Интегральное представление постоянной Эйлера-Маскерони

Рет қаралды 7,673

7 ай бұрын

В этом видео будем находить несобственный интеграл от ln(x)*e^(-x). Его нахождение приводит к постоянной Эйлера-Маскерони.
Здесь находится предел от интеграла, о котором упоминалось в видео: • Предел от интеграла
Здесь про постоянную Эйлера-Маскерони: • Постоянная Эйлера - Ма...
Здесь общее правило для пределов вида f(x)*ln(g(x)): • Общее правило для пред...
Если у вас есть возможность, поддержите канал:
сбербанк: 4276160020048840
тинькофф: 5536914075973911

Пікірлер: 56

@nikko2505 7 ай бұрын

На просторах интернетов и правда много таких видео, но нигде нет таких подробностей. Спасибо!

@MrBertmsk 7 ай бұрын

"На просторах интернетов" мат видевы обычно на 2/3 состоят из описания "что такое комплексное число". Ну т.е. 2 крайности: или лекции мехмата с "альфа-бета-гамма штрих" или научпоп. Вот автор нашел классную золотую середину. Респект ему!

@nikko2505 7 ай бұрын

@@MrBertmskесть хороший англоязычный матконтент

@MrBertmsk 7 ай бұрын

@@nikko2505 Майкл Пенн, например, да.

@user-rs9iv1ju5s 7 ай бұрын

Пол Дж. Нахин. Секреты интересных интегралов. Там есть целая глава посвященная этой константе и подробно разобран этот интеграл и интеграл Рамануджана.

@Hmath 7 ай бұрын

у меня есть эта книга. завтра посмотрю, как он сделал. Но почти уверен, что он просто поменял предел и интеграл местами без обоснований :) У него специально "лёгкий инженерный" стиль изложения :)

@Uni-Coder 6 ай бұрын

Вы упоротый фрик. В хорошем смысле. (Я любитель математики и даже выигрывал в детстве - лет 30 назад - республиканскую олимпиаду, но тут даже я мало что понял). Мальчик 44 годика, программист.

@VagifRamazanov-co8lh 23 күн бұрын

Настоящая магия и красота !!!!

@AlexeyEvpalov 5 ай бұрын

Подробное решение. Спасибо за отличную лекцию.

@Aksiwozkx 7 ай бұрын

Длинный ролик на канале😍 Спасибо за ваш труд!

@user-mp4sb5pb4w 7 ай бұрын

Хорошое видео, автор все разжевывает и оставляет ссылки для более любопытных зрителей (что редко можно встретить на YT) , вот бы на этом канале делали видео по физике , или не на этом канале , но с этим автором

@Hmath 7 ай бұрын

сейчас я в физике не сильно силен :)

@alter.007 4 ай бұрын

Теорема Лагранжа, из которой следует первая интегральная теорема о среднем - это довольно простой, но в то же время довольно крутой инструмент для того, чтобы расправляться с непокорными интегралами. :))))

@tyraelalkire9410 6 ай бұрын

Как-же красиво всë упрощается, спасибо за видео

@NikitaBotnakov 7 ай бұрын

Красота!

@giedriusm.4025 7 ай бұрын

Kak vsio krasivo i jasno, kogda tolkovij muzhik (izviniajus) razjaniajet. Spasybo.

@azeekgalvany 6 ай бұрын

Очень элегантное решение, браво)

@alexeyholin1044 4 ай бұрын

Спасибо !!!!!

@sergeygaevoy6422 4 ай бұрын

Можно сделать замену x = n * t (n-> inf при t от 0 до 1) в изначальном интеграле, и тогда логарифм можно будет разложить в ряд Тейлора в единице. Там практически сразу гармонический ряд покажется, когда (-1) сократятся. Второй замечательный предел даже не потребуется вводить, но я точно не помню, насколько это вариант строгий, к сожалению.

@user-jm8sk9gu6t 7 ай бұрын

классное видео, но почему с 12:49 изменился голос диктора?)

@Hmath 7 ай бұрын

не знаю, как так получилось. Сам удивляюсь. Видимо в разные дни записывал звук и какие-то разные настройки микрофона поставил.

@White-uq9fr 7 ай бұрын

Не планируете ли когда-нибудь сделать видео про интегралы Коксетера? В русских источниках информации об этом почти нет, а между тем задача интересная (хотя и несколько громоздкая, этого не отнять).

@Hmath 7 ай бұрын

никогда не слышал.

@user-uk4nn6sx1v 7 ай бұрын

💪

@dmitryramonov8902 6 ай бұрын

Помогите ответить на вопрос. Есть хитрая функция x^2 sin(1/x). В нуле неопределена, но может быть дополнена нулем. Сходится ли ее ряд Фурье в нуле (размноженной четным образом, т.е. x^2 sin(1/abs(x)) )? Интегралы x^2 sin(1/x) cos (m x) не очень то берутся, но могут вычисляться численно.

@user-dc4py5iq8b 7 ай бұрын

Спасибо за ваш нелёгкий труд! Можно узнать, где вы учились?

@Hmath 7 ай бұрын

типичный российский провинциальный вуз. но там только какую-то базу математическую дали, дальше сам разбирался

@user-qs3tz6hh5g 7 ай бұрын

Марвел надо было снять фильм "Математика. Бортба с бесконечностью"

@Sensibler2019 7 ай бұрын

Вместо того, чтобы не мучиться с двумя разными пределами (стремление x к 0 и к бесконечности), я бы рассмотрел интеграл от a до 1/a, где уже a стремится к 0 справа. Будет один предел, где у логарифма при вынесение -1 степени только знак поменяется, а экспонента будет стремиться в свою сторону в каждом алгебраическом слагаемом

@sanek711 7 ай бұрын

А почему не 1/a^2 или 100/a^15? И то и другое стремится к бесконечности. Очевидно, это некорректный переход

@skatina2477 7 ай бұрын

Это сработает, если перед этим доказать, что несобственный интеграл сходится, но так в видео не было сделано, возможно, из-за сложности. Самому проверять впадлу)

@user-hd8yl6ju8o 7 ай бұрын

Уже очень хочется посмотреть, что за интеграл будет дальше, для которого нужен был этот интеграл.

@Jius-fg5zq 7 ай бұрын

А след интеграл нужен будет для другого, сложного интеграла, а тот в свою очередь будет нужен для совсем сложного интегралв и тд. пока в пределе не будет видео про интеграл для расчета интенсивности излучения черных дыр

@user-hd8yl6ju8o 7 ай бұрын

@@Jius-fg5zq ну кстати, в квантах, например, есть приёмы, чтобы найти некоторые несходящиеся интегралы. Выглядит это как поругание над математикой. Хотелось бы посмотреть на разборы таких интегралов.

@MrBertmsk 7 ай бұрын

@@Jius-fg5zq а чё там сложного с черными дырами? "жжжжжжж... пых... пых... жжжжжжжж" и всё

@user-gd7hx2sm4f 7 ай бұрын

Решить уравнение 4y^2y"=x(y') ^3

@skatina2477 7 ай бұрын

на 12й минуте старый микрофон отдал концы и вы купили новый?)

@Hmath 7 ай бұрын

нет, это один и тот же микрофон. В разные дни записываю: так вот голос изменился :)

@closer_to_the_unknown 8 күн бұрын

Простите за глупый вопрос, но почему мы не можем на 9:04 для выражения в скобках использовать второй замечательный предел, при котором это выражение равно e^(-x)?

@Hmath 7 күн бұрын

потому что предел стоит за интегралом, а не внутри. Это и нужно доказать, что его туда можно внести. Я даже отдельное видео сделал (предыдущее, на него тут ссылка есть в описании), чтобы более строго доказать это место.

@yegorgorodzha9921 7 ай бұрын

А кто впервые это соотношение вывел, наверняка Эйлер? Еще можно переписать его как интеграл от 0 до 1 от -ln(-ln(x))

@Hmath 7 ай бұрын

наверняка Эйлер :)

@aliguseinov4836 7 ай бұрын

Голос изменился? 12:47

@user-rs9iv1ju5s 7 ай бұрын

Производная от гамма функции в точке n=1 равно этому выражению.

@Hmath 7 ай бұрын

именно. К этому и подбираюсь :)

@Italy274 7 ай бұрын

У меня такой вопрос |x|=-1 ,даже комплесного решения не имеет?

@MrBertmsk 7 ай бұрын

Модуль не может быть отрицательным. Т.к. по сути это расстояние от начала координат до x, а расстояние не бывает отрицательным. Определение абсолютной величины посмотри

@Italy274 7 ай бұрын

@@MrBertmsk Да чувак ,любое уравнение ,которое не входит в Область Допустимых значений(ОДЗ) ,может иметь комплексное решение ,а мне стало интересно можно ли с помощью комплесными числами сделать это

@Hmath 7 ай бұрын

для комплексных чисел модуль - тоже действительное положительное число.

@xow998 7 ай бұрын

Очень странно....., месте про "ключевой трюк", переход, IMHO, тривиален! e^x=lim(n->inf)(1+x/n)^n (ряд Тэйлора для экспоненты) . Подставляя "-x" получим этот переход.

@Hmath 7 ай бұрын

тут вы подразумевается, что предел внутри интеграла и снаружи - одно и то же и можно смело менять их местами (а это в половине случаев не работает) и кроме того не просто менять, но еще и на верхнем пределе в интеграле одновременно n стремится к бесконечности. А так понятно, что это равенство и появляется из e^(-x)=lim(n->inf)(1-x/n)^n. Вся "нетривиальность" именно в возможности переставлять пределы.

@xow998 7 ай бұрын

@@Hmath , В общем случае конечно так переставлять, как вы описываете "стрёмно":) Но здесь, вполне , замену экспоненты на ряд можно вообще произвести с другой буквой, например m. А в конце m приравнять n, так как экспонента сходится "всегда и везде".

@Hmath 7 ай бұрын

вот поэтому и сделал "строже". даже часть в отдельное видео вынес :) я кучу разных комбинаций в решении делал прежде, чем выбрать лучший, на мой взгляд, вариант: компактнее и понятнее

@MrBertmsk 7 ай бұрын

В названии ролика спойлеры же!

@Hmath 7 ай бұрын

вот это еще посмотрите видео: kzfaq.info/get/bejne/rMppfLeHzM-ZqHU.html там прямо спойлерище! :) это слишком известный интеграл, чтобы ответ у него скрывать. На каждом 2ом канале, на котором разбираются интегралы, рано или поздно появляется и этот :)

@MrBertmsk 7 ай бұрын

@@HmathУуууууу! 😀