円環の檻で人は猛獣から逃げ続けられるか？【ゆっくり解説】

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Күн бұрын

ただし人と猛獣の最大速度は同じとする。
動画のほとんどは中学数学までで理解できるはずです（問題を解くには高校数学が必要）。
キーワード：幾何・極限・完全情報ゲーム
検索用：ライオン
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0:00 問題
1:12 解答
X（旧 Twitter）： / evima0

Пікірлер: 108

@aloha89room Ай бұрын

ただし、ライオン側の方策によっては、無限時間経過後の人との距離を0に収束させることができることをも、同時に証明できますね。

@ggg-rh8kr 8 күн бұрын

マ？

@aloha89room 5 күн бұрын

本当ですよ。円の中心からスタートして、極座標の角度が常に一致するように調整しながら追いかければ、距離が0に収束することを証明できます。

@eltva 8 ай бұрын

ありがとうございます！いま檻の中でライオンに追われているのですが、これでたすか

@creeper-corporation Ай бұрын

@Yukake-dazo- Ай бұрын

びっくりして送信を押したのかなって毎回思ってたりする

@user-os8jo7ef6w Ай бұрын

ダメだったみたいですね…

@tpmawo Ай бұрын

ナイスファイト🦁

@saltsk3059 Ай бұрын

成仏してクレメンス

@2au 8 ай бұрын

点だからぶつからないだけで、自分とライオンを円としたら、逃げ切り可能な自分と檻の半径比と最初の位置条件はかなりシビアだったりしそう

@NA-dd4qv Ай бұрын

体積(今回は面積)を持った時点で不可能ですね

@2au Ай бұрын

よく考えたら檻の柵に漸近するように運動するんだから点じゃないとあり得なかった

@user-co2fi5qd2x Ай бұрын

@@2au 檻の柵に漸近するかは数列の選び方次第で、この動画の数列でも柵に漸近はしない。面積を持つと不可能なのは垂線と垂直に動けば捕まらないっていう方が崩れるから

@user-pb4hb6vn5n 24 күн бұрын

これ、両者が点として定義されているということは、檻は両者にとって実質無限大のスペースだよな。その中で両者の同じ速さで追いかけっこしたらそりゃ逃げ切れるよなと思った

@masa6138 21 күн бұрын

天才。

@user-oi2dn9fc5f 11 күн бұрын

天才という返信が似合うコメとは思わないが、僕も同じこと思いました。

@user-ky6om1si2e 7 күн бұрын

@@user-oi2dn9fc5f隙自語

@user-mt9zu3di5i 6 күн бұрын

@@user-ky6om1si2e「同じこと思った」だけでも自語なの厳しすぎる笑

@user-ky6om1si2e 6 күн бұрын

@@user-mt9zu3di5i 2行目はともかく1行目よ

@user-ke5hp5je3e Ай бұрын

これはアキレスも困惑

@user-zf5bh9ev2l 28 күн бұрын

テンポが良くて分かりやすい

@mtiasd9451 18 күн бұрын

面白かったです！あと、BGMが好きです

@user-gu9ew7qm4u Ай бұрын

無限の直線がないと無理と思ってたけど、アキレスと亀みたいな話ができるのかなるほど (追記)頭いい人達の会話見てるとちょっと違うっぽい、よく考えるとこの問題アキレスとアキレスですね😅

@user-so9by7pb6m 29 күн бұрын

最後のイメージ図を見た感じ、最後はある円周上を人と猛獣が一定の距離を保ちながらぐるぐる回っている図になりそう

@user-gl4fi5qy1q 23 күн бұрын

知ってると思うけどアキレスは亀に追いつけます。

@user-so9by7pb6m 23 күн бұрын

@@user-gl4fi5qy1q ・無限回の操作・追いかけっこ・追いつけないという結論（？）がゼノパラと似てるけど、肝心の逃走時間の定義域が違うもんね

@user-lx4er4jd6y Ай бұрын

どんな図形でもその中に円を含ませることができるから円じゃなくても行けそう

@user-yayayayakiki 3 күн бұрын

かなり違う問題にはなるけど人間が常にライオンとの距離が長くなるように運動し続けるときライオンがどれくらい遅ければどんなふうに逃げても助かるんでしょうか？

@chaemon3944 9 ай бұрын

拡張として「ライオンの速度が人のc倍だったときに逃げることができるcの最大値は？」という問題だとしたら解けるのでしょうか？

@JD-is8yg 9 ай бұрын

C>1なら必ず追いつける？ライオンはまず円中心に立ち、円中心・ライオン・人が一直線上になるよう維持しつつ壁に追い詰めればよいです角速度を維持しつつ半径を広げることで、人を壁に追い詰めることができます

@user-kv8lk6lu1v 9 ай бұрын

ライオンが人間より早い場合、人間の逃走経路をなぞるだけでいつかは捕まるんですねこの作戦は同じ速度じゃないとダメなんだ。足鍛えないと

@ℯðℊℒℙℱℌℋℛℳℴþℬ Ай бұрын

c=1じゃないかな?

@NA-dd4qv Ай бұрын

前提として「ライオンは必ず人間と同じかそれ以下の走行距離を保って追いかけてくる」ので最善ですらただ真っ直ぐ走るしかないんだよな

@user-jj9sf9zd2i Ай бұрын

普通に曲がると追いつかれるけど上手いこと無限回曲がれてますね

@user-bj4fs5gv5m Ай бұрын

一番大切な仮定が無視されてて草

@JD-is8yg 9 ай бұрын

おもしろい！殆ど重なりかかった2点が、柵を掠めながら円運動する感じでしょうか

@evimalab 9 ай бұрын

最後の動きを1万ステップシミュレーションした結果を貼っておきます（100万ステップでもほぼ同じです）。 pasteboard.co/6riikLIUIcDq.png

@JD-is8yg 9 ай бұрын

@@evimalabありがとうございます！想像よりは半径の広がり方が緩やかで面白かったです

@---vr3nr 27 күн бұрын

″当たり判定は点とする″という表現によって、人間とライオンがどれだけ近づいても人間が逃げ続けられている状態になるよね、って話だと解釈しました。そこでなんですが、もしも人間とライオンの当たり判定がデカかった場合ってどうなりますか！？このお話に対する私の解釈がそもそも間違っていたらすみません。

@opaipa-oo4ze 26 күн бұрын

面積もつと逃げれない

@---vr3nr 26 күн бұрын

まあそうですよね笑サラっと前提条件にされていた当たり判定を点とするということのイメージ、直感的に捉えるのが難しいですね。

@---vr3nr 26 күн бұрын

というか、他の方も質問してましたね。コメント欄をよく読まずに質問してすいませんでした。級数が無限に発散するから人間とライオンの座標が一致することはない、ということですね。失礼しました。

@user-hc4uo7vh8c Ай бұрын

最終的には微小距離離れて任意の円周上を追いかけっこすることになるのかな？

@user-lv9uv5nk2c Ай бұрын

同一円周上だと追いつかれそう

@kino785 26 күн бұрын

一周ごとに微小距離広がる円みたいな螺旋やね

@2au 8 ай бұрын

同じ最高速度ってことは人間同士の鬼ごっこで、最終的に円運動に持ち込めば一生追いつけないから、あとはどうその形に持っていくかってことかどこにいようが適度に引き付けて旋回する　イメトレオッケー　グラディエーターなってきます

@NA-dd4qv Ай бұрын

ただまっすぐ走ればええんやで

@user-gw2or5mb4c Ай бұрын

逃げる側は円運動じゃだめって序盤に言ってるのに、、、悲しいね

@2au Ай бұрын

@@user-gw2or5mb4c すまん　螺旋のイメージで、単に折り返しのような行動をしないくらいのイメージだった　円運動ではないわな

@KikutsukiYosiha Ай бұрын

聖杯ダンジョンの恐ろしい獣にシモンの弓剣で挑んだ時に同じこと考えた

@user-ys5ks4kf5v 20 күн бұрын

最後こっち側に帰ってこなくて草

@user-yd7hh7cq3p 24 күн бұрын

よし❕実践だ❕

@okim8807 Ай бұрын

サイエンテヘックアメリカのあのコーナーにこの話題が提供された事があって、人は逃げきれないという結論だった覚えが。そして、中に障害物が１つあれば逃げ切れる、と。

@okim8807 Ай бұрын

＞円の中心を O、人の初期位置を P とします。という書き込みを読んで（数学的思考抜きに）逃げ方が進化したのかなと感じた。確かに無限の時間＝無限の距離を逃げ切れる折れ線が円に収まるなら逃げきれそう。（未確認未理解）この問題は「アキレスと亀」とも似てるけれど、「フラクタル折れ線の長さが２次元的な長さとしては発散する」との相似性の方がよりしっくりくる。

@evimalab Ай бұрын

はい、まさに「有限の領域に収まる無限の長さの折れ線が存在する」という話です。（1/1+1/2+1/3+…は発散するものの1/1^2+1/2^2+1/3^2+…は収束することから従います。なお前者の証明は kzfaq.info/get/bejne/mJ9_rM2qs7nIdKc.html の冒頭、後者の証明は kzfaq.info/get/bejne/kN6CmJtkm6jacYk.html の冒頭で扱いました。）おそらく、サイエンティフィック・アメリカンの記事では少し違う問題を扱っていたのだと思います。（人やライオンにほんの少しでも大きさがある場合は必ず捕まってしまうようです。）

@NA-dd4qv Ай бұрын

距離が0に収束しない(どこかの時点で常にライオンと一定の距離を保って居られる)ライオンの速さは求められる？

@penguindayo Ай бұрын

ライオンの速さを🦁、人間の速さを👤とおくと、🦁

@NA-dd4qv Ай бұрын

@@penguindayo ほんの少しでも人の方が早ければいいのか。それならそれぞれの速度をxとyとした時にどれくらいの距離で収束するのか調べたいなあ

@kino785 26 күн бұрын

@@NA-dd4qv 多分だけどr(y-x)/y rは檻の半径逃げる過程での最小値は当然別の値

@user-hh2cx1ll3e 24 күн бұрын

面白い！最初は「アキレスの亀」を題材にしたジャークかと思ったが、よくよく考えたら点なので、無限時間後にも逃げ続けているのか。有限空間に収束しない逃走経路が存在するとは、直感に反してすごく不思議ですがすごく面白いです！

@kleuzjatob Ай бұрын

ライオンが人に合わせて同距離を線分沿いに動いてくれる制限があるから「いくらでもある」のはそうで、いわゆる「追跡曲線」の設定の様に独立して方向修正されたら厳しくなってきませんかまた、「この線（半径）と垂直にライオンがいない方に直進」と「進みすぎると檻にぶつかるからいい塩梅にする」が両立できる根拠？もよく分かっておりません

@evimalab Ай бұрын

円の中心を O、人の初期位置を P とします。直線 OP は円を二分します。このうちライオンがいない方（OP 上にライオンがいる場合はどちらでも可）の領域の中に、∠OPQ が直角になるように点 Q をとります。このとき、人が線分 PQ に沿って走っている間にライオンが人を捕まえることは不可能です。人が Q に到着したときを考えます。直線 OQ は円を二分します。このうち現在ライオンがいない方（OQ 上にライオンがいる場合はどちらでも可）の領域の中に、∠OQR が直角になるように点 R をとります。このとき、人が線分 QR に沿って走っている間にライオンが人を捕まえることは不可能です。人が R に到着したときを考えます。直線 OR は円を二分します。このうち現在ライオンがいない方（以下略）このようにして得られる折れ線 PQRSTUV… に沿って走っている間は安全です。あとは、PQRSTUV… の長さが無限大に発散し、かつこれが檻の中に収まるように点列 P, Q, R, S, … をとればよく、これは上記の選び方に加えて PQ = d/2, QR = d/4, RS = d/6, ST = d/8, ... などとすれば達成できます。

@kleuzjatob Ай бұрын

@@evimalab 早急なご返信をありがとうございます元々、少年期に同じような問題を考えた物の「追跡者と真反対以外の方向へ動く時点で距離が縮むし無理そう」位しか思わなくて、極限や微積などを知った今となっては確かに縮んでも良いからその間に無限進む方法が判れば人類の勝ちだなとは本動画を拝見して思う所でした帰納的な戦略が無限においてもその安全性を保てるか一抹の不安が残りますが、何処かの時間に反芻してみます

@user-hz4mb4uu7f Ай бұрын

当たり判定が点なら、円環の理に導かれることはないってことか

@ryosuke8093 2 ай бұрын

なんだこれおもしろ

@penguindayo Ай бұрын

0:49 半径1/2の円運動になると言うのは間違いではないですか？例えば、ライオンがこの図で追いつくまでの半分(つまり円周の1/4)を動いた時、人は円周の1/8地点に居るはずです。しかしここでのライオンの動く方向は人がいる方向とは異なると思います。

@evimalab Ай бұрын

> 例えば、ライオンがこの図で追いつくまでの半分(つまり円周の1/4)を動いた時、人は円周の1/8地点に居るはずです。はい、います (0:49.83)。恐縮ですが、何をもって間違いではないかとおっしゃっているのか分かりません。失礼ですが、混乱されているようですので、最初から考え直すことをおすすめします。（なお、この議論は私が考えたものではなく、この本 www.amazon.co.jp/Art-Mathematics-Coffee-Time-Memphis/dp/0521693950 に書かれています。）

@kino785 26 күн бұрын

最初の霊夢の回答に限れば「ライオンは人のいる方向に常に追いかける」というのが間違い。人の動きを先読みしてるイメージでライオンが動いている。周方向にライオンが人間を追い越したとき人間が超絶的な瞬発力で反対に移動すると今回の動画の動きにかなり近くなる。

@totonanode 9 ай бұрын

メンフィスでコーヒー

@b-kohu 27 күн бұрын

て、点対称に動けば……真ん中で捕まるか… …ならば真ん中に柱があれば…！

@natsumeyashi 14 күн бұрын

lはどんどん小さくなるからそのうちライオンの射程内になるよね

@AT-er1gn 8 ай бұрын

ライオンと共に正方形の檻に閉じ込められている場合でも、この作戦を応用すれば逃げ延びられそうです。

@natsumeyashi 14 күн бұрын

正方形に内接する円に移動範囲を限定すれば同じ話になります

@Shannon-trapezium 29 күн бұрын

ホロバシュ数学の技法になってた気がする。

@user-wd1hi5tp8f Ай бұрын

ひょえ〜おもしろ

@lau4583 27 күн бұрын

動画の最後に画面外で人が美味しく食べられていると思うと涙が止まらない

@user-eo7rx6zg9w Ай бұрын

経路長の発散ではなく、ライオンとの距離が0よりも大きい値に収束することを示さないと逃げたとは言えないと思います。

@evimalab Ай бұрын

タイトルは「逃げ切れるか？」などではなく「逃げ続けられるか？」です。

@freedom-vz1ec 27 күн бұрын

五条悟の無下限みたいなもんだな

@user-nt4uy9fo9h 21 күн бұрын

人間の1秒後の地点に予測して直線に追っ掛ければ捕まっちゃいそう。

@butter_pp 13 күн бұрын

アキレスと亀みたいな事？

@forword7275 12 күн бұрын

同一速度で、二次元平面上のな

@user-xb6zq2qp2g 26 күн бұрын

アキレスと亀？

@user-sc4jb4yn7d 23 күн бұрын

ライオンの腹の中でも逃げ続けられるかやってください

@user-zd3th2db6y Ай бұрын

これって亀とアキレスのパラドックスに似てる気がする

@user-nz3uz4oz6p Ай бұрын

0:58 ちょっとドキってしたわ。youtube動画で第四の壁を突破された瞬間としては1番に。意外にも

@user-ob5jz2cf2k 24 күн бұрын

食欲と性欲は近い欲求らしいから、お尻を差し出してライオンに犯してもらえば、ライオンは満足して追いかけてこなくなるから逃げ切れると思う。

@kiukiu1919 Ай бұрын

ギリギリまで惹きつけるとか？

@user-nh4if5qp2d Ай бұрын

亀に追いつけないやつと同じなら、n秒後には必ず追いつかれるというオチになりそう

@evimalab Ай бұрын

今回はnが無限大に発散します。

@Nackan223 Ай бұрын

おかげさまで、夢の中でライオンに追われ、逃げきれま

@ketsuneuron Ай бұрын

人間がマタドールであると仮定するとマタドールの技術で回避し続ければ逃げ切れる。

@jessie2277 Ай бұрын

結論：無理

@user-ou4gb9qp7v Ай бұрын

人がライオンを追っかけて倒せばよくね？

@ghoti9992 28 күн бұрын

武井壮おって草

@user-xj9wi1ik1j 27 күн бұрын

吉田沙保里「逃げるのはどちらかしら」

@shin5223 18 күн бұрын

なんか納得いかなーい当たり判定が立体でも平面でも棒でも無く点なら、わずかでも隙間のある檻なら当たり判定なく両方外に出られるじゃんそれくらいめちゃくちゃな前提じゃない？ライオンと人っていう現実問題を意識させておいて、理論上でしか無い無限を答えにするのなんだかなぁ数学の公式や定理を使うための問題文だって初めから分かってたらいいけどね、このチャンネル初見だったからそう思っちまったわ

@user-dy8du3ur4k 14 күн бұрын

そもそもライオンと人間が同じ速度ってのが無茶な過程だから…

@forword7275 12 күн бұрын

その理屈なら檻じゃなくて鉄板でも分子間をニュートリノみたいにすり抜けちゃうねぇ

@user-oi2dn9fc5f 11 күн бұрын

物理じゃねえんだ少年。あと数学を物理の観念抜きで理解できないなら物理学科に行きな。数学は物理より理想的で机上の空論で、それだからこそ美しいんだよ