Всесоюзная олимпиада школьников по математике 1978 года. Сможешь решить?

Рет қаралды 61,484

Этому не учат в школе

9 ай бұрын

Мой канал в VK - yellow.school
(х-7)² + (х-6)³ + (х-5)⁴ = 2

Пікірлер: 110

@AlexeyEvpalov 9 ай бұрын

Чтобы избежать больших чисел при возведение в степень, обозначим x-5=t. Тогда уравнение имеет вид (t-2)^2+(t-1)^3+t^4=2. Раскрыв скобки и приведя подобные получим t^4+t^3-2t^2-t+1=0. Если есть целый корень то он среди делителей 1. Проверяем t=1и t=-1, оба корня подходят. Разделив на (t-1) и (t+1) получим разложение (t-1)(t+1)(tt+t-1)=0, для квадратного уравнения D=5, t3=(-1-V5)/2, t4=(-1+V5)/2. Подставив t в x-5=t получим Ответ: x1=4; x2=6; x3=(9-V5)/2; x4=(9+V5)/2.

@KSumatokhin 9 ай бұрын

Можно поподробнее "Разделив на (t-1) и (t+1) получим разложение (t-1)(t+1)(tt+t-1)=0" ?

@AlexeyEvpalov 9 ай бұрын

@@KSumatokhinпо теореме Безу t^4+t^3-2t^2-t+1 делится без остатка на (t-1), если t=1 корень. Делим в столбик, или по схеме Горнера. Также с корнем t=-1, делим на t+1.

@KSumatokhin 9 ай бұрын

@@AlexeyEvpalov, спасибо. Для заинтересовавшихся вот ссылка на урок про схему Горнера kzfaq.info/get/bejne/e8p0etmVuLXZcnU.html

@andreyl1677 9 ай бұрын

Спасибо

@alexq1250 9 ай бұрын

я делал так же, только не угадывал корни, а разложил уравнение с t на множители. t^4+t^3-2t^2-t+1 = (t^4+t^3-t^2)-t^2-t+1 = (t^2-1)(t^2+t-1) = 0, далее решаем 2 квадратных уравнения и получаем 4 корня

@user-qn5nw3ve4t 9 ай бұрын

Можно немного проще если обозначить х-6 через а. Тогда получим уравнение а(а^3+5а^2+7а+2) = 0. Кубическое уравнение имеет корень -2, остальные два корня находим из квадратного уравнения

@blackcow1185 9 ай бұрын

Тоже сразу увидела этот способ

@dinaranechaeva4395 9 ай бұрын

Лайк сразу, до просмотра, за один только пример на заставке)

@user-cs8to3kn1f 9 ай бұрын

При замене х-6=t , получаем после упрощений t(t+2)(t^2+3t+1)=0. Далее дело техники.

@marklevin3236 5 ай бұрын

Вспоминается детство Олимпиада в Ташкенте. Да действительно там была эта задача.

@femalesworld2 9 ай бұрын

После нахождения корня, пусть даже простым перебором, можно сокращать сложное уравнение на это выражение. Т.Е. после нахождения корня x=6,можно было упрощать, сокращать на x-6.

@MrEkokadr 6 ай бұрын

Запись первой строки недопустима при решении уравнений.Это же учитывается на олимпиадах.

@kozerog75 5 ай бұрын

Почему?

@mrgrivify Ай бұрын

Брэд, х-5=t, раскрываем скобки, потом легко получается сгруппировать множители и ответ рассчитывается за три минуты, буквально. Без кучи арифметики лишней

@FromTskhinval 6 күн бұрын

красиво)

@user-yh3by3gr4n 9 ай бұрын

я пошёл так x-6=t, тогда (t-1)^2+t^3+(t+1)^2=2, потом я пошёл также как и вы разложив двойку на 1+1 и воспользовался разностью квадратов, раскрыл скобки и получил: t^4+5t^3+7t^2+2t=0и дальше сгруппировал, сделал обратную замену и нашёл те же корни, что и вы))

@matematika6383 9 ай бұрын

Super

@SergeyUstinenkov 9 ай бұрын

Ответ Х=6 получается за 1 секунду просто взглянув на задачу. Остальные ответы надо искать.

@mrgrivify Ай бұрын

Ну, подбери остальные три корня, смешной.

@SergeyUstinenkov Ай бұрын

@@mrgrivify сам смешной) когда известен один из корней, то уравнение 4 степени превращается в уравнение 3 степени, а это намного легче решать.

@mrgrivify 29 күн бұрын

@@SergeyUstinenkov ну да, ну да, кубические же уравнения в уме решаются.

@ndpsgu 7 ай бұрын

Немного иначе решал: выразил В и С через А. Но, как я это люболю с детства, традиционно забыл про отрицательные значения при извлечении корня :)

@kuprin7176 9 ай бұрын

И надо надо спорить!

@marklevin3236 9 ай бұрын

Олимпиада была в Ташкенте?

@mikhaildorservice2343 16 күн бұрын

Всю жизнь было интересно, кто эти задачи выдумывал

@richardhuling9200 9 ай бұрын

Решение элементарное. Разбить 2 на 1+0+1. Отсюда видно, что только при х=6 выполняется такая разбивка, так как (6-6)^3=0^3=0; (6-7)^2=(-1)^2=1; (6-5)^4=(1)^4=1. Вуаля. Задача-то олимпиадная и мыслить нужно по-олимпиадному.

@user-jw9tb9sx2z 9 ай бұрын

А ещё 3 других корня?

@richardhuling9200 9 ай бұрын

7 не подходит. С 4 я просто не заморачивался, так как требовалось дополнительное объяснение. Для вас лично. Одна из полученных единиц происходит за счёт разницы в последней скобке, то есть (-1)^4=(х-5)^4, х=4. Отсюда вторая единица-это разница двух предшествующих скобок, то есть 1=9-8. Почему 9 и -8? Это единственный вариант чисел в квадрате и кубе, разница которых равна единице. Так как второе число отрицательное, то х меньше 6, следовательно 9=(-3)^2, а не 9=(3)^2. Отсюда, 9=(-3)^2=(x-7)^2, где х=4. Проверяем число во второй скобке, (4-6)^3=(-2)^3=-8. Так что я пропустил только одно решение, но участвуя в олимпиадах получил опыт, что решение их задач требует не знание алгоритма решения, а принцип построения задач на них.@@user-jw9tb9sx2z

@user-up5qm1ns9k 9 ай бұрын

@@richardhuling9200 там еще два нецелых корня. Так что подбор поможет упростить, но решать придется. И да, замена x-5 оптимальная

@user-rj2ry8tq8b 9 ай бұрын

Решил через замену х-5=t. Не было ни одного числа более 10.

@user-zh3yu4qs4l 9 ай бұрын

Нихрена непонятно, но ооочень интересно!!!!😂😂😂

@user-xp6fw9gz8k 4 ай бұрын

Получилось разложить на множители (видимо случайно). x-4 выделяется и x-6. Тогда корни: 4, 6, (-3 - корень(5))/2, (-3 + корень(5))/2.

@user-nc2ts9wi2d 8 ай бұрын

Очевидно, чтобы сумма трёх слагаемых была бы 2, надо чтобы два слагаемых были бы по единице, а третье 0 и это возможно при Х=6

@user-kj1mg2cn2k 4 ай бұрын

Там еще есть 3 корня!!!

@user-xn9pk4yq2o 9 ай бұрын

А сделать проверку!

@KiritoSun0701 9 ай бұрын

Согл тоже решил методом подставления за 2 минуты

@Milesius1989 9 ай бұрын

х=6 сразу бросается в глаза, а дальше фиг знает, снимаю с паузы, смотрю решение =))

@Hyyudu 9 ай бұрын

А мне сначала x=4 бросилось, потом уже 6 пришло. Ну, а с корнями по очевидной причине не так заметно

@user-bf9qo8fs7r 9 ай бұрын

Решил через подбор и логики. Секунд за 5

@usikpa 8 ай бұрын

На самом деле решать надо, отнимая единицу от (x-6)^3 через разницу кубов

@MrEkokadr 6 ай бұрын

Отнять это насильно взять.ВЫЧИТАЯ единицу...

@user-fj2zl6fe1d 9 ай бұрын

Это за какой же класс задача? Простовата для всесоюзной. И решается стандартными методами, которым учили в матем. школах и на олимпиадных кружках.

@roden2208 9 ай бұрын

Главный вопрос, ответьте пожалуйста! Как понять, что пример приводится вообще? Я готов раскрывать скобки, подставлять правила и прочее, если я уверен, что движусь в нужную сторону. Но, на каком-то из действий я продолжаю видеть какую-то хрень, которая совершенно не похожа на представляемый мной конечный результат. Возможно, я в правильном направлении, и это просто промежуточный результат, но как мне быть в этом уверенным? Поэтому я бросаю и ищу другие способы или просто сдаюсь, а до победы, вероятно, оставалось всего пара каракатиц...

@kozerog75 5 ай бұрын

Если ты сам придумывал уравнение, никаких гарантий что оно решаемо школьными методами нет.

@roden2208 5 ай бұрын

@@kozerog75 та нет же, я имею в виду - из учебника или вот в ютубе часто какие-нибудь задачки задают. То есть, в принципе, оно должно решаться. Но, если это обычное квадратное - там виета или дискриминант, тут без проблем. Но если что-то необычное. Или многочлен сократить странный. Как подобрать верный путь решения?

@kozerog75 5 ай бұрын

@roden2208, Никакого алгоритма нет. Просто перебираешь известные тебе приём и методы.

@user-tb6md4zt7d 4 ай бұрын

@@roden2208 если есть целые корни, то они являются делителями свободного члена (+-). А если нет, то сделай, чтобы были))

@alexkolosov9684 4 ай бұрын

Как верно заметил *kozerog75* - "никакого алгоритма нет". Более того, даже "стандартные" школьные задачи в большинстве случаев могут быть решены разными способами. А в нестандартных - метод научного тыка, или по-другому - метод проб и ошибок. И вот для него есть что-то вроде алгоритма: 1. если есть очередная гипотеза (предположение, как решать), то => п. 2, иначе => п. 4 2. пробуем решать выбранным методом - до упора, пока не будет понятно, получается или нет 3. если получилось => в п. 7, иначе => п. 1 4. все идеи исчерпаны => п. 5 5. ищем решение (в задачнике, в Интернете) 6. если нашли => п. 7, иначе => п. 8 7. победа! 8. печалька :-( , но не смертелька :-) Можно вернуться к решению позже. Главное - не бояться делать ошибок. В математике это вообще нестрашно - просто испишется больше бумаги, что относительно дёшево :-) А количеством исписанных листов можно даже немного гордиться - ведь была сделана немалая работа :-)

@MrEkokadr 6 ай бұрын

Не формулы,а ТОЖДЕСТВА сокращённого умножения!

@kn-s9616 9 ай бұрын

Когда рассчитывали дискриминант почему получилось 17 а не 15 мне не понятно. Должно было быть -b а это -1 а не 1.

@kozerog75 5 ай бұрын

Для школьников каких классов? Здесь как ни решай, всё равно решается легко: x-6=t, дальше (t-1)^2+t^3+(t+1)^4=2, тупо раскрываем скобки, используя бином, двойка улетает в 0...

@iwaniwanow6152 8 ай бұрын

Хорошо, когда у таких уравнений есть целые корни. Рано или поздно они отыщутся. А вот если целых корней нет, то

@user-bf3ko7ts5e 9 ай бұрын

Сразу подбираем x=6, делим многочлен 4й степени до 3й степени :)

@user-xv7xr1mu9i 9 ай бұрын

Cреднеарифметической 7+6+5=18/3 =6 x-6=t и дальше все просто

@user-wj1bx5mv3i 6 ай бұрын

Один корень вижу. Сейчас поем пельменей и остальные найду, никуда не уходите.

@mp443 5 ай бұрын

Я раскрыл скобки, записал в стандартном виде и нашел корни методом Феррари. Кто сделал иначе, тот не мужик.

@yuriandropov9462 9 ай бұрын

Ошибка на пятой линии .х-6 общий множитель в трёх слагаемых.

@user-lg9mr5jr8e 5 ай бұрын

Это же всесоюзная олимпиада, а не обычный урок в сельской школе

@user-sm6xy2lh3s 9 ай бұрын

Инаданадаспорить!

@konstevs 9 ай бұрын

хм. а как выглядит график этой функции?

@user-vz9cc2lr8n 5 ай бұрын

Четыре корня, значит четыре раза пересекает ось х. Взяв производную этой функции, находим на каких участках она положительна (значит функция возрастает) и на каких отрицательна (убывает).

@konstevs 5 ай бұрын

Вы ответили на другой вопрос.

@__.7280 9 ай бұрын

Я голову сломал.

@biotel 9 ай бұрын

Всего 5 значений x? Надо формально ответ записывать

@VoV4eK88 9 ай бұрын

Почему 5? Четыре

@dudmax11 Ай бұрын

По видом математики раскручивает миф о лучшем советском образовании) Чьи там уши точат?)

@euor800 9 ай бұрын

x=6 => (-1)^2+0+1^4=2

@eduardionovich4425 9 ай бұрын

Ложь: этой задачи НЕ БЫЛО на всесоюзной олимпиаде 1978 года!

@kranik1 4 ай бұрын

Теорема Виета рулит

@Mordorian_Orque 4 ай бұрын

t=x-6, так проще

@user-fo5oh4pf2k 9 ай бұрын

Какой ещё дискриминант, теорема Виета. Корень 6 был угадан на второй секунде просмотра.

@user-kj1mg2cn2k 4 ай бұрын

Когда кони иррациональный, по теореме виета решить невозможно, либо дискриминант, либо выделыть полный квадрат!!!

@sak87399 6 ай бұрын

Лучше замена х-6

@starcy_est_chihachevo Ай бұрын

А теперь поставьте 4 в исходное уравнение. Явно не 2 получается.

@viktorkolyadar495 Күн бұрын

Не знаю, как Вы считали, у меня получилось

@starcy_est_chihachevo Күн бұрын

@@viktorkolyadar495 скорблю о вас

@user-kr9gg2xo7v 5 ай бұрын

Судя по количеству решении в комментариях, слабовата она для 1978 всесоюзной олимпиады.Для тех, кто каждый день решает такие задачи, все уме можно решить. Такие подобные уравнения сейчас в учебнике под звездочкой. Тут должны быть везде дробные степени, типа 23/12x

@user-pw5pd4ob1t 8 ай бұрын

Я не понимаю.Плохо учился. Как у икса могут быть разные значения? Ведь икс это одно нетзвестное число.Я даже не знаю как зделать проверочное решение.

@Chasovskikh_Ivan 6 ай бұрын

Например: x²=4 Какое тут число скрывается под иксом? Правильно вы скажите 2. Ведь : 2²= 2×2=4 Но тут верен и ответ -2! (-2)²=-2×(-2)=4 Минусы уходят остаётся плюс. x1=2 x2=-2 И это только пример для такого уравнения, в одном уравнение значений икс может быть больше двух, но это уже зависит от уравнения в данном примере x+5=10 конечно тут будет один ответ x=5.

@budarin1836 9 ай бұрын

Красивое решение будет при замене (x-6)=t , тогда раскрываем полученные скобки, слева сумма двух единичек, права 2. Выносим общий множитель t(t^3 +5t^2 + 7t + 2)=0 Кубический четырёх член можно разбить на множители с помощью таблицы Герона, отсюда получаем t(t+2)(t^2+3t+1)=0 Дорешиваем, возвращаемся к переменной x и получаем те же корни что и видео

@darmasalla8015 9 ай бұрын

Все правильно, но, извините, "много букф". Достаточно начертить графики трех функций: y= (x-7)^2 y=(x-6)^3 y=(x-5)^4 и посмотреть, на каких промежутках их сумма даст 2. Далее методом исключения быстро выходите на решение.

@alexq1250 9 ай бұрын

на глаз определите сумму трех функций по графику и что корень (9+sqrt(5))/2? ну и этот метод совсем не похож на то, что предлагает автор.

@user-yg2qj8fn8q 6 ай бұрын

а проверка?. неуд

@user-jd3ft8wt5r 9 ай бұрын

4- не корень! Вы бы хоть подставляли корни в исходное уравнение, горе - решальщик.

@Bumsik777 8 ай бұрын

Удивишься, если подставить равенство верно.

@user-gm5ey8wp6b 9 ай бұрын

корни 6 и 4 очевидны сразу.

@user-jh7jk3my1k 9 ай бұрын

Не самое рац.решение, в этих скобках можно и запутаться

@Stanislav_M 9 ай бұрын

Профессор вспомогательной школы не умеет решать задачи красиво. Комментарии квалифицированные этого неуча.

@denis6705 9 ай бұрын

Ну целое сочинение расписал а по проще 🙄

@user-df9yh4ji5q 9 ай бұрын

конечно лучшее образование! вон самсунг эпл, интел, амд - всё советские высокотехнологичные компании.

@romanpadalka8532 9 ай бұрын

Вы бы поинтересовались, кто у Интел пентиум линейку разрабатывал, например. Кто у Амазон их облако проектировал. Ну и на сладкое - почему же Тайвань до сих пор так важен для США.

@user-df9yh4ji5q 9 ай бұрын

@@romanpadalka8532 Вне всяких сомнений это все разработки советских учёных)) мы же с вами знаем сколько известных мировых брендов родились в советском союзе. все прямо гонялись за советскими товарами!! и все благодаря советсвкому образованию!

@jellowfitser 9 ай бұрын

@@romanpadalka8532 для этого надо уметь думать дальше своей предметной области, а это не только не про текущее поколение - это уже 100 лет назад было фантастикой, Ортега-и-Гассет уже тогда описал типаж "специалиста"

@Protagonista89 5 ай бұрын

@@romanpadalka8532 и вдогонку вашему комментарию, пусть вопрошающий поинтересуется, кто проектировал первую альфу для эппловских часов.

@user-ib8bh4jq2v 3 ай бұрын

Это же пример 7 класса. Ничего особенного.

@user-zt3wu8po4x 9 ай бұрын

Плохо объясняет! Зачем? Сам для себя решаешь? И собой уповаешься! Фуууу

@yakovsvidunovich-bp5fy 9 ай бұрын

На олимпиадную задачу не тянет...😏😏😏

@user-yh5ni9bu9i 9 ай бұрын

Интересно, с какого перепугу вы решали квадратное уровнение, когда оно являлось слогаемым

@metalmetall5386 9 ай бұрын

Возник тот же вопрос

@dmitriynazaryev7149 9 ай бұрын

Он решил квардратное уравнение чтобы разложить это "слагаемое" на множители. Вместо квадратного уравнения получились два множителя с первыми степенями.

@user-el4kg8xj3c 9 ай бұрын

Чтобы разложить его на множители, например x^2-2x-8 можно представить в виде двух множителей если его решить, будто оно равно 0, корни этого уравнения x1=+4, x2=-2 => x^2-2x-8 можно разложить как (x+2)(x-4) и неважно чему изначально равняется квадратное уравнение, является оно слагаемым, делителем, множителем, может x^2-2x-8=(x+2)(x-4)=0, а может (x^2-2x-8)+123*y=(x+2)(x-4)+123*y=......

@artemus7062 9 ай бұрын

@@user-el4kg8xj3c его-то разложили, но оно не перестало быть слагаемым. Мне показалось что корни 7 и 4 автор таки записал в решение всего уравнения. 4 - в последствии ок, но 7 точно не корень всего уравнения.

@dmitriynazaryev7149 9 ай бұрын

@@artemus7062 (Х-4) вынеслось за скобку и стало общим множителем, поэтому это общий корень. А (Х-7) скомбинировалось с оставшимся квадратичным слагаемым в большой скобке. Из этого скомбинированного квадратичного слагаемого потом получилось еще два общих корня.

@eduardionovich4425 9 ай бұрын

Ложь: этой задачи НЕ БЫЛО на всесоюзной олимпиаде 1978 года!