Спасибо.

Да, конечно. Вы действуете, так скажем, по правилам, рассматривая сумму ряда как предел частичных сумм, в то время как в видео умышленно опускается определение суммы ряда. И действия с рядами проводятся просто по аналогии с конечными суммами. Поэтому и получаются странные в некотором смысле соотношения. Если же действовать честно, то то все закончится не начавшись: ряд 1-1+1-1+... расходится (в стандартном понимании сходимости как предела частичных сумм)

Тогда почему у вас получилось правильное значение для суммы натуральных чисел -1/12?

С точки зрения стандартного определения ответ -1/12 неверный. Последовательность частичных сумм стремится к бесконечности, т. е. ряд расходится.

Рамануджан в начале прошлого века строго показал, что сумма стремится к -1\12. Показал другим методом... Так что он доказал? В чём сакральный смысл этого результата? Хотелось бы узнать ваше мнение.

Рамануджану богиня сообщала результаты. Поэтому сакральный смысл, возможно, известен только Рамануджану. С другой стороны, кроме стандартного определения суммы ряда существуют и другие, так называемые обобщенные методы суммирования. Например, если рассматривать сумму как предел последовательности средних арифметических частичных сумм (метод Чезаро), то получится, что 1-1+1-1+1-1+...=1/2. Хотя в классическом понимании сумма последнего ряда не существует. Обобщенные методы суммирования встречаются в физике. Например, в книге Полчински по теории струн используется равенство 1+2+3+...=-1/12. Но я мало что понимаю в этой области и поэтому не готов вдаваться в детали.

Если складываются бесконечно много чисел, то перестановка слагаемых может изменить результат. Классический пример из учебников по мат. анализу - ряд 1-1/2+1/3-1/4+.... Сумма этого ряда (как предел частичных сумм) равна ln 2. Но если переставить слагаемые и рассмотреть ряд 1-1/2-1/4+1/3-1/6-1/8+1/5-1/10-1/12+..., получится сумма, равная (ln2)/2.

@@ViktorMath ну в этом случае не понятно как рпботает такая теория, потому что в этом случае, когда мы складываем две суммы, мы же всё равно группируем слагаемые, т.е. переставляем их. Тогда надо какое-то вводить (и доказывать) утверждение о том, когда переставлять можно, а когда нельзя. Я верю, что все эти рассуждения Рамануджана имеют право на жизнь, но чувствую, что в реальности чтоб так рассуждать, надо вводить целый пласт теорем, которые позволяли бы такими суммами оперировать.

@@DaddyTorque совершенно верно! О похожих вещах я и говорю в начале видео. Целью этого видео было продемонстиировать опасность небрежного обращения с понятиями, формального переноса свойств с конечных сумм на бесконечные.

@@ViktorMath а как называется тот раздел анализа, в котором эти теоремы вводятся? Хочется почитать поподробней. Как-то это или прошло мимо или выветрилось... вообще, к моему сожалению, мат.анализ и функ.анализ пронеслись, не оставив глубокого следа в памяти... были сданы и забыты... кроме эпсилон-дельта языка, теоремы Больцано-Коши , неравенства Коши-Буняковского-Шварца да интеграла Римана все стёрлось напрочь. Из функана вспоминается только дельта-функция, и то, только потому что на работе периодически встречается :(

@DaddyTorque это в курсе математического анализа обсуждается. У Фихтенгольца, например, в трехтомнике эти вопросы подробно рассматриваются. В том числе и различные методы суммирования.

Чтобы получить значение для суммы S.

Универсальный подход 😊 А о каком китайском математике Вы говорите? Имя не подскажите?

Алеф-ноль - это не сумма натуральных чисел, а мощность множества натуральных чисел.

Нет, всё верно. В самой постановке задачи о вычитании не говорится.

@@ViktorMath S = бесконечность, S1 и S2 не имеет значения

Да, совершенно верно. Ряды, которые обозначены через S1 и S2 расходятся.