandermyasnikov70649 ай бұрын
Графики кстати красиво выглядят, становится очевидным из симметрии почему один корень лежит на y=x, правда пока не могу сообразить почему второй лежит так красиво на y=-x-1
@brahamiriamshnaidman97339 ай бұрын
Это задачка наверняка из тех, что давали на олимпиаде. Могла быть у Сканави в группе В. Если не знать никаких задачников, кроме советских, то задача советская. 🙃
@erdgeschoss-bf3vc4 ай бұрын
Для олимпиада все-таки простовата
@knopochka1304Ай бұрын
Подобные задачи в 90-е печатали в журнале МГУ для школьников. И очень любознательные советские учителя давали их решать обычным постсоветским школьникам. А задачи из обычного школьного учебника это всего лишь на удовлетворительную оценку. Ни на каких олимпиадах такие задачи не решали. Решали в классе обычные школьники. Загляните в современные учебники, не в те что в лицеях а в обычных школах в рамках обычной школьной программы. Складывается впечатление что учебник математики составлен для учеников коррекционных школ.
@erdgeschoss-bf3vcАй бұрын
@@knopochka1304 обычные школьники вряд ли такое решали. Если посмотреть вступительные на матмех тех лет, то там уравнения несильно выше по сложности. Те, кто готовился поступать на технические специальности, да, наверное, решали.
@anagornyАй бұрын
Совершенно страшное решение у Вас, хотя и правильное. Эта задача проще всего решается введением параметра. Число 5 обозначаем за a, возводим в квадрат по известной схеме, и получаем относительно a квадратное уравнение с отличным дискриминантом и с отбором корней. После обратной замены получаем два квадратных уравнения (уже относительно икс), точно такие же, как у Вас. Ровно в таком виде эта задача есть в учебнике Ткачука (среди 100 задач на засыпку), она была очень давно на вступительном экзамене (устном) в МГУ на факультет ВМК, а также я лично давал её на устном туре олимпиады "Покори Воробьёвы горы!" по математике в Волгограде (выездной тур). Единственный школьник, который справился с ней (его решение было через обратные функции и графики), был нами принят в МГУ без дальнейших экзаменов (поскольку письменный тур он тоже прилично написал).
@artyhere7 ай бұрын
Можно сделать замену z = (x - 5)^0.5. Тогда получится система из двух уравнений: { x^2-5=z; x=z^2-5 } что эквивалентно {x^2 - 5 - z = 0; z^2 - 5 - x = 0}, вычитаем второе из первого, получаем x^2 - z^2 + x - z = 0, а значит (x-z)(x+z+1)=0. А это значит, что либо x=z, либо z = -x-1. Подставляем в изначальное уравнение x^2 - 5 = z и получаем два квадратных уравнения x^2-x-5=0, что дает ответ (1+21^0.5)/2, тк z>0 и x^2+x-4=0, что дает (1-17^0.5)/2, так как должно выполняться условие z>0 => -x-1>0 => x < -1
@user-zv7dh4vh3d10 ай бұрын
Методом неопределённых коэффицентов решается очень просто
@WonderSpase4 ай бұрын
Спасибо, интересно, но хорошо бы проверить, хотя, конечно, это можно сделать и самостоятельно 🙂
@AlexeyEvpalov10 ай бұрын
Метод вложенной функции. С учётом x^2-5>=0, возведём уравнение в квадрат и перенесём 5, получим (x^2-5)^2-5=x, если f(t)=t^2-5, то получили f(f(x))=x. Пусть f(t)=t, тогда f(f(x))=f(x)=x, то есть x^2-5=x, квадратное уравнение x^2-x-5=0. Разделив многочлен 4 степени получим разложение (x^2-x-5)(x^2+x-4)=0. Совокупность таких же уравнение, Ответы те же.
@thebishop358810 ай бұрын
Прикольно) не зная математики, подгонять под ответ литературно-художественное решение на основе фантазий)) с ошибками, которые чудесным образом сокращают друг друга))
@krivega19 ай бұрын
Бля, лучше и не скажешь ))))))))))))))))))))))))))
@-mrGDV-7 ай бұрын
Ну после ОДЗ я для прикидки сделал графики л.ч. и п.ч., откуда видно, что решений ровно два Дальше я просто попробовал сделать замену самой неприятной части t=√(x+5) В итоге вышло уравнение t⁴ -10t² -t +20 =0 Но возведя оригинал в квадрат и перекинув вче влево будет то же самое x⁴ -10x² -x +20 =0 Значит корни у них совпадают, отсюда тоггда есть 2 возможных вывода 1ый x1=√(x1 +5) & x2=√(x2 +5) Тогда они объединяются в одно x=√(x+5), откуда x=(1±√21)/2 2й x1=√(x2+5) & x2=√(x1+5) Откуда у нас либо x1=x2, и снова первый вариант, либо {x1,x2}={(-1+√17)/2;(-1-√17)/2} Ну дальше проверяя корни остаются (1+√21)/2 и (-1-√17)/2 Если я не накосячил, то как-то так
@vbphysiologyexp682Ай бұрын
Второй правильно.
@sklishev7 ай бұрын
Если искать выражение x^4 - 10*x^2 - x + 20 в виде произведения квадратных трехчленов (x^2 + ...) (x^2 + ...) с целыми коэффициентами, но несложно получить x^4 - 10*x^2 - x + 20 = (x^2 - x -5)*(x^2 + x -4), откуда находятся все нужные корни.
@kozerog756 ай бұрын
А в каком учебнике Вы нашли такую задачу?
@dmitrytitov92327 ай бұрын
Интересный способ, но подходит конкретно для данного случая. В общем случае в таких уравнениях, если не решать уравнение четвертой степени "в лоб", применяя сложные формулы, нужно увидеть правильную замену t=f(x), чтобы получилось уравнение, не содержащее x, но решаемое более простім способом. Автор предложил оригинальный способ, который чаще усложняет задачу.
@irinav25356 ай бұрын
Необычно , но красиво!
@user-xc2gu5jg9n10 ай бұрын
Интересная задача. Но, разве нам не нужно было в ОДЗ еще написать, что х+5>=0? То-бишь, что x>=-5. Т.к. если мы не планируем в комплексные числа ударяться - под корнем тоже должно быть не отрицательное число. В теории, ведь, мог быть корень -6 например, который бы в наше ОДЗ подходил, но давал бы под корнем минус единицу.
@user-vs6jw1zd8y10 ай бұрын
Вы абсолютно неправы. Повторите и разберитесь в понятии ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. В таких уравнениях, где одна часть корень, а в другой рац. выражение,излишне дополнительное условие. А вот требование рац. части быть больше или равной нулю обязательно! Потрудитесь открыть учебники с темой иррациональные уравнения вида f(x)=✓g(x) и разберитесь.
@dmitryavanesyan13105 ай бұрын
Мой учебник по профильной математике за 10-11 класс за авторством Алимова говорит, что нужно обозначить, что х>=-5. Тогда, если рассматривать совокупность x>sqrt(5) и x
@user-pw2pz3hn5n7 ай бұрын
Есть похожие задачи с параметром, где степень многочлена относительно х выше второй, а относительно параметра а вторая.
@kot.ofsummer3 ай бұрын
Наконец -то не бредовая задача с неверным цсловием, а что-то действительно решаемое, да еще и не обычным способом! 👍
@chastlyegor730510 ай бұрын
У советских школьников проблем с решением задачек быть не могло по определению(МА подтвердит))
@user-qq3qt3dj5r10 ай бұрын
ХАХПХПХПХАХАХАХХ ШАРИШЬ))))))))
@user-qq3qt3dj5r10 ай бұрын
Славные были времена :) помню, в 68-ом году сдавал вступительные в яйцеклетку матери. Там и встретил впервые данную задачу.
Какое практическое примение- для расчетов размера участка, вещи, их количества, предположение события и т.п. имеет эта задача и срособ ее решения, и каким обстоятельством, проблемой вызвана необходимость ее решения?
@samedy003 ай бұрын
Никакого. А что, должна?:)
@alexandermorozov22489 ай бұрын
Ещё додуматься нужно, что именно 5 принимать за t.
@user-vr9hg1is9d9 ай бұрын
Посмотри как решал такие уравнения Андрей Щетников! Не надо делать нелогичные замены. Графический метод наглядный и логичный!
@user-tz1nd4hn6l7 ай бұрын
Графический метод неточен. Он лишь может дать подсказку в решении. Математика - это не живопись
@bim143010 ай бұрын
Шикарная задачка )
@shevaeva5 ай бұрын
Да это же легко, вторая часть ЕГЭ профиля. Часто подобное встречается
@user-M007Ай бұрын
В школе квадратные уравнения с дискриминантами щелкал как орешки, уже 30 лет прошло позабывал всё. Удивительная всё таки штука математика только сейчас понял.
@user-bv3dj1zs7s10 ай бұрын
Проверка корней постановкой примерных значений это конечно да Слава богу, этому в школе реально не учат!
@igsoroko9 ай бұрын
Он проверяет на попадание в интервал. Точности в 1 знак после запятой достаточно.
@terspace36505 ай бұрын
Ну, действительно, можно заметить, что √(x+5) это ветвь параболы, повернутой на 90 градусов, причем вершина этой параболы (-5 0), а вершина x^2-5 это (0 -5). Очевидно, меняя -5 т.е подставляя другие числа гмт некоторых точек пересечения это прямая x=y. Немного побаловавшись с коэффициентами (подставив не 5, а 1 и 3), получим, что остальные точки должны лежать типа на прямой y=-x-1, да, действительно гмт прямая(не вся), что также несложное замечание, а т.е вместо того, чтобы решать исходную систему, мы просто найдем положительный корень x^2-5=x и отрицательный корень x^2-5=-x-1. Да, если t>1, то задача x^2-t = √(x+t) имеет решения: положительный корень x^2-t=x и отрицательный корень x^2-t=-x-1
@mikewinny38562 ай бұрын
хорошая задачка, нам таких способов решения/замены в ЗФТШ при МФТИ не показывали (или я уже забыл :( )
@PeredatochajafunctioАй бұрын
Корни обратных функций, если их приравнять, лежат на прямых у=х и у=-х. Только отбрасываем y
@1234garga4 ай бұрын
В този канал има много умни хора, много съм впечатлена. Математици ли сте, внимавали сте в часовете по математика, или обучението по математика в Русия е на много високо ниво? Интересно ми е да разбера.
@user-rj4qv2go8o2 ай бұрын
Я начертил графики функций y = x² - 5 и y = √(x + 5). Попались иррациональные корни, неповезло
@alexanderrogov37219 ай бұрын
потрясающая задача!
@biotel9 ай бұрын
Что-то я не помню в школе таких закидонов на олимпиадах
@Asterlibra7 ай бұрын
Это фактически уравнение вида: f(x) = f^-1(x), где f(x) = x^2-5. Или f(f(x)) = x, правда два корня будут лишние. Т.е. результат функции и результат обратной функции совпадают. Намекает на это то, что если корень обозначить за у, то получится такое же уравнение. Значит х=у=f(x), получаем одно квадратное уравнение, у которого положительный корень подходит. Второе квадратное уравнение получается по аналогу теоремы Виета для многочлена 4-й степени. Там удобно - коэффициент при кубе равен 0 и сумме всех 4-х корней, два из которых знаем. То же с произведением корней. Если другими словами - мы делим многочлен 4-й степени на многочлен 2-й степени столбиком. Остатка нет - значит все правильно. Решаем получившийся многочлен. Т.е. чистая алгебра. Однако признаюсь - когда решал, без читерства с графиками функций не обошлось.
@natteft65935 ай бұрын
возьмём t = √(x+5). Тогда подставляя в уравнение, получим t² -5 = √(t+5), т.е. t = x является решением исходного уравнения, отсюда x =√(x+5) получается квадратное уравнение. Но это решение находит не все корни. Остальные корни можно найти подставив найденые как корни уравнения 4-ой степени
@mkostya7 ай бұрын
Решил за 5 минут. Кто Сканави в свое время прорешал, тот сможет Решаем квадратное уравнение относительно пяти… И все получится 😅
@user-pk7yb2lj9u3 ай бұрын
В школе таких задач не решали, если это конечно, не специальная математическая школа. Уровень сложности вполне для вступительного экзамена в МГУ.
@user-fg1yr1kh5k9 ай бұрын
2:18 Гениально! 👌
@eugenestarostin150810 ай бұрын
Параболы y=x^2-5 и y=sqrt(x+5) симметричны отнoсительно прямой y=x и имеют 4 точки пересечения. Две из них лежат на оси симметрии. Поэтому один корень получаем из квадратного уравнения х=х^2-5 (больший, меньший отбрасываем из-за одз). Возводим исходное уравнение в квадрат, получаем уравнение 4-й степени, делим его на х^2-х-5, получаем х^2+x-4. Из 2-x корней последнего оставляем меньший, другой отбрасываем из-за одз. Все!
@user-tc6yr8lx4u9 ай бұрын
Интересный метод!
@user-nx5mh8kp4e9 ай бұрын
Решил методом подбора👌)
@knopochka1304Ай бұрын
Подобные задачи в 90-е печатали в журнале МГУ для школьников. И очень любознательные советские учителя давали их решать обычным постсоветским школьникам. А задачи из обычного школьного учебника это всего лишь на удовлетворительную оценку. Ни на каких олимпиадах такие задачи не решали. Решали в классе обычные школьники. Загляните в современные учебники, не в те что в лицеях а в обычных школах в рамках обычной школьной программы. Складывается впечатление что учебник математики составлен для учеников коррекционных школ.
@user-rj6jb2ue5t2 күн бұрын
Супер !!!
@Pozics10 ай бұрын
необычно
@gavrielgavriel6 ай бұрын
Охренеть: в универе так не учат. Я первый раз такое решение вижу, зная, что уравнение четвертой степени в таком возрасте не решают, я сдался. Интересно.
@moscasanzara58565 ай бұрын
На протяжении всего невероятного решения я ждал провкрку на экран, но так и не дождался.
@user-vg5gl4nd5w10 ай бұрын
Красиво!!!
@pro100SOm11 күн бұрын
зі старту пишемо, що y = x^2 - 5, x = y^2 - 5 з обмеженням, що y >= 0. Далі простіше за все цю систему розв'язати, якщо знайти різницю цих рівнянь: (x^2 - y^2) + (x - y) = 0 звідки або x = y, або y = -1 - x підставляємо у рівняння y = x^2 - 5, отримаємо два з передостанньої строки. Далі вже чисто техніка (головне не забути про обмеження, що y >= 0)
@user-ht9cb8ux9j5 ай бұрын
Не стал проверять с калькулятором...поверил
@dmitrytitov92327 ай бұрын
При такой замене, если 25 записывать не как t^2, а как 5t, то будет еще более простое уравнение без лишних корней.
@user-qr9is8xw9s4 күн бұрын
Уравнение 4 степени разрешимо в радикалах. Берём формулы Феррари - и вперёд.
@user-pf7ds9jc9x7 ай бұрын
какие же все в комментариях умные.я восхищена
@valeriy_konstantinovich4 ай бұрын
Я бы попробовал решить эту задачу с помощью системы уравнений и построения графиков функций. А потом посмотрел бы значения Х на пересечениях
@maximprosv10 ай бұрын
Здравствуйте, почему бы нк разложить по формуле квадратов и сократить правую часть?
@AlexB-.10 ай бұрын
По формуле разности квадратов получится (x - корень 5) (x + корень 5), а в правой части под корнем выражение x+5
@dmxumrrk33210 ай бұрын
Сокращать уравнения на выражения, содержащие неизвестное - фигóвая идея. Даже если оно сокращается.
@sokolovskivitali29714 ай бұрын
Все мозги разбил на части Все извилины заплёл
@user-wq6ue4uo1w3 ай бұрын
делаем замену переменной t = x^2 - 5 если подставить в исходное уравнение, то t = sqrt(sqrt(t + 5) + 5) возводим в квадрат обе части t^2 = sqrt(t + 5) + 5 или t^2 - 5 = sqrt(t+5) т.е. уравнение относительно t принимает исходный вид, как для x Отсюда сразу следует, что t = (+/-) x т.е. мы имеем два квадратных уравнения и дальше как видео
@alexandrpashkovich26725 ай бұрын
Решал в школе и щелкал как орешки. Прошло 25 лет случайно открыл видео и осознал, что это бесполезные знания
@MDV-YT-SamaraАй бұрын
В принципе, да, все эти знания и умения для жизни ни разу не пригодились. Пригодились более прикладные что ли знания по бинарной логике, например и физике.
@0ver4ance10 ай бұрын
Да можно проще и не возводить в квадрат в начале. Переносим все в левую часть: X^2 - 5 - sqrt(x + 5) = 0 Потом делаем абсолютно нелогичный шаг, а именно прибавляем и вычитаем из левой части x: - x - 5 - sqrt(x + 5) + x^2 + x = 0 Делаем замену t = sqrt(x + 5) и получаем: -t^2 - t + x^2 + x = 0 и решаем относительно t: D = 4x^2 + 4x + 1 = (2x + 1)^2 Меняем t обратно и получаем два уравнения: sqrt(x + 5) = -1 -x sqrt(x + 5) = x Возводим их в квадрат и получаем два квадратных уравнения: x^2 + x - 4 = 0 x^2 - x - 5 = 0 Ну а дальше дело техники)
@user-jx8sm8oh8tАй бұрын
Мое мнение по решению задачи. Эта задача решена очень запутана и очень сложно . Обратите внимание водится t , возводятся степени больше значения 4.А какие коффиценты в квадратном уравнении( громадные). Короче , это уравнение решается очень просто за 5 минут графически. Графики строятся легко по 4 точкам. Пересечение графиков в двух точках и есть решение.
@user-gx7qi7dz2y5 ай бұрын
Я пробував як на початку відео розкривати і пробувати застосовувати теорему Безу. Не зміг найти цілих коренів і вирішив подивитися на розв'язок у відео.
@Hobbitangle5 ай бұрын
Элементарная подстановка у=√(х+5), у>0 приводит к системе алгебраических уравнений х²=у+5 у²=х+5 Вычитаем одно уравнение из другого получаем х²-у²=у-х Разлагая разность квадратов и выносят за скобку общий множитель (х-у) получаем уравнение (х-у)(х+у+1)=0 которое имеет два независимых решения х=у х=-у-1 Подставляем первое решение в первое уравнение у²-у-5=0 D=21 y=(-1±√21)/2 Отбираем только положительный корень поскольку у>0 х=у=(√21-1)/2 Подставляем второе решение у²+у-4=0 D=17 y=(-1±√17)/2 Опять выбираем только положительный корень у = (√17-1)/2 х= - (√17+1)/2 Решений два: х= (√21-1)/2 х= - (√17+1)/2
@user-us2bg4tr1s10 ай бұрын
Можно заменить х+5=у^2...получится х=у^2-5 ....у=х^2-5
@andreyvorobyev64224 ай бұрын
может пропрбовать графики этих функций соствить и посмотреть, где у них пересечения?
@user-ht8sp1cu9v8 ай бұрын
Cтроим графики ф-ций у1= х^2-5, ОДЗ х-любое и у2=(х+5)^(1/2), ОДЗ х>-5 и х=-5; видим 4-е точки пересечения в ОДЗ х -- значит, существует 4-е решения уравнения у1=у2; поскольку ф-ция у2 обратная по отношению к ф-ции у1, то абсциссы графика у1 перейдут в ординаты графика у2, и наоборот, ординаты первого графика перейдут в абсциссы второго -- воспользуемся этим свойством: найдём координаты точки пересечения графика у1 и прямой у=х, решая простое квадратное уравнение х^2-5=х; отсюда находим первые два корня уравнения у1=у2, а именно х=2,79128..., х=-1,79128... Для определения ещё 2-х корней решаем уравнение х^2-5=-х-1, что даёт х=-2,56155..., х=1,56155... Можно показать, что пересечение любой параболы у1=х^2-const с прямой у=-х-1 даёт координаты точек обратной и прямой функций, пока const
@user-ht8sp1cu9v8 ай бұрын
исправление: графики у1 и у2 пересекаются на прямой у=-х-1, пока параметр const>0,75. При уменьшении const в область отрицательных чисел наступает момент, когда параболы у1 и у2 совсем не пересекаются, даже на прямой у=х.
@elenagorbunova295010 ай бұрын
Как может чему-то учить человек, который не знает, что такое ОДЗ для уравнения и делает ошибки в оформлении решения?!!!
@alexandrlitvinenko31144 ай бұрын
Зачем я это посмотрела😅 теперь ночью школа сниться будет😂
@fdc_zotei523 ай бұрын
А решение то с подводным камнем. Школьник может легко оступиться, рассуждая, что если уравнение по t имеет единственное решение t=5, значит дискриминант его равен нулю. Но тогда ничего не получится.
@alikp4110 ай бұрын
Можно из одного квадратного уравнения с х вычесть другое и Х^2 сократится.
@leomemast8 ай бұрын
Одз с ошибкой. Единственное органичение - подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю. Откуда х больше или равен (-5). И все 4 найденных корня подходят. Наглядно, как уже писали, это можно увидеть, построив графики левой и правой части исходного уравнения. Это две параболы, которые имеют 4 точки пересечения, т.е. 4 корня исходного уравнения.
@user-qh5fr3yo1w5 ай бұрын
В Питоне можно решить при помощи while или for. Но тогда и Питона не было.
@MegaFranchiser10 ай бұрын
Где-то я уже такой способ решения видел
@sergeyrybalko47164 ай бұрын
Координаты x точек пересечения графиков в левой и правой частях. А дальше пишем программу на компе для поиска этих x с требуемой точностью. В качестве бонуса такое более общее решение имеет некоторые возможности модификации левой и правой частей, поэтому лучше приспособлено для решения реальных, а не выдуманных и притянутых за уши, задач.
@user-gu5dr9bx6c9 ай бұрын
ОДЗ: x>=~5, x^2>=5, т.е. x Є[~5,-sqrt(5)] или x Є [sqrt(5),infinity]. Пусть у=sqrt(x+5), тогда (y^2-5)^2-5=y. Если у^2-5=y, то уравнение удовлетворяется. Но тогда оно принимает вид (y^2-y-5)(y^2+y-4)=0.
@user-ym5wf2qi1g10 ай бұрын
Задачи по математике не могут быть советскими, православными, япоскими .... Зачем вы пытаетесь привлечь внимание такими дешёми манипуляциями. Оставьте вы уже это в прошлом.Его нет.
@user-wj7ws2wt2l10 ай бұрын
Можно было просто сказать, что задача из советского учебника. Поддерживаю
@clashfun232310 ай бұрын
вам придратьслишь бы к словам придраться, от того что человек будет яблоки называть тыблаками, они менее вкусными не станут
@user-ym5wf2qi1g10 ай бұрын
@@clashfun2323 так, а зачем мешать политику в математику?
@sacredabdulla569810 ай бұрын
@@user-ym5wf2qi1g потому что политика срёт в математику. Вы не замечаете этого?
@clashfun232310 ай бұрын
@@user-ym5wf2qi1g я пытаыслюсь донести, что когда он говорит советская задача, он не относит ее к определенной стране, он просто привык так выражаться, его фраза имеет тот же смысл, что и задача из советского союза
@Mcmern3 ай бұрын
На вскидку: икс должен быть от 2.2 чтобы левая часть была больше нуля. Если взять 2,2 то в левой части будет 0 а в правой около 2,6. Значит надо брать больше 2,2. Ну возьмем 3. Это получится 4 и чуть меньше трех. Левая часть обогнала правую, значит надо взять меньше. Ну возьмем примерно 2.9. Ответ: примерно 2,9. Диапазон: 2,8-2,9 Ответ: примерно 2,79. И ещё отрицательное число. Отрицательное число я то и не учел. Надо было рассматривать икс от -5. А я рассматривал от 2,2 и выше. Диапазон указал неверный.
@laurie73869 ай бұрын
Под видом ОДЗ записаны ограничения.
@user-sq9lf6mt7g9 ай бұрын
Можно проще решить: х^2 - 5 =y x+5 = y^2 , тогда сложим и получим x^2 + x = y^2 + y первое решение x=y из которого следует уравнение x^2 - x - 5 =0, второе решение x^2- y^2 =-{x-y} y= x-1 уравнение x^2 + x - 4=0
@aleksandrrepin249010 ай бұрын
А проверку сделать ?
@user-ig9dy8sy5c9 ай бұрын
30 лет назад сдал экзамен по диф. уравнениям. ЗДЕСЬ НЕ ПОНЯЛ!!!!!!!!!😢
@natteft65935 ай бұрын
у меня получилось более простое решение, возьмём t = √(x+5). Тогда подставляе в уравнение, получим t² -5 = √(t+5), т.е. t = x является решением исходного уравнения, отсюда x =√(x+5) получается квадратное уравнение. Но это решение находит не все корни. Остальные корни можно найти подставив найденые как корни уравнения 4-ой степени
@user-lq2pr9dt5j6 ай бұрын
То что вы назвали ОДЗ, таковым не является, это условие при котором уравнение в принципе может иметь корни. Это условие связано с областью принимаемых значений функции корень из х. За подобную запись на егэ сразу ставят ноль баллов, рассматривая это как не понимание школьником разницы между Областью определения и областью принимаемых значений.
@user-oo8tq8td2x7 ай бұрын
Все это интересно,жаль только пустое.Ради головоломки только.
@user-td9kt2rj7s9 ай бұрын
И понятно, и понравилось... Но... эта "пляска с бубном" по примерной оценке корней уравнения - это ступор для большинства школьников.
@user-zx1sx2dp4e5 ай бұрын
Решение хорошее, но в ОДЗ надо то, что под корнем, т. к. Под радикалом не может быть отрицательное число