Потому что истина "сильнее" чего угодно, в том числе и лжи. А кроме того, из противоречия следует все, что угодно, в том числе и истина. Алгебраическую (булевскую) интерпретацию логики нужно воспринимать как модель аксиом логики и не искать тут каких-то сверхидей. Парадокс в том, что эта модель очень удачно и в некоторым смысле единственным образом "оцифровывает" логические правила. И поэтому уже чисто алгебраически получается то, что вы спросили. В самой же логике формулировки имеют вид вроде такого: - если А верно, то А следует из любой посылки: A -> (B -> A), - если А не верно, то из А следует все что угодно: ¬A -> (A -> B), а это уже разрешается булевской моделью, где a->1 и 0-> a при любых a.

вопрос, как говорится, не в бровь, а в глаз)) Очень перегруженные в математике символы. в контексте исчисления высказываний: одинарная стрелка влево-вправо (<->) есть логический оператор "эквиваленция", т.е. это элемент языка ИВ двойная стрелка влево-вправо (⇔) есть логическое "тогда и только тогда" из языка метатеории (т.е. той теории, в которой и средствами которой мы изучаем логику) тождество (≡) означает совпадение в любой интерпретации (при любом означивании), т.е. в случае булевой логики это равенство соответствующих булевых функций именно как функций, и это тоже метатеоретическое высказывание. Про эквиваленцию и тождество формул исчисления высказываний доказывается метатеорема: A≡B тогда и только тогда (⇔), когда формула A<->B есть тавтология.

Добрый день, конспекты я обещал выкладывать на бусти, так что и этот там же прицепил: boosty.to/mathreisender

@@reisedurchdiemathe Спасибо за наводку. Тогда, если позволите, вопрос по теме: 1. Гедель конструирует формулу, которая является примером такой формулы, которая предъявляет неполноту арифметики (формула G). Данная формула саморекурсивна: сама утверждает о собственной недоказуемости. Такой формулой Гедель показал, что в математике возможны утверждения, которые будучи истинными, не могут быть доказаны (это и есть неполнота). 2. Вопрос: я предполагаю, что таким свойством (быть истинными но не доказуемыми) в рамках арифметики могут быть только саморекурсивные утверждения. Так ли это? И еще один момент: я не понимаю операции, когда конкретное натуральное число в один момент используется как код формулы, а в другой - как просто натуральное число. Смотрел лекцию Сосинского, но тоже как-то не понял этого хода: почему так можно делать, как определить, является ли данное натуральное число просто числом или же оно - номер геделевской формулы.

@@anspoetic по поводу пункта 2 - нет, это не так, к счастью (или к сожалению). Есть вполне себе естественные недоказуемые утверждения, например, теорема Гудстейна или принцип червя. Да и в целом если привлечь аппарат рекурсивных функций, можно обнаружить целое семейство недоказуемых утверждений (утверждения типа "функция f тотально определена")

@@anspoetic по поводу кодировки. ну вот это и есть центральный момент доказательства Геделя. В наше время это гораздо легче объяснить, если вы хоть чуть-чуть программист. Вспомните, как выглядит любой файл, если его открыть в hex-редакторе. Это - набор 16-ричных цифр. Причем ОС, когда читает такой файл, умеет его "распарсивать", т.е. дешифровывать, зная алгоритм кодирования. Примерно так же и в арифметике. Все формулы можно закодировать числами, просто приписывая коды буковкам и символам. Ключевые моменты: 1) это кодирование рекурсивное, т.е. полностью погружаемое в арифметику (единственное, чего не знает арифметика - это какой смысл мы придаем начальным кодам шифровки). 2) Это кодирование позволяет рекурсивным же способом расшифровать код и понять, является данное натуральное число кодом формулы (и какой конкретно формулы) или кодом доказательства (и какого конкретно доказательства), либо же оно вообще не является кодом. Более того, это распознавание осуществляется за конечное число шагов. Поэтому возможно написать формулу Proof(z, code(G)), которая, получив на вход число z, за конечное число итераций сообщит нам, является ли z кодом доказательства G, или же не является, т.е. выдаст 1 или 0. Это кстати позволяет нехитрым способом выписать геделвскую формулу, используя программу на ПК (правда, памяти и времени надо очень много). Таким образом получается, что арифметика может рассуждать о своих же собственных формулах, но только она не понимает этого (так же как ChatGPT не понимает, что он вам выдает, хотя вам кажется обратное), поскольку она оперирует натуральными числами. Ровно то же самое происходит в компьютере, когда ОС читает файл, "понимает", что он является исполняемым, и передает дешифрованный код на исполнение. Получается, что с одной стороны у вас есть функция типа def Proof(n):... С другой стороны, вы можете взять ее листинг, рассмотреть его как текст, вычислить номер этого текста и подставить в агумент n этой же самой функции. Получится некий выход, который также можно зашифровать и вновь куда-то передать. Отсюда кстати возникает классическая задача: написать программу, которая печатает свой собственный текст. Это позволяет даже в рамках одной функции произвести все эти манипуляции - функция печатает свой текст, кодирует его и применятеся к этому коду. Да, это выглядит странно, потому что система как бы сама себя анализирует, для чего она должна быть достаточно развитой. Тем не менее, это работает даже экспериментально. С другой стороны, человек тоже себя умеет анализировать. Так что нет ничего странного в том, что он переложил эту способность на логические системы.

@@anspoetic кстати, знаменитая "проблема останова" - это компьютерный вариант теоремы Геделя о неполноте. Из-за неполноты арифметики и, в том числе, универсального компьютера, система не в состоянии по коду произвольной программы определить, зависает она или нет на каком-либо произвольном входе. В отдельных случаях - можно, но тотально - нет. Больше того, если взять конкретную порграмму и конкретный вход, то можно определить, зависнет ли программа. Но создать одну прогу на все случаи - нельзя. Поэтому универсальные компьютеры зависают и всегда будут зависать. Но есть способы нивелировать проблему, если рассматривать неуниверсальные компьютеры, в более бедном языке, где проблема неполноты отсутствует. Этой порблемой, в частности, занимается computer science на стыке с матлогикой.

тут скорее не null, а неопределенность (или суперпозиция состояний). это действительно связано с проблемой останова (как и теорема Гёделя) и показывает (алгоритмическую) неразрешимость некоторых формальных систем. Однако в случае модели про Германию в мире Y все же такой проблемы не будет, т.к. саму-то модель мы строим на конечном графе, да еще в рамках классической логики, поэтому там такая проблема не подразумевается. Но не исключено, что можно придумать какой-то пример с неразрешимым множеством вершин графа (миров шкалы Крипке), и тогда уже сама проверка модели на истинность столкнется с проблемой останова.

@@reisedurchdiemathe суперпозиция состояний, это то, что вы чуть ниже обозначили как аксиому I_n? (Так то понятно, то пример с Германией игрушечный 🙂)

сори, но нет, это было бы нечестно по отношению к слушателям, т.к. философия - это совсем не мое. цена таким видео была бы нулевая.

Добрый день, сконструировать/построить - нет, НО определить/доказать существование - да. Например, можно доказать существование неизмеримого по Лебегу множества, а также существование вполне упорядочения любого множества. В том числе, как вы правильно пишете, можно доказать, что существует элемент произвольного прямого произведения непустых множеств, т.е. АС позволяет доказать, что это произведение не пусто. Но она не даст конкретного алгоритма построения всех этих сущностей. Мотивом введения этой аксиомы, скорее всего, было доказательство леммы Цорна, когда математики поняли, что бесконечный выбор является существенной предпосылкой для леммы Цорна и, более того, АС ей эквивалентна. Тогда и стали изучать эту аксиому. До этого момента она считалась само собой разумеющимся логическим принципом. В ZF мы можем "построить", но лучше сказать "определить" декартово произведение любой системы множеств, главное, чтобы эти множества были проиндексированы тоже множеством. Но доказать, что это произведение не пусто, не сможем без АС (кроме конечного случая). Обычно принято считать, что счетная форма аксиомы выбора (или, скажем, аксиома детерминированности из той же оперы) - довольно безобидная и нужная, т.к. позволяет доказывать теоремы матанализа, но не приводит к патологическим примерам. "Получать" множества, недоступные в ZF, она начинает с первых же бесконечностей, например, существование сходящей последовательности в ограниченном множестве вещественных чисел (сильная форма теоремы Больцано--Вейерштрасса) недоказуемо без аксиомы выбора, т.к. опирается на теорему о существовании счетного подмножества в произвольном бесконечном множестве.

про категорную семантику не берусь что-то утверждать, но есть топологическая семантика, которая в некотором смысле эквивалентна семантике Крипке. постараюсь ее рассказать в будущем.

Отлично, вы своим постом подтвердили мое высказывание, что не всех устраивает математическая импликация) Потому что в математической логике формула ((p➔f)∧(b➔g))⟶((p➔g)∨(b➔f)) является тавтологией, что несложно за пару минут проверить вычислением (хоть по таблицам, хоть в Питоне). Далее вы очень длинным текстом привели таблицу истинности математической импликации. Не вижу тут никакого противоречия. Я говорил лишь о том, что написанное математически часто интерпретируется в бытовом понимании не математически. А поскольку математика стремится охватить все возможные интерпретации и способы мышления, люди ищут другие системы правил, которые могут применяться в конкретных ситуациях. Замечу также для слушателей-математиков, что в интуиционистской логике импликация имеет тот же смысл, что и в классической, поскольку разница лишь в аксиомах для отрицания. Но в целом она получается чуть-чуть слабее, чем классическая. Есть и другие системы неклассической (математической!) логики, например, такие, в которых посылка и следствие должны быть существенным образом зависимы через хотя бы одну свободную переменную. Работы в этом направлении ведутся разными математическими школами, и поэтому нельзя считать, что существует какая-то одна православная импликация, высеченная в камне. Однако есть общепринятая классическая математическая импликация, как база для построения других.

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​@@reisedurchdiematheформула то тавтологична, но, ещё раз, ничего странного она не порождает, т. к. вы не можете одновременно быть и в Париже и в Берлине! А читаете по смыслу, как буд-то так и происходит: (если я в Париже, то я во Франции) и (если я в Берлине, то я в Германии), делая вместо союза "и" словестную паузу... Тем самым подразумевая "или". Но если "или", то это уже не та формула, а если все таки "и", то вы с самого начала высказываете ситуацию, не менее абсурдную чем получается во второй формуле... Примерно та же ситуация возникает с импликацией, когда читают "Если, то", замалчивая три остальных ситуации (непременно входящие в смысл "Если, то"), которые на самом деле могут означать, как импликацию, так и эквиваленцию или конъюнкции (или даже причинность), порождая нарушение закона тождества. Но контекст, то не все понимают... А самое интересное, что и сам говорящий, незаметно для себя иногда делает подмену смысла Поэтому, в следовании второй вормулы из первой ничего адсурдного, на самом деле, нет! Также, как и в том, что "Если снег чёрный, то Москва столица России". Это показывает только порочность разговорного языка с его сокращениями смыслов, который будет коверкать любую логику. Чтобы этого не было надо вместо разговорного языка взять другой, но это и означает - перейти на язык логики. Т. о. для интерпретации предложений логики высказываний достаточно самой логики высказываний. На счёт других импликаций это понятно. Что можно искать взаимосвязь между высказываниями в структуре предложения, что логика высказываний не рассматривает. И такие импликации не могут ей противоречить. А вот если создать другую логику на том же уровне абстракция, как и логика высказываний это уже другое дело. Но тогда надо брать другие или особые объекты (например, не предложения) и другие виды значений этих объектов (например, не истину и ложь, или не только истину и ложь). Ну и вводить другие (особые) правила отношений первого вида объектов ко второму.

@@Serg_svs пишите формулы или математические термины, чтобы был предмет для обсуждения, пример с парижем - это всего лишь иллюстративный прикол, он не имеет отношения к матлогике от слова совсем, т.к. у матлогики научная семантика - всегда теоретико-множественная. да, и, к слову, "на том же уровне абстракции" существует много разных исчислений.

​​​​@@reisedurchdiemathe вы высказали мысль о том, что импликации и та формула, которую вы указали может порождать утверждения, которые противоречат здравому смыслу. Я вам показал, что это не так. Противоречия со здравым смыслом порождает неверная интерпретация импликации и этой формулы, а не они сами. Таким образом никаких противоречий со здравым смыслом в логике высказываний, на самом деле нет. Следовательно, противоречия здравого смысла, не могут быть основанием для поиска других логических систем. Значит либо эти основания ошибочные, либо заключаются в чем-то другом. Для того, чтобы это понять не нужны формулы. Нужно просто правильно интерпретировать логические выражения. Более подробно выразить мысль я уже не смогу О том, что могут быть разные логики на том же уровне абстракции - это очевидно. Это следует из того, что я об этом говорил. Их можно сколько угодно придумать. Например возьмём в качестве объектов утверждения, в качестве их значений: истину, ложь, хорошо и плохо. В качестве правил отношения, например, следующее: утверждение либо, истинно либо ложно. Если утверждение ложно, то оно плохо, если истинно, то либо хорошо, либо плохо. Вот вам и новая логика, на том же уровне.

да, конечно, опечатался) все покомпонентно делаем

При подстановке формул вместо переменных не требуется, чтобы формулы были истинными. Более того, часто мы подставляем вмето переменных вовсе не тавтологии. Например, при замене C/A вместо переменной C подставляется формула A, которая может быть как истинной, так и ложной. Подстановку нужно рассматривать строго как программистскую функцию замены подстроки на какую-то строку во всех ее вхождениях. Истинность (A→A) возникает ровно тогда, когда эта формула оказывается под чертой вывода как самостоятельная формула.

Ясно, спасибо! @@reisedurchdiemathe

спасибо, заодно и я изучаю) ибо нет лучше способа что-то понять, чем попытаться объяснить другому))

Как раз недавно разбирали на занятии этот же вопрос. Я попробовал объяснить ситуацию так: мы можем рассматривать некоторую минимальную теорию множеств, достаточную, чтобы с ее помощью определить операции со строками (грамматику и вывод). Имея такую теорию, мы можем построить логику первого порядка, а в ней определить теорию множеств. Таким образом у нас получается замкнутая самоподдерживающаяся система понятий, в которой нет первичных понятий - мы можем стартовать как с множеств, так и с грамматики, которые взаимно друг друга могут обосновать. Теория множеств при этом может быть выбрана такой, чтобы у нас не было сомнений в ее использовании, например, такая, которая умеет доказывать свою непротиворечивость (пример такой теории открыт Федором Пахомовым буквально недавно). Искать же какой-то условный понятиный "первород" - это как раз бесполезное занятие, т.к. каждый раз мы вынуждены будем ссылаться на неопределяемые понятия (например, на конструкции разговорного языка или на какую-то физическую реализацию формализма). Поэтому считаем, что МЛ и ТМ взаимно обосновывают друг друга и вместе являются фундаментом всей остальной математики.

на второй вопрос не ответил) начать лучше с Теории множеств, имхо. Можно даже с наивной. Цель: наработать ТМ-интуицию, а затем понять необходимость аксиоматического подхода.

и да, и нет. в доказательстве предъявляется неконструктивный способ построения модели. неконструктивность его заключается в использовании аксиомы выбора, когда мы для истинных формул с квантором существования предъявляем свидетелей. то есть, в целом там идея такова, что нужно набрасывать элементы подструктуры с помощью перебора истинных в исходной модели формул: сначала мы включаем константы, а затем идем по истинным формулам, и в зависимости от их структуры набрасываем свидетелей этих формул (если не хватает констант). ну и поскольку у нас формул счетное множество (в случае конечного или счетного алфавита), то мы вынуждены делать выбор счетное число раз, для чего и нужна аксиома выбора. для обычных математиков это конечно странный способ - мы по сути вытаскиваем объекты из формул. но если формулы тоже считать объектами исследования, например, истинностными функциями, то почему бы и нет) вот здесь можно посмортеть подробнее: kzfaq.info/get/bejne/h9-Jiah0uZPQp6s.htmlsi=OlOsu1HV_nq-mykE&t=1897

Хм.. боюсь, из-за несчетности этого множества могут возникнуть отличия, т.к. оно получится не изоморфно обычному Q

@@reisedurchdiemathe Тут вряд ли счётность играет решающую роль. Для первого подпространства (порождённого B) мы можем использовать автоморфизм не "-x", а любой "переворачивающий". Для второго (порождённого C) в каком-то смысле мы воспользовались "существованием дырки" - возможностью разбить всё множество на 2 таких, что они не пересекаются, но оба не содержат минимального и максимального элемента (в целых и действительных это не прокатит). Поэтому (кажется), кроме Q есть другой достаточно широкий класс с аналогичной решёткой. Причём скорее всего я был неправ и этот класс существенно шире.

@@alexanderspeshilov839я имел в виду, что если бы множество было счетное, то мы могли бы свести все к Q из-за счетной категоричности (Q,<) , но возможно Вы правы, т.к. для несчетных плотных без концов линейных порядков мы можем найти счетную элементарно эквивалентную подструктуру в силу теоремы Л-С, тем самым сведя вопрос к изоморфной Q структуре, и тогда вроде бы никаких принципиально новых подпростраанств (помимо порожденных B, C и S) появиться не должно... однако беглый поиск в интернетах не дал ответа не зря Алексей Семенов говорит, что в этой обалсти непочатый край работы)

@@reisedurchdiemathe У вас очень интересные и понятные лекции (с оговоркой про входной порог, конечно). Я сравниваю с тем, как у нас на ММФ НГУ это давали в 1996-1998 годах. Я тогда вообще не понял ни что такое решётки, ни что такое ультрафильтры (и то и другое в Логике было). Как-то сдал, конечно, но понимание не возникло. Сейчас смотрю ваши лекции и понимаю, что буквально пары примеров и конструкций не хватало в лекциях для наглядности. Самое грустное, что на матфаках это часто считается "не багой, а фичей", ну типа "мы же тут труъ математиков готовим, пусть прогрызают". У меня жена кфмн, так я ей через 20 лет после университета некоторые вещи на пальцах объяснял, когда она в вуз пошла преподавать (чтобы она и сама поняла, и могла студентам не математикам объяснить).

@@reisedurchdiemathe И ещё. Если кажется, что эта дискуссия про то, насколько универсальна такая решётка - это некая абстрактная непонятная непрактичная ерунда, то, возможно, это только кажется. Я вот задумался о том, какие модели с ">" будут обладать такой решёткой вот из каких соображений. Большинство существующих лидирующих СУБД базируются на "реляционной" "алгебре" (которая не совсем реляционная и не совсем алгебра и уж точно не является полноценным фундаментом для СУБД, но это другая история). В этих СУБД очень важны свойства отношения ">", потому что именно оно позволяет строить эффективные структуры поиска (индексы на B-tree). Причём аналогом "рациональных чисел" в данном случае скорее являются строки, точнее классы эквивалентности строк - они в СУБД "всюду плотные", тогда как числа даже с плавающей точкой с точки зрения сравнения ближе к целым (даже если забыть про конечность).

модус поненс - это правило вывода, которое позволяет переходить от истинных формул к истинным. сохранение истинности при замене переменных термами гарантируется аксиомами и правилами вывода исчисления предикатов (аксиомы для кванторов и правила Бернайса), а также исчислением высказываний (реализациями тавтологий для формул данного языка). Но здесь, как я понял, вопрос про _корректность_ подстановки термов вместо индивидных переменных - будет ли при этом получаться правильно построеная формула в грамматике языка? Обычно про это доказывают теоремы, я просто не стал здесь ими грузить, т.к. они в целом очевидны. Имеется в виду, то если есть терм/формула F(a), и вместо a мы подставляем какой-то терм t, то F(t) тоже будет корректным термом/формулой языка. Это доказывается индукцией по сложности терма/формулы F. Через деревья разбора это и вовсе очевидно.

@@reisedurchdiemathe Да, спасибо. Я имел ввиду то, что есть ли такая аксиома, которая говорит, что мы можем делать подстановку вообще, то есть из текста F(a) делать текст F(t). То есть подстановка как один из методов мат логики. А также интересно, рассматривается ли в мат логике бесконечная арность (любой мощности). Например, в топологии есть бесконечномерные пространства (причём не только счётно-мерные, но и мощности по более) и следовательно там есть функции с бесконечным числом аргументов.

тогда это вторая часть моего ответа про корректность полученного текста. нужно отдельно доказывать лемму, в которой будет сказано, что переменную можно заменять на терм, и получится правильный текст (формула или терм). это не то чтобы правило, это метатеорема. иначе говоря, можно доказать, что грамматика замкнута относительно таких подстановок. бесконечная арность не рассматривается, поскольку изначально смыслом формального языка было свести всю математику к конечным (финитным) объектам, это было смыслом программы Гильберта по формализации математики. если же мы начнем бесконечное описвать через бесконечное, то непонятно, какую задачу мы тем самым решаем. однако есть так называемое омега-исчисление, где выводимость допускает счетный набор посылок, но это уже другое.

а тут дело в том, что мы не применяем арифметические операции к ординалам. мы просто к каждому следующему члену последовательности Гудстейна применяем его оценку через ординал, используя его арифметическое разложение по текущему основанию. а затем доказываем, что получается строго убывающая последовательность. если б можно было просто вычитать, то и доказывать было бы нечего. Каждый следующий ординал получается из предыдущего не через манипуляции с ординалами, а через исходные арифметические конструкции, ординал каждый раз заново строится. Другое дело, что можно придумать правила оперирования с ординалами так, чтобы вычитание 1 было определено и согласовано с исходной последовательностью. Например, если ординал оканчивается в своей записи на +k, то следующий будет таким же, только с (k-1) на конце. А если он заканчивается на степень омеги, то там все гораздо сложнее получается, но все равно можно предъявить алгоритм преобразования хвоста записи ординала. Лучше всего это понять, если произвести неколько конкретных итераций руками.

построить модели

Да, идея замечательная. Я даже иногда вспоминаю про то, что у меня есть разные цвета. Но обычно во время изложения концентрируешься на содержании и забываешь про фломастеры))

@@reisedurchdiemathe потому и не уверен :) Но просто в этом видео пришлось несколько раз акцентировать "не перепутайте кванторы", поэтому и пришла идея.

Спасибо за вопросы. 1. Для чистой формальной аксиоматики ZF в самом деле не нужно ничего проверять, просто берем аксиому как есть. Здесь же у меня попутно идет речь о возможности смоделировать эту аксиоматику на множестве скобочных записей множеств, т.е. на классе наследственно-конечных множеств. А как проверить, что данная аксиома выполняется на этом классе? Нужно предъявить какой-то внятный спсоб ее проверки. И вот с этим-то как рза и есть проблема. То есть проблема не в самой системе аксиом, а в попытке их смоделировать на довольно узком вычислимом классе объектов. 2. Без единственности она будет просто не верна. Достаточно одному иксу сопоставить все множества, например, взяв в качестве фи формулу (x=x)И(y=y). Это будет означать, что образ b будет содержать весь класс множеств, который не может быть множеством из-за парадокса Рассела. 3. Вы тем самым просто-напросто показывает, что множество всех множеств не существует. Противоречия здесь нет. Именно поэтому и была создана 100 лет данная система аксиом - чтобы убрать бесконтрольное строительство множеств как произвольных определяемых совокупностей. Строить можно лишь то, что позволяют делать аксиомы. Есть идругие подходы к разрешению парадоксов теории множеств. Например, теория типов Рассела. Есть также аксиоматическая теория классов Гёделя-Бернайса, где существует класс всех множеств, не являющийся множеством. И т.д. Но здесь мы ведем речь о теории Цермело-Френкеля. 4. В формулировках аксиом не используется утверждение о существовании пустого множества. Там используется его определение в форме "если а - не пустое множество, то". Это не обязывает пустое множество к существованию.Использовать какое-то понятие не означает предполагать его существование.

@@reisedurchdiemathe 1. >> речь о возможности смоделировать эту аксиоматику на множестве скобочных записей множеств Честно говоря, не очень понимаю, что такое моделирование системы аксиом? То есть на класс наследственно-конечных множеств эта система аксиом автоматически не переносится? Тут сразу возникает множество вопросов, и первый из них - почему не переносится? Или я что-то не так понял? 2. Парадокс Рассела это парадокс брадобрея? Насколько я понимаю, он возникает исключительно в силу аксиомы регулярности. 3. >> Вы тем самым просто-напросто показывает, что множество всех множеств не существует Каким образом? Только потому что множество всех множеств содержит все другие множества и при этом не содержит ничего? Тогда возникает вопрос, почему математиков не смущает существовании множеств, которые одновременно и открыты и замкнуты? 4. >> В формулировках аксиом не используется утверждение о существовании пустого множества. Там используется его определение в форме "если а - не пустое множество, то" Но в аксиоме регулярности вы прямо записываете y И x = 0. Что, в таком случае, обозначается символом 0? И вообще, не понятно, как в аксиомах можно использовать понятие, которое никак не определено или хотя бы его существование не обосновано примерами, апеллирующими к жизненному опыту человека, как это делается с понятием множества. Если же тем или иным образом понятие как-то обозначено и использовано в формулировке аксиомы, то это понятие уже не нуждается в доказательствах существования. Мне так кажется. Извините, если мои вопросы кажутся вам глупыми, но это вопросы дилетанта, пытающегося разобраться в вопросе.

боюсь, что таких интерпретаций может быть много, причем они могут противоречить друг другу. тем более что из единственности может следовать множественность, например, таким образом: 1 -> 1 or 1 or 1... (свойство идемпотентности) Причем, верно это в классической логике и в некоторых неклассических. Однако есть специальные логики, в которых такое тождество запрещается, и там уже классическими таблицами истинности не отделаешься. НО, я в свое время тоже пытался подвести какую-то "материальную" базу под законы формальной логики (кроме "исторически так сложилоь"), и сделал это в роликах "Математика как иностранный". Если коротко, то я просто пытаюсь увязать логические операции через определние и объем понятия с теоретико-множественными операциями (конъюнкция - пересечение, дизъюнкций - объединение, отрицание - дополнение, импликация -- вложение). Круги Вейля дают хорошую графическую интуицию для формальной логики.

Я не совсем понял, что вы имеете в виду, потому что мне показалось, что в примере, который вы привели из единственности не следовала множественность. Поэтому, я спросил ChatGPT (далее я отвечу от себя) он тоже понял это так как и я: "Давайте разберемся с утверждением шаг за шагом. Единственность: Это свойство чего-то, что уникально или одно в своем роде. Множественность: Это свойство иметь много элементов или состояний. Свойство идемпотентности: В математике и компьютерных науках идемпотентность - это свойство операции, при котором её применение к результату одного или нескольких предыдущих применений этой же операции не меняет результат. Простыми словами, даже если вы примените операцию многократно, результат останется таким же, как и после первого применения. Для операции "or" в логике (или операция дизъюнкции), идемпотентность проявляется так: если у вас есть значение "1" (истина) и вы примените к нему операцию "or" с другим значением "1", результат всегда будет "1", независимо от количества применений. Таким образом, утверждение "из единственности может следовать множественность, например, таким образом: 1 -> 1 or 1 or 1..." подразумевает следующее: Мы начинаем с одного утверждения истины (единственности), но благодаря свойству идемпотентности операции "or", можем многократно применять эту операцию без изменения исходного значения. Это приводит к тому, что, несмотря на то, что выражение становится длиннее (множественность), его значение (истина) остается неизменным.". Единица -- это очень хороший и возможно самый лучший пример единственности, потому что это уникальное число среди всех чисел. В некотором смысле можно сказать, что это и есть "истина", а все остальные числа -- ложь, потому что они составные и олицетворяют множественность. И с точки зрения житейской логики нам кажется, что мы можем сделать из единицы нечто множественное, взяв две единицы и создав 2. Но это не так, потому что когда у нас "есть" две единицы -- это уже не единица. у нас уже есть 2. Вы не можете произвести из целочисленной единицы 2, потому что она не раскладывается, она как элементарная частица. Но вы можете произвести единицу из 2, 3 и какого угодно числа, путём его "раздробления". Вот поэтому, из лжи может следовать что угодно, в том числе истина. А из истины не может следовать ложь. Если отойти от математики, то мы видим, ложь как явление по природе множественна: ложный заявлений может быть сколько угодно, а правда -- это всегда реальность, а реальность -- это не сны, она одна. Лично мне при ответе сейчас вспомнились "последние слова Будды", которые тоже, как мне кажется связанны с этой темой. Он призывает учеников неустанно работать над своим спасением (то есть пытаться достичь нирваны), потому что "all compound things are impermanent" (все составные вещи -- непостоянны). И действительно, свойство не истинных утверждений в том, что рано или поздно они опровергаются и "исчезают".

Гх-м... Очень глубокое замечание. Я сейчас серьезно говорю. Во всяком случае меня вы натолкнули на очень интересную мысль, которую надо будет обдумать.

@@Avgur_Smile Очень даже верю, оно мне таким же показалось, похоже что это надёжно работает, объясняет суть, но нигде я такого не видел.