学霸的节奏，一刀未剪的视频比一般youtuebr强不是一星半点了，跪拜......

牛顿，莱布尼兹，，拉格朗日，柯西，维尔斯特拉斯。。。数分的记忆在眼前缓缓展开

想當初我也是如此的嚴謹 直到我學到了化學

又想起来当年课上老师说到夹逼法同学们笑到停不下来被集体罚站 XD

好老师总是能够让你听课越听越有精神，可越是那种混工资的老师总是讲的非人类语言，好像用大白话讲就贬低了自己的身份似的

讲的真好！前几天还跟朋友讨论这个问题，分享给朋友看。 妈咪叔不仅逻辑清晰，而且还添加了数学历史，非常有趣

0.999循環與1的關係，講得太好了！真是鞭辟入裡、擲地有聲、震聾發聵、發人深省啊！沉思良久，才知初中就知道的實數完備性，原來從未懂過！

理工男表達能力又那麼強，有點小帥還不禿頭，真得上天的厚愛。

所以说，这其实是一个关于公理体系的问题。他们可以相等，也可以不相等。全网中文youtuber应该数叔讲的最好了。

關鍵還是在這個無窮小的存在與否 如果認為無窮小存在 則兩數存在相差 如果認為無窮小不存在 則兩數不存在相差 真的就如同幽靈 有人信 有人不信

备胎说车+李永乐老师=妈咪说

妈咪叔什么时候介绍下序列啊，最近研究ZC序列，感觉好难啊，还有什么伪随机序列啊，golden序列啊，什么的，好像很厉害的样子。。

讲解0.999...=1的人很多，但分析得如此切中要害的只有妈咪叔一个。之前看过李永乐老师的同名视频，本着随便看看的心情点开这个，但讲的东西大多数都是李老师没讲的内容。近期的视频比早期吸引人很多！加油！已订阅

一边跟着理论听一边总想忽略左下角动来动去的标志是个挑战

就譬如你把一個圓分1/3，每一個面積都是無限計算的。 其實很難算出每一個面積都一樣。

柯西發明的極限定義更像是邏輯定義或線性定義，當然妙不可言，因為其文本陣述與人的直觀感知經驗完美符合。 edit: 學習積分進程過半，馬上就要進到序列和級數了，這個時候看這段片子，真是滿心歡喜。 edit: 學完了微積分2，隨時可以開始3，徜徉流連在這個區域美不勝收的風景中，在更寬闊的視野中細細觀察極限概念，感覺它很像是一根木樁，把牛拴在上面讓牛自己吃草好了。這個基石意義上的概念在有形的文字符號系統中幾乎可以說沒有更好的描述了，最重要的是，以這份圖紙設計為原形而發展起來的一系列工具確實管用經得起驗證，服氣。 極限概念堪稱科學的創世紀經文，把它講解得如此清晰明了達到了美感的高度，讓人聯想到喻可唯純淨的歌聲。 💐

為什麼我越聽越有精神

如果有辦法在0.999999...跟1之間找到一個無理數 就可以証明他倆不相等 反之則相等

我覺得它兩是不太一樣的就跟分數和小數要做運算需要化為同樣的模式而1和0.9999...根本是不一樣的模式這要怎麼算就和跟號一樣如果跟號裡的數不一樣無法做加減是一樣的

我还以为是把李永乐老师的视频又推送了一遍呢...

这个问题可以简单地转化为求一个首项为0.9而比值为0.1的无穷等比数列的和

上大学的时候，老师给的证明是首项为0.9，公比0.1，项数为∞的等比数列求和，取极限就是1。

無窮小就像是量子，有不確定性，同時存在又不存在，處於疊加態 XD

想给十个赞，平时看视频懒得点赞，自己学CS的，对物理数学都感兴趣。真的知识很有魅力，狂看视频，狂点赞。叔，加油！

想起那段学习数分的岁月。。

0.9循环可以写成0.9+0.09+0.009，这是一个等比数列，直接用等比数列求和公式就能证明相等

至於0.999999,,,,,,,,.無限循環的問題，只能用分數來處理，無限循環數本身只是一種概念，並不能用來運算，其實，無限循環本來是為了做一種表示，例如，78/99 , = 0.78787878，= 26/33 , 我相信沒有哪個人有辦法直接拿0.787878,,,,,,來做運算，而且，0.9999不等於0.99999,,,,,無限循環，而且也不是在討論0.999990999,,,,,,的最後位置在數線上的哪裡，如果真的要問0.99999,,,,,無限循環的最後一點的位置，其實也很簡單，就是在1的左側的那一點，而這一點同樣是一個概念，無法直接做運算，而且不等於1 , 因為不是同一點，所以不相等，這是在討論數線上的位置，跟討論0.9999,,,,,,,有多大的情況又不盡相同，你如果真的要計算0.9999,,,,,,有多大，其實也不難，就是 : 1-(1/無窮大) , 就是了

學微積分的時候算過這道題…

关键就是这个“=”是怎么定义的，最直观的理解，a-b是0，a=b 但是实数论里，只要找不到比0大比a-b小的实数，a=b

希望多讲一点实分析啊啊啊啊啊

非常有意思的影片👍

您这数学功底非常扎实佩服

三明治定理比较优雅些（滑稽）

主要的原因就是1/3并不等于0.3333...那只是因为我们找不到的一个正确的数，只能用0.333来替代

講得很好

一份蛋糕切三份，每份為0.33333....份，若將三份又相加，則等於0.99999.....份，試問中間消失的蛋糕在哪? Ans:你的刀子上

实在是忍不住啊，阿基米德……夹逼法……哈哈哈

你得接受神是存在的这个事实，因为只有你承认了这一点，才算是承认了神学是完备的，这就是根基，否则神学就没有意义了。

沒有證據指控凶手 就等於清白的理論

简明扼要 懂了 赞。

上小学的时候的不相等，上了大学就相等了

原来如此！我一直就不能理解微积分的内容，现在再回来看终于解释了我对于无穷小的疑惑

在無限小的定義下，我們認定不存在，我覺得很有問題。 如同量子力學，微小到我們無法測量的地步，變成機率概念的存在形式。 還有無限小的尺度下，如果說不存在，那麼就無法從〝量子〞疊到〝宏觀〞。 其實之間的差距我也不知道如何定義。(量子與宏觀世界的連結)

這集的內容感覺跟歌德爾不完備定理的一些概念有些相關

连数字都不用表示，直接全靠字幕解释，的确是非常厉害的了。

好大的吸氣聲

我覺得可能指的是一種趨勢而不是一個數。

0.9……是一个实数，还是一个有理数，因为整数、限小数和无限循环小数都属于有理数，所以它可以参与计算，还能化为分数，就是9/9。

非标准实数的无穷小是一个数学特性，各种特性的集合来描述出完整的实数全集。应该是这个意思吧。

很喜欢这一期

為什麼我們不是某方面的專家，因為我們被要求什麼方面都要會，沒有時間去鑽研自己喜歡培養的。

无穷数就是一个超数轴的数，取决于人们对它的观察。当给予一个干预，则有数轴上的意义，否则它存在但不知道确定状态。无穷则无定，有用则有数。一切皆有可能，此为备态。

夹逼法。。。😂😂😂

最近要考高数 听听这个 很有启发。

嚇一跳！還以為媽咪說開哲學講堂了！

能證明實數減數列，結果會是數列嗎？

真有趣！

每天都要來看一集科普一下！

9:21 那0.9循環跟它前面的數是不是也能相等，然後繼續向前推是不是變成0=1了

看成一碼等於零點九米

证明一下0.99999循环到底等不等于1 首先我们把有理数进行分割 假设有理数Q，将Q进行分割两个集合A、B Q→A|B。它对应的是0.9999循环 再把有理数Q进行分割两个集合C、D Q→C|D。她对应的是1 所以可定义 A=｛x|x€Q x=0.99999循环｝ C=｛x|x€Q x=1｝ 证明0.9999循环=1 就要证明以上两种分割一样 证明以上两种分割一样就要证明以上两个集合一样。 证明A集合=C集合 在集合A中取一个元素t t€A，所以t

想了一個破解無窮小的想法1／3=0.333..差一個無窮小 式子乘以三 3／3=0.999999...也是差一個無窮小 但是乘法乘上倍率 差值也乘上倍率 設無窮小為X Xx3=X X不存在

考研复习中的我感觉听着好亲切😄

为啥不乘10倍减去本身呢 然后就是9除九啦？

必须有些不证自明的东西作为基础，才会有后面的一大堆推理。

我一直在想个问题，两杯水一杯我烧开和室温的放在一起，一天， 2天，一个月，一年。。。。后还能不能检测出温差

我觉得可以这么解释，0.999...无限循环和1是否有差值，问题不是出在无穷小上，而是出在无限上。 如果你能给一个无限，那么可以说是相等的。如果你不能给一个无限，那么他们肯定不想等。 引申出一个问题： 一块蛋糕平均分给三个人。那么三个人在宇宙终结之前能不能分完蛋糕呢？ 也就是1是不是在有限的时间无法被三等分呢？

如果相等的话，那么极限里扣掉的那个点怎么说。。

有理数集在实数集里确实是稠密的哈。有理数也是序稠密的~

怎麼定義完備呀？ 然後怎麼證明實數是完備的？

you are super clever~! :)

如果0.3333...=1/3那么0.999...=1，我的直觉是这样的，觉得差了一点的人，应该觉得前面也差了一点吧，只不过1/3给了你无限补3的机会

加入蝴蝶效應思考就知道相不相等了，即便是實數。

我聽不懂 但我聽得很精神

高阶无穷小 这概念真是有创意

也許人類的發明的數字不嚴謹。。。 宇宙人也許1-9裡面不只這些數字

酷酷酷、证明两个实数相等真严谨

时空有阻力吗？

我的理解是。。1/3根本不等于0.333的循环 只是找不到更合适的方法 强行用浮点数表示1/3而已 所以从这一步 就不合理。。。

厉害👍

说明了分开后的东西，再怎么拼合也不会和原来一样了。。。 不过在数字的概念里应该说0。3的循环其实不等于1/3而已。

不會的就是勇敢乘開

如果單純論 1/3=0.3333 這題的話 會有無窮是因為用了10進位法吧OAO?

好好看🤤

那在x实数轴上比实数A 0.999...小（自然也不等于1且比1小了）的最接近0.999...的一个实数B怎么表示呢？两者差多少呢？如果也和A与1一样之间找不到任何一个实数，无穷小量也没有，那是不是B也等于A且等于1么，那以此类推还有相邻的C、D、E...，他们之间都找不到任何实数的数，那他们都相等了，而他们又都是真实存在的独立一个个实数，一直推导下去不就能把任何实数推导出来么？那任何实数都相等了啊

近似1卻不等於1...囧...咱們想太多了 生活用不上

節目怎不叫小哥哥說

謝謝~

和絕對零度一樣只可以無限接近但到達不了.

我来推翻现有的定义吧，先说结论：0.9循环不等于1,这个是本宇宙内的真理，超出本宇宙的理论在本宇宙无效。原理本质上就是用哲学来解释数学问题，即用哲学上的穷极概念来等效于数学的无穷概念。例如：假定能给宇宙的所有粒子编号，则必定存在一个终极的最大数MAX，此时1就是终极最小数MIN。而在日常中我们规定单个常用单位1即D，则此时规定D=10e100,同理规定常用单位最大值为Z，且Z=10e10e10次方。因此我们认定D到Z的数值就是我们所有能适用到的数值，以外的都是非常用数值。由此还可以衍生出一个较大值JD，较大值是不定的，以JD=5为例，则日常所用的数值极限就是5位。也就是说0.9循环本质上严格等同于0.99999，即有5位个9，那么在a=0.99999的时候，10a必然等于9.9999，此时10a-a=9.00009,得a=1.00001，前后两个a数值不等就证明在本宇宙尺度内0.9循环不等于1。前后a之差0.00002就是10a-a减法带来的缩放效应，再除以2，可得在较大数JD=5的尺度下，较小数JX=0.00001.从这里大家可以得出其他推论结论：在最广大的尺度内，较小数JX必然等于MIN(较大数JD=MAX)；由于数位的关系，只要发生位数变化就必定带来缩放效应，则0.9循环不等于1,这个是本宇宙内的真理，跟人为建立的任何体系无关。所谓的相等其实就是错觉。

考虑这个问题的人肯定还是被芝诺悖论困惑着。

李永樂表示不服... XDD

看完这一期节目, 你就能理解为什么现在任何一个对科学有兴趣的P大的小P孩(绝对不是说妈咪叔)都能说起物理前沿知识(如引力波, 黑洞, 虫洞)头头是道, 但让他说清楚一个经典数学概念(如无穷小, 矩阵)就立马歇菜了. 原因太简单了: 数学相比任何其它科学都太抽象了, 普及它永远是那么吃力不讨好. 冲这点顶妈咪叔一下. 回到本期的问题, 只要你有本事看懂菲赫京哥尔茨微积分学教程的绪论(不长但不简单), 弄明白实数的两种经典构造之一(魏尔斯特拉斯分割)就够了, 然后其实你就能跳过三卷正文, 直接开始学实分析了. 😎

李永乐老师的看不懂，这个感觉没有那么深奥容易懂一点（捂脸）

任何整數都是一種概念數..實際不存在.. 世上根本不存在絕對的1或絕對的2.. 沒有1.0存在.. 只有0.99999999999.... 還有1.00000000000....1

学过discrete math都知道这么证这问题

0.9(无限)8 和0.9无限相比呢。以此类推。。。0.9(无限)7和0.9(无限)8相比，也都是在实数序列中找不到呀。。。

那0到1 可以塞進多少無穷小量? 0.11…之後0.22…?

无限表示法不能放到等式里

这是数学表示方法的问题，如果使用9进制，1/3=0.3，两边乘3，1=0.9=1，10进制的无穷=9进制的有穷