Интеграл Дирихле: sin x/x

Рет қаралды 24,662

3 жыл бұрын

Из этого видео вы узнаете, как найти несобственный интеграл от минус до плюс бесконечности от функции sin x/x. Такой интеграл иногда называют интегралом Дирихле.
здесь можно посмотреть, как найти приближенное значение определенного интеграла sin x/x через разложение в ряд Тейлора: • Приближенное вычислени...
здесь можно посмотреть, как найти интеграл вида e^x*sin x методом интегрирования по частям: • Возвратный интеграл si...
а здесь интеграл вида e^x*sin x без интегрирования по частям: • Два интеграла: sin(x)*...
здесь есть вывод формулы Эйлера для комплексной экспоненты: • Тригонометрическое ура...
Если у вас есть возможность, поддержите канал материально,
карта Тинькофф: 5536 9140 7597 3911

Пікірлер: 55

@Hobbitangle Жыл бұрын

"Вот такой интересный результат - интегралы не зависят от 'а'" Очень интересный результат. Который можно было бы (и стоило было бы) получить в самом начале рассмотрения задачи, сделав подстановку у = а•х Тогда бы исходное подынтегральное выражение превратилось sin(ax)/x•dx = sin(y)/y•dy, тем самым константу 'а' во всех дальнейших вычислениях и преобразованиях можно было бы опустить, упрощая выкладки.

@AlexeyEvpalov 5 ай бұрын

Красивое, необычное решение. Большое спасибо за видео.

@user-ik5tb2bz8h 2 жыл бұрын

Спасибо! Вы отлично популяризируете математику!

@Hmath 2 жыл бұрын

рад, что нравится!

@imione1602 3 жыл бұрын

С помощью ваших видео познаю математику ! Узнал очень много на вашем канале ! Все сложные вещи доступно разъясняются ! Спасибо !

@Hmath 3 жыл бұрын

рад, что нравится! в математике много интересного получили за столько веков, буду постепенно рассказывать :)

@zhasulanaset6514 3 жыл бұрын

Как всегда на высшем уровне! 👍

@Hmath 3 жыл бұрын

спасибо!

@bestmusic9854 Жыл бұрын

Боже как же это красиво ) спасибо за ваш труд

@ajdarseidzade688 8 ай бұрын

Полностью согласен. Тоже хотел написать, что красивое решение, но увидел Ваш коммент.

@alexeyholin1044 5 ай бұрын

Спасибо !! Очень интересно ! Правда, мой уровень не дотягивает до Вашего... ) Зато я всё понимаю, как Вы объясняете. Спасибо !!

@zarash9545 2 жыл бұрын

А так супер! Все понятно и ясно!Респект

@slavinojunepri7648 Ай бұрын

Fantastic result

@KambarKenzhegaliyev 3 жыл бұрын

Красивый канал 👍

@Oleg_Ivanov 3 жыл бұрын

Интересный результат,- какое бы ни было "а" что выше оси Х нивелируется тем, что ниже... В продолжение диалога о другой функции sin(π/x) - результат интеграла в пределах [0, 1] чрезвычайно интересен тем, что такая сумасшедшая функция сходится! на таком промежутке.

@Hmath 3 жыл бұрын

ну в интеграле можно сделать замену сразу (t=pi/x) и тогда функция в интеграле сразу будет иметь приличный вид ;)

@b1stari 3 жыл бұрын

Мощно

@a.osethkin55 2 жыл бұрын

Огонь

@user-fk6qy6dm8n 7 ай бұрын

Когда-то и я умел так интегрировать.Жаль,это было давно

@user-gk3sn4hz8g 3 ай бұрын

Отлично, это совсем новый способ, хотя и похож на метод Фейнмана.

@VSU_vitebsk 3 жыл бұрын

очень круто

@user-dk1fj3pe5b 6 ай бұрын

Вот это способ, балдеж

@robertmonroe9728 2 жыл бұрын

Не проще ли сразу ах заменить на переменную и тогда сразу видно что не зависит от а и равно двойному интегральному синусу от бесконечности.

@dmitryramonov8902 3 жыл бұрын

Красиво, и лучше чем примочка Фейнмана! А интеграл модуля sin(x)/x расходится? Отрицательные площадки принципиальны, получается?

@Hmath 3 жыл бұрын

да, интеграл от модуля расходится

@dmitryramonov8902 3 жыл бұрын

@@Hmath расскажите еще про несобственный интеграл от sin(1/x). Подозреваю, что он расходится... Что нужно на него навесить по минимуму, чтобы получить красивый результат? Например, /x или /x2? Плиз.

@Hmath 3 жыл бұрын

sin(1/x)*(1/x^2) с пределами от 1 до бесконечности в 2 действия находится ;)

@Hmath 3 жыл бұрын

ну поэтому я и написал: "с пределами от 1.... " :) а так понятно, что в интеграле, где в аргументе синуса стоит какая-нибудь муть, нужно сначала попытаться от нее избавиться заменой, а уж потом смотреть, что получится

@dmitryramonov8902 3 жыл бұрын

@@Hmath Согласен, 1/x2 легко заносится под знак дифференциала, интеграл получается cos(1/x). Но в нуле и рядом он не определён... А вот sin(1/x)/x - это наш поциент!!! И не берется просто так, и красивый ответ - пи/2. Хотя... он легко преобразуется в sin(1/x)/(1/x) d(1/x). Получается, график совершенно дикий, а интеграл берется, как если бы это был sin(x)/x

@mathbyautistdimag.9330 3 жыл бұрын

Вот на моментах "возьмем функцию ..." и тд, в принципе в любых задачах, возникает чувство какой то искусственности происходящего. Можно ли конструктивно прийти к целесообразности именно таких действий? Или это просто результат гениальности тех, кто впервые додумался до этого

@Hmath 3 жыл бұрын

да в интегралах, как с любыми другими заменами: методом проб и ошибок :) тут, например, степенная функция в знаменателе - от нее явно нужно избавиться, а дальше уже думают, как это сделать. Я как-то смотрел на формулы, полученные Рамануджаном, и способы, каким он это делал - вот там прямо восхищение: как до такого можно было только догадаться? :) Спасибо, кстати, за рекламу на другом канале! ;)

@Oleg_Ivanov 3 жыл бұрын

Мой препод, в своё время сказал: "Чтобы решить интеграл, надо чувствовать как он берётся. Чтобы чувствовать как брать интегралы, нужно прорешать их большое количество"... Только бы вот так в бесконечную рекурсию не замкнуться... 😵😂😂😂

@mathbyautistdimag.9330 3 жыл бұрын

@@Oleg_Ivanov Слышал еще такое высказывание: "Дифференцирование-это ремесло, интегрирование-искусство"

@cicik57 2 жыл бұрын

а этот интеграл имеет отношение к технике Феймана где тут бы ввели I(t)= integral sin(ax)*e^-xt / x ?

@Hmath 2 жыл бұрын

да, так тоже можно

@AdelVarlington 3 жыл бұрын

Хороший способ, но, мне кажется, трюк Фейнмана здесь лучше работает.

@Hmath 3 жыл бұрын

да это по сути почти то же самое, только оформлено иначе. :) Не все же интегралы одним способом решать, должно быть разнообразие.

@totkolpovwatch 4 ай бұрын

Я конечно понимаю что мой уровень не стоит даже рядом с вашей тенью, но я тоже хочу так интегрировать😅

@user-lp9tv3ir9n Жыл бұрын

Не ожидал такого ответа

@Germankacyhay Жыл бұрын

Вспомнился мультфильм про Винни-Пуха.

@aranarus 8 ай бұрын

А зачем на 9:50 приводить к общему знаменателю? Это же элементарные функции получается сумма логарифмов.

@BukhalovAV 10 ай бұрын

Не совсем понятно, по какому правилу мы можем вот так спокойно выносить внутренний интеграл наружу на 4:38?

@user-cr2lq7lb4z 7 ай бұрын

Ни по какому. Ни теорема Фубини (требует абсолютной сходимости), ни перестановка порядка интегрирования в интеграле Римана (требует равномерной сходимости по t>0) в лоб не применимы. Можно отступить от нуля по t, изменить порядок интегрирования, обосновать переход к пределу по нижнему пределу интегрирования. А дальше как угодно - то ли по частям, то ли производная по параметру и диф. уравнение...

@BukhalovAV 7 ай бұрын

@@user-cr2lq7lb4zто есть, автор данного видео сделал какое-то допущение, не обосновав его? Просто я не настолько силён в интегралах, потому и спрашиваю.

@zarash9545 2 жыл бұрын

Как получилось 2 в начале видео? Двойка возле интеграла с границами от нуля до плюс бесконечности

@Hmath 2 жыл бұрын

функция четная, значит интеграл от -бесконечности до +бесконечности будет в 2 раза больше, чем интеграл от 0 до бесконечности. Представьте график функции: если он симметричен относительно оси ОY, тогда площадь под ним справа от оси равна площади слева.

@zarash9545 Жыл бұрын

@@Hmath спасибо🌼 Поняла

@zarash9545 Жыл бұрын

Обожаю ваш канал

@dee3mon 3 ай бұрын

А здесь нельзя как-то на этот интеграл Фурье натравить? С учетом того, что Фурье-преобразование линейное, то с заменой порядка интегрирования проблем быть не должно. А Фурье-образ от sinc - это одна из базовых вещей - прямоугольник, площадь под ним легко считается. А потом обратно пробросить?

@Hmath 3 ай бұрын

можно

@meerable 10 ай бұрын

Меня смущает, что область определения х для исходного интеграла вся числовая ось, включая ноль, а область определения х в подстановочном интеграле строго больше 0. Это противоречие не было устранено даже оговоркой.

@Hmath 10 ай бұрын

не включайте тогда ноль и сразу пропадут противоречия. Зачем он нужен? интеграл не изменится, если у функции выкинуть значения в каких-то точках.