少了一个很重要的形式化，哥德尔就是在罗素的（数学原理）形式化基础上建立pm系统构建一系列不完备命题和佐证的，直接完全推翻了罗素和希尔伯特的数学大一统目标（一致性，完备性，保守性，确定性四个目标），所以哥德尔虽然为人低调，但是这个20世纪最伟大的一百个人实至名归，大家既然能关注哥德尔，自然要联系到希尔伯特，罗素，怀尔特，皮亚诺，康托尔...

看了两次，才看懂，讲的非常好！

感谢你～听教授讲还是很迷糊，听你讲就很清晰！希望能出一讲Busy Beaver Function的～

这一期不错，做科普很好了。想提几个建议：1. 介绍形式系统时，应该强调形式系统是递归可公理化的，如果一个系统有非递归可数条公理，那它依然可以是协调，包含皮亚诺算术且完全的。当然这样的系统，我们连公理的可靠性都没法检验。2. 提到自然数系统时，不妨提一下罗宾逊算术，包含皮亚诺算术会有不完全问题，而罗宾逊就没有，量词的意义在这里就体现出来了。3.关于提到‘正确’和可证性，其实这里的正确我们更常见的是说“真”。‘真’到底是什么？不妨开个视频介绍 tarski schema. 真这个概念不等于可证性其实是很直观的日常人都这么认为的。为什么区分它们必要呢？因为当年有一批激进的逻辑实证主义者认为真就是可证性，开个视频介绍维也纳小组的哲学思想？这些人的后继现在还是逻辑圈的一大势力。不过要介绍他们的成就就有点冷门了，需要类型论和范畴论。4.提到黎曼猜想那一段不妨引申到布劳威尔的直觉主义，说明为什么要排除掉掉排中律，这可以很好的引出构造主义数学。

樓主已經很努力， 祝百尺竿頭，更進一步 參考 數理邏輯中， 推理和推論的定義是不同的。 一。 當系統中公理能推理到定理，為自洽。 系統中公理能推理到定理 （當並僅當）系統中公理能推論到定理， 為完備。 二。 哥德爾證明了大量系統（其中包括數學系統）是自洽並且完備的。 三。只有自然數系統中的PM 系統才是有機會自洽而不完備。

"我们必须知道 我们必将知道"这句应该这样:"我们知道,必须 我们才能知道"

喜欢！！！ ～ 还是聪明吸引人

我查了下goodstein定理，和大家分享下 比如g4 先快速增大，到达3 阶乘240263209后，连续连个数相等，然后就慢慢减小了 G(4)の項はしばらく増大し続けるが、底が3 · 2402653209となったところで最大値3 · 2402653210 − 1に達し、そのまま3 · 2402653209項の間同じ値を取り続けてから、最初で最後の下降を始める。

太深奥了,一点都听不懂,但我确实听的津津有味

哥德尔比较有意思的一个故事是，他去申请美国国籍的时候告诉爱因斯坦他可以通过美国宪法从逻辑上证明美国将成为法西斯独裁政权

推薦起點"奧術神座"這本書，穿越後用哥德爾不完備定理把一群異世界數學家的腦子給炸了www

請問 “有些事實被認知為真，但不必然可證” 的原文是什麼？一直找不到

这个还蛮有意思的，对的道理却被证明是不可证明或证伪的

二刷簽到~

我问个问题，比如尺规作图中，三等分角不可做命题。是用近世代数证明的。不能用尺规作图内的公理证明（我猜的）。那么是不是说，这也是一个哥德尔不完备定理的例子呢。 或者说，一些超越证明法，就有可能是哥德尔不完备定理的例子。 或者说，类似于根号2对于自然数的存在

好喜欢这种逻辑反叛的东西，两眼冒星星🤩🤩🤩🤩🤩🤩🤩🤩

goodstein定理 在集合论内是可证的，只是皮亚诺公理系统内无法求证。

所以類似循環論證?

感谢讲解。我特别想知道，如何证明某个定理不能被证明（也不能被证伪）？

挺喜欢妈咪说的，不过作为逻辑学家刚看到第一分钟就必须要纠错了。逻辑和因果完全两个概念。逻辑学不讲因果，甚至排斥因果。曾经有研究充足理由律的一批人，但他们现在不属于逻辑学领域。因果是有时间性的，一个发生在未来的事情不可能是现在某个事情的原因。但逻辑学的基本概念不考虑时间性，很多人把蕴含 implication 或推出 inference跟因果cause搞混，这是不对的。传统的逻辑学定义是关于推理的学科，或者关于有效的论证valid argument的学科。一个论证的前提和结论之间那个 therefore, 不表示因果，而表示一种逻辑后承（推理）。这个论证是否成立，取决于论证的形式，而论证的形式由命题的形式决定，命题的形式由其逻辑常项决定：量词和逻辑联结词。

不能够被证明是不是因为公理不够呢？现在的系统如果把公理去掉一两条，那肯定也有很多定理是不能被证明的。加一条公理需要什么条件呢，是不是只要不造成矛盾就可以加？

公理不是“因”、因和果都是具体的事情，公理之类是具体背后抽象出来的抽象概念，它是“因果法则”而不是因果法则为所应用的因或者果。而自洽就是公理的基础，公理之所以能够成立就因为能够一直灵验、一直发挥效力地延续下去，这就需要自洽、首尾相顾循环不止。

公理之所以有可能被不小心当成因果里的因，因为定理是由公理推导出来的，在数学证明式上写作“·.·… ... .·.”，但是这种“因为…所以”不是公理作为原因而是作为原因为什么能导出结果的依据、其他数学数据状态作为各种具体条件而这些具体条件作为原因进而根据公理作为依据去得出作为结果的其他数学结论。

Ludwig Wittgenstein:THAT CANT BE SAID WE CANT PROOF

证明了不可证明👍

这是一个星期的课程，先讲9个引理再推这个，总共3-4个课时吧，数理逻辑必考内容。。

goodstein定理是自然数公理下描述的一个问题，但却是通过集合论的方法证明的。也就是说一个命题可以同时存在于两个公理体系。为什么一个命题可以同时存在于两个体系中？被两种系统所描述的这个命题还是同一的？

哥德尔的证明过程有意思的很，应该拎出来说一说

只要证明了黎曼猜想不可证明，那就是黎曼公理了，而不是定理XD

不完全是這樣，0 和1的開始不絕對的。特別是量子物理數學里，在光速億萬倍加速下，對與錯，都是對和不對，可以同時存在著……..

完全超出我的认知范围，我就不浪费时间了

是有一些小錯誤，一階邏輯的語句間沒有因果關係

这不是刚传的吗

哥德尔的不完备性定理是计算机和计算机编程语言的摇篮。。。在不完备性定理的基础上，图灵设计了图灵机，邱奇设计了lambda运算。

其实康托尔的对角线法是哥德尔证明不完备性的灵感所在。。。

毕导视频介绍了基于哥德尔数的不完备性的证明

我补充一句…… 古德斯坦定理在自然数体系中不可被证明，意味着存在自然数体系中古德斯坦序列不在有限步收敛至零。但这种体系与集合论不相容，所以也是反直觉的。

抱歉，你是对的

最末一段关于黎曼猜想的，“如果它既不能被证实也不能被证伪，那么它就是对的” 这段可讨论一下。我现有一命题：“黎曼ζ函數非平凡零點的實數部份不是1/2” (就是黎曼猜想的否命题)。 到目前它也是不能被证实或证伪的(要不然就算于黎曼猜想就证完了)，根据播主的说法，它就对的。那么就不自洽了。

I have a dream to speak chinese very quickly as you speak

11:30 照之前置換原則，為何不是 +5 而是 +3？

那在一個體系內，可以有假的命題，但不能被證偽嗎

那各种神鬼也不能被证明和证伪，是不是也说明是存在的😂

THAT THING,IT,''monkey book'' IS THE INHERENT OF ChatGPD

Wir müssen wissen, wir werden wissen！

包含自然数的公理体系？那不包含自然数的公理体系有什么例子？

如果证明了它不能够被证明，那么是不是就等于证明了它就是对的。如果证明了它是不能够被证伪的，是不是它就是错的？

驚艷。數理化作為自然科學的硬核畫出了人類已知和未知的邊界，但是這條線是虛線。我們不知道有多少事情現象我們不知道，這是一個如實且謙虛的心態。龐加萊說，一切不能被測量的現象都不可以列入自然科學，這樣的界定也是極為明智極有必要的甄別規則，它使得自然科學成為一個覆蓋範圍有限但是卻可以充分證真或證偽的認知領域和公理表述集（S）。人類歷史上科學與宗教一直並立，如果我們從主流的三個宗教典籍中提取這個領域的公理表述集（R），這裡面包括與自然科學交集部分，而各種神跡則不在交集範圍內，它位於(R-S)集合內，而這一部分才是大航海。

cs理论之一

不能被证明不能说明命题正确，也可能是not even wrong

看完之後想到一個問題 既然古德斯坦定理被證明它在皮亞諾算術中是不可證明的 所以它是對的 那不就相當於是證明了古德斯坦定理是對的嗎?

妈咪和叔叔？

伽利略變換與電磁學理論的不自洽，這個現像早就在一百多年前由馬克士威方程組為核心的位移電流描述所克服，人類得知伽利略變換下，馬克士威方程組並不協變，必須以勞倫茲變換下力學(改變質量形式),以及電磁學才會符合協變，王院士弄了一個對該方程做近似的論文，只是牛頓力學般的生活應用，沒有突破，沒有拓展，只有自我感覺良好。好大喜功、急功近利、弄虚作假!

单纯从数学角度来理解哥德尔这位柏拉图主义者的'不完备定理' 也还行吧

+3写错了

哥德爾與哥德 雙哥是俺的神

大哥，希爾伯特提出問題的時候是1900，哥德爾還沒出生呀。

假的，真不了，這是合理；真的，假不了，這是完備！不合理運作，以假亂真，人為；不完備運作，黑白難分，天理！

逻辑＝辩证＝雄辩？？？

SINECE ITS NOT A SAY

推广到现实，那宗教和信仰不就成了真的？

哥德尔不完备实际是人脑的局限性造成的，整数公理体系应该有无穷多个公理构成， 而人脑是不可能看出一个无穷公理序列里所有命题都是显然成立的。也许在计算机普及的将来，可以通过计算机构造一套由无穷公理组成的自洽公理体系包含自然数体系，如果这一天到来，将是数学界的狂欢。

数学就是要把问题搞得复杂不可懂才告终 用不可证明的公理得到的定理再多转几个圈一定可以忽悠出一个不可证明的命题 就这么简单 数学里要多加一条定理：在一个没有意义的命题上除非赋予它新的意义再继续推倒是没有意义的。 Goodstein序列的意义是什么？它不代表任何现象。没有意义 纯数学就是在耍把戏而已