Как вавилоняне извлекали квадратные корни?

Рет қаралды 25,096

2 ай бұрын

Вавилонский алгоритм извлечение квадратных корней, когда на следующем шаге берутся среднее арифметическое и среднее гармоническое от приближений предыдущего шага, исключительно быстро сходится.
Благодарим вас за интерес к нашей работе!
Получить доступ к дополненным материалам и поддержать нас можно в нашем телеграм-канале: t.me/getaclass_channel/525
Новосибирский Государственный Университет
www.nsu.ru/

Пікірлер: 156

@user-nn2ss9vm1s 2 ай бұрын

Спасибо древним индийским математикам, придумавшим десятичную систему. А то мучались бы сейчас с 60-ричной.:)

@user-nn2ss9vm1s 2 ай бұрын

Это шутка, если что. 10-ая уже в Риме была, просто записывалась по другому.

@user-uk8wt1fn7c 2 ай бұрын

Индусы видимо раньше римлян изобрели десятиричную систему.

@ikitsar459 2 ай бұрын

Есть более удобные, например 12-ричные или 16-ричные. Но благодаря древним индийским математикам, теперь страдаем с десятичной :)

@user-ys5wj9wi8w 2 ай бұрын

@@asderoookrook7002просто умножать и делить на 10

@collcoll6893 2 ай бұрын

@@user-nn2ss9vm1s12ти- ричная система была у них

@dyvniy_vershitel 2 ай бұрын

Не знал этого способа. Думал строили прямоугольный треугольник и гипотенузу измеряли. Итеративные методы мощны!

@user-ch1df4fs8p 2 ай бұрын

гипотенузу придумал уже пифагор :) он жил позже

@gimeron-db 2 ай бұрын

Причём этот итеративный метод довольно быстро набирает точность.

@user-sg9mi9xq6o 2 ай бұрын

Кто знает.

@user-sg9mi9xq6o 2 ай бұрын

Точно?

@user-sg9mi9xq6o 2 ай бұрын

...хм

@purwic 2 ай бұрын

это метод похоже можно обобщить на n-мерный куб и тем самым извлекать любые натуральные корни из любых например даже рациональных чисел. Спасибо за ролик

@user-mu7zw7kj9l 2 ай бұрын

И вам спасибо) Интересный подход, прямоугольник всё ближе к квадрату, а его сторона всё ближе к корню из 2

@zhigyli2932 2 ай бұрын

спасибо очень интересно

@user-sg9mi9xq6o 2 ай бұрын

Мне ничего не понятно лично но я видимо очень глуп для всего вот этого.

@user-xs8gv3hp2v 2 ай бұрын

Расскажите пожалуйста подробнее про 60 ричную систему . У них было 59 разных цифр? Как они их складывали , делили и умножали ?

@sergc9068 2 ай бұрын

60 же разных цифр. Как в 10-тичной 10 цифр. Да обычно все действия производятся в любой системе счислений (разве что в единичной системе отличается, если что это счёт на пальцах к примеру).

@null_device 2 ай бұрын

Так же, как это производится в шестнадцатеричной, восьмиричной и любой какую только можно вообразить. Вспомните, как производится сложение/вычитание и умножение/деление в столбик.

@Achmd Ай бұрын

вот у нас есть пятеричная система счисления от 0 до 4: . - = * # складываем числа -.= и #-. : -.= + #-. ____ -.-= в чём проблема расширить до 60-ричной?

@null_device Ай бұрын

@@Achmdв первом приближении, ни в чем, кроме пересчёта основания

@user-oc2yy9oz2j 2 ай бұрын

Респект древним. Я то думал, что это придумал Ньютон.

@YuriiKostychov 2 ай бұрын

Доброго здоровья - я полагал метод Ньютона скорее завязан на понятии производной, нежели на "оквадрачивании" прямоугольника. Больше всего мне этот метод напомнил представление квадратного уравнения графическим методом, где прямоугольник x^2+bx=c представляли как квадрат х на х и прямоугольник b на х.

@user-oc2yy9oz2j 2 ай бұрын

@@YuriiKostychov доказательство действительно можно ваести через производные. Методом Ньютона решают и другие нелинейные уравнения и из системы. Но если Вы посмотрите какие действия выполняются, то увидите, что это и есть метод Ньютона.

@Ihor_Semenenko 2 ай бұрын

@@user-oc2yy9oz2j Да, формула похожа на метод Ньютона-рафсона, но тут скорее метод простой итерации: a=1, b=2, A=2 a = (a+b )/2 , b = A/ a и т.д. Для А>1 оно будет работать всегда.

@YuriiKostychov 2 ай бұрын

Снова здравствуйте - при одинаковых начальных условиях (нулевой итерации) оба алгоритма (возможно одного и того же метода) дают идентичные результаты по точности и пр. - пробежался методом Ньютона. Мне пока сложно увидеть прямую аналогию (через приращения площади) с дискретной производной функции f(x) = (x^2-2). Подумаю ещё. (@@user-oc2yy9oz2j

@user-id5qv4jc1v 2 ай бұрын

@@YuriiKostychov кстати, это метод Аль Хорезми

@gimeron-db 2 ай бұрын

Интересный метод. Так ведь можно извлекать корни из других чисел. Ещё алгоритм довольно быстро набирает точность.

@user-sg9mi9xq6o 2 ай бұрын

Радует когда ко всему этому что угодно можно написать но вот смысл теряется и всё перестаёт работать так как надо.

@michaelsnk 2 ай бұрын

ощущение что если бы 4000 лет назад технологии бы шли в пору с математикой, как сейчас, мы бы жили бы совсем в другом мире

@AT-hl6pf 2 ай бұрын

как показала практика (и реальный мир) миром рулят не ученые и умы, а политики. а тут как в животном мире - выживает не умнейший и сильнейший, а наиболее приспособленный. а природа доказывает, что не всегда большой мозг/ум выигрывает в эволюционной гонке

@odinrossi3353 18 күн бұрын

Так-то технологии от математики и сейчас отстают значительно) Возможно, даже больше, чем 4000 лет назад)

@alexanderspeshilov839 2 ай бұрын

Похоже можно геометрически и получение кубического корня объяснить (и тоже по факту метод Ньютона, и тоже быстро сходится). Берём паралеллепипед, считаем среднее арифметическое по сторонам - это будут 2 стороны нового паралеллепипеда, делим объём 2 раза на это среднее - получаем третью сторону. Повторяем, пока не достигнем нужной точности. "В буквах" это будет так: P = a[i] + b[i] + c[i] a[i+1] = b[i+1] = (P/3) c[i+1] = V / (a[i+1] * b[i+1]) a[1] = b[1] = 1, c[1] = V

@user-yx6eg3wd9y 2 ай бұрын

Спасибо вам

@user-rq9po2zv4k 2 ай бұрын

Дякую вам за працю 😊

@sergey3113 2 ай бұрын

А можно побольше таких роликов с математикой?

@user-fl5fw6sg5k 2 ай бұрын

По своей работе, мне приходится считать винтовую спираль. Десетичная дробь, до 6й, 8й. Цифры и........ + С уважением к контент. 😊🎉❤ (Урал, Россия, Екатеринбург)

@timurpryadilin8830 2 ай бұрын

Подскажите, а то что у нас во всех примерах получалось (m/n)^2=2+1/n^2, это совпадение ?

@alexsokolov8009 2 ай бұрын

Не совпадение: если возьмёте за x сторону прямоугольника, то вторая сторона будет равна 2/x (из того, что площадь равна 2). Тогда среднее арифметическое даст (x + 2/x)/2 = x/2 + 1/x Площадь квадрата с такой стороной будет равна (x/2 + 1/x)² = x²/4 + 1 + 1/x² = 2 + (x²/4 - 1 + 1/x²) = 2 + (x/2 - 1/x)² Чем ближе площадь к 2, тем ближе к нулю (x/2 - 1/x)², и значит, x будет стремиться к корню из двух

@Achmd Ай бұрын

((2a/b + b/a)/2)^2 = ((2aa + bb)/(2ba))^2 = (4aaaa + 4aabb + bbbb) / (4baba) = aa/bb + 1 + bb/4aa = 1 + (4aaaa + bbbb) / 4baba = 1 + (4aaaa - 4baba + bbbb + 4baba) / 4baba = 2 + (2aa - bb)^2 / 4baba остаётся понять, почему 2aa-bb равно -1 ...

@at_one 2 ай бұрын

Полезно было бы добавить, что a > (a+b)/2 > √(ab) > b, поэтому на каждом шаге мы получем большую сторону a прямоугольника, а вычисляем меньшую b.

@MrWhisper001 2 ай бұрын

Когда пишешь программу это даже не играет роли, поскольку получается что сторона у тебя как бы одна все время : a = (a + n/a)/2

@at_one 2 ай бұрын

@@MrWhisper001 это позволяет понять, что на каждом шаге корень находится между a и b, а также, что диапазон поиска уменьшается более чем в 2 раза. Т.е. оценить корректность алгоритма и скорость сходимости.

@MrWhisper001 2 ай бұрын

@@at_one это да, интересно понимали ли это сами вавилоняне.

@Achmd Ай бұрын

загадка тысячелетия: почему bb - 2aa = 1 где b/a - это одна сторона такого прямоугольника, а 2a/b - вторая. причём b/a равно (x+y)/2 предыдущего прямоугольника.

@mustang2mipt Ай бұрын

Получаемые дроби имеют отношение к представлению корня из двух в виде цепной дроби? Ведь она, как известно, даёт наилучшее приближение. Удивительно, но доказательства того, что процедура сходится к искомому кввдратному корню из двух, не прозвучало. Я бы предложил рассмотреть другую задачу: допустим, мы умеем извлекать квадратный корень. Как нам быстро вычислить корень любой (целочисленной) степении? Ситуация типичная, большинство калькуляторов имеет только эту операцию. Приведу пример для кубического корня: извлечь из числа квадратный корень, затем умножить на исходное число. Повторять до тех пор, пока результат не будет меняться.

@user-sg9mi9xq6o 2 ай бұрын

Стоит у них спросить.

@denden5395 2 ай бұрын

очень напоминает метод Дихотомии (численное решение уравнений)

@Barmaley80x 2 ай бұрын

Мне както на досуге приходила идея, что у вавилонян должно быть где-то кв корень из 60 содержаться. Вы меня подтолкнули внимательно их соображения посмотреть. Вавилоняне это хорошо, только вот в их числах с основанием 60 я этого не вижу. Если сравнивать с итеративными методами в компьютере, стандартная итерация прогоняется примерно 6 раз, значит выходная точность примерно 8-9 значащих знаков.

@FarmazonSK 2 ай бұрын

Самая удобная, по-моему, 12-тиричная. 12 делится на 2 на 3 на 4 и на 6. Было бы удобно.

@MrWhisper001 2 ай бұрын

Она и существовала(как и 20-ричная) - у французов и англичан до сих пор чувствуется. А еще 12-ричной на фалангах пальцев(4х3) считать удобно, этим тоже пользовались.

@Evgeny-Kasintsev 2 ай бұрын

Вроде у Веселовского в переводе сочинений Архимеда написано, что считали они по методу Ньютона. Там намного наглядней: например первое приближение корня из 5 берем 2, а следующее получаем размазывая погрешность 1 на две соседние стороны квадрата и.т.д.

@shrarm18 2 ай бұрын

Такой способ точнее( сходится быстрее) чем ряд Тейлора в окресности нуля?

@mike-stpr 2 ай бұрын

Шикарный выпуск! Но всё же хотелось бы пример из древней жизни, когда известна площадь квадрата, но неизвестна его сторона и её надо так посчитать! Это реально важно! СПАСИБО!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

@Lex06by 2 ай бұрын

Тот же принцип например площадь 4, тогда мы берём за вторую сторону 1 и берём среднее арифметическое -> 5/2, делим 4 на 5/2, получается 8/5, среднее арифметическое 41/20, ну и дальше

@mike-stpr 2 ай бұрын

@@Lex06by а можешь придумать реальную в жизни причину для такого? Я пытался найти реальное историческое применение квадратного уравнения и не нашел. Может хоть у квадратного корня оно есть? (или было по крайней мере)

@Ihor_Semenenko 2 ай бұрын

@@mike-stpr у вавилонян земли были общинными и надел под земледелие выделял правитель. Эти земли были вдоль рек и за счет наносов ила они были плодородными (как Нил в Египте). + они же рыли каналы, чтоб больше было заиливаемых земель. Так вот, чтоб не посориться всем, кому больше или меньше - учатки резались равной площади. Ну и чтоб н епростаивали. Так ч товсе просто - наделы делили.

@mike-stpr 2 ай бұрын

@@Ihor_Semenenko спасибо! А для чего нужно было брать квадратный корень? Просто как бы, чтобы выделить участок равной площади, надо изначально знать его стороны, а не наоборот высчитывать их уже зная площадь. Поправь меня, где я ошибаюсь, плиз?

@Ihor_Semenenko 2 ай бұрын

@@mike-stpr не, им просто нужно было решать квадратные уравнения - чтоб площадь через длинну выражать. А квадратный кореень это частный случай. Но мое предположение не 100%, потмоу ка точных данных нет. Скорее всего именно так и использовали.

@muroma3088 2 ай бұрын

весьма остроумно

@volodymyrtykulov8800 2 ай бұрын

У землян привязка к десятичной сист. исч. (десять пальцев). А как еслиб брали все 20 пальцев или при двоичной систем (да-нет), в математике не землян???

@dftony 2 ай бұрын

По факту, дихотомия..)) мощно, мощно))

@MrWhisper001 2 ай бұрын

Неплохо! Есть известный способ быстро вычислять знаки Пи, но на каждом шаге надо брать корень - с таким алгоритмом это вообще не проблема, неудивительно, что и миллион знаков можно посчитать очень быстро, там зависимость получается O(logN)

@at_one 2 ай бұрын

Неа, в лоб не получится. Корень из корня уже будет иметь гигантский знаменатель. А в том методе нужно считать: 48*√(2-√(2+√(2+√(2+√3)))) (Полупериметр вписанного 96-угольника). А Архимед как-то доказал, что он больше 223/71 (а описанный меньше 22/7).

@MrWhisper001 2 ай бұрын

@@at_one нет, в том-то и дело, что это наверно самый не продуктивный способ вычислять знаки Пи, которой продержался аж до Ньютона, но и через арксинусы - ряды Тейлора тоже давно не идеально получается - чтобы вычислить Пи на самом деле можно работать по похожему на этот, вавилонский алгоритм, когда на каждом шаге число верных знаков будет удваиваться - в общем не удивительно, что на самом обычном процессоре сейчас миллион верных знаков занимает секунды буквально.

@Hatulush 2 ай бұрын

А зачем была нужна 60ричная система исчисления ?хмм

@FastStyx 2 ай бұрын

А по-моему, корень извлекался гораздо проще. На прямой откладываем отрезок, из которого надо извлечь корень. Увеличиваем этот отрезок на единичную меру. Строим полукруг так, чтобы увеличенный отрезок был его диаметром. А потом из "точки продолжения", в которой исходный отрезок был добавлен к единичному, строим перпендикуляр до пересечения с полукругом. Длина полученного перпендикуляра - и есть квадратный корень, причём, точный, а не приближённый.

@reptotv6398 2 ай бұрын

Тяготеет к цепным дробям.

@MathKult 2 ай бұрын

Я так понимаю нельзя точно его посчитать таким способом? Ведь иррациональные числа нельзя записать дробью

@kudang6108 2 ай бұрын

А другим методом возможно точно посчитать иррациональное число?

@x_rays 2 ай бұрын

Как древние римляне умножали и делили большие числа в столбик?

@user-ys5wj9wi8w 2 ай бұрын

А что в этом сложного?

@x_rays 2 ай бұрын

@@kirillshkro MCCXXXVIII x MDCXCVII = ?

@user-wz7qo1iz9q 2 ай бұрын

@@x_rays ну так система та же десятичная(ну или пятеричная, как посмотреть). Не знаю как делали римляне, и с делением тут явно куда сложнее, чем с арабскими цифрами, но умножение же точно такое же и достаточно элементарное. Берём II, II*III=VI, II*V=VV, II*XXX=LX, II*CC=CD, II*M=MM. Берём V и сразу автоматом поднимаем на один ранг десятичных буквы соответственно V'DDLLLVVV(по счастью такую некорректную форму можно себе позволить, т. к. она однозначно читается), а пятеричные по формуле V = XXV, получаем V'DDLLLXXVVVV на этом этапе. И так по-тихоньку лепим монструозное количество слагаемых. Такими огромными числами в Риме, как произведение четырёхзначных чисел, не оперировали, поэтому данный пример несколько лишён смысла.

@user-tq6uv8ef6o 2 ай бұрын

Это по-моему, называется методом итераций. А может, методом исчерпания...

@Erdo12fg15 2 ай бұрын

А зачем им это нужно было?

@Echo33Rus 2 ай бұрын

у меня в 5 классе был калькулятор с бп, который знал только 4 действия и в инструкции как раз был описан этот способ вычисления корней

@FarmazonSK 2 ай бұрын

Древние - значит умные.

@Tiburtsy 2 ай бұрын

60? На самом интересном месте. -

@Ihor_Semenenko 2 ай бұрын

Итерационные методы древнего Междуречья! Стыбно должно быть школьникам, которые и простые дроби не умеют считать, ла что говорть, время по часам со тсрелками не смогут узнать. Еще бы про нахождение площад икруга у древних египтян было бы интерсно послшуать.

@user-sr5lw3bv9 2 ай бұрын

И у индейцев. У них наскальные чертежи уже были изображены с учётом числа пи в пропорциях

@XBOCT_MAMOHTA 2 ай бұрын

Мне кажется, не совсем правильно сравнивать древних ученых дядечек и современных малышей.)

@Ihor_Semenenko 2 ай бұрын

@@XBOCT_MAMOHTA Тут с вами согласен, у современного школьника больше возможностей получить знания - у древных дядечек такого изобилия не было.

@XBOCT_MAMOHTA 2 ай бұрын

@@Ihor_Semenenko и это тоже.)

@Ihor_Semenenko 2 ай бұрын

Блин, мне этот вопрос во сне приснился, помнид же, что есть хороший способ как можно эту формумлу получить, и тут во сне вспмонил:) √A = x + a A = (x + a)² A = x² + 2ax + a² x>>a => A ≈ x² + 2ax a = (A - x²) /2x √A ≈ x + (A - x²) /2x = (2x² + A - x²) / 2x = (x² + A) / 2x √A ≈ (x + A/x)/2

@user-uk8wt1fn7c 2 ай бұрын

Еще одно подтверждение, что т.н. "арабские цифры" совсем не арабские. Потому что на месте проживания арабских племен были ближневосточные цивилизации (месопотамия, шумерия, вавилон) которые использовали шестидесятиричную сис-му счисления. А якобы "арабские цифры" это десятиричная система счисления, которую арабы просто переняли у индусов, а вовсе не изобрели сами. Кстати, отголоски той шестидесятиричной с.с. есть на часах. Подумайте, 1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут. День 12 часов. Эти числа кратны к 60.

@Maks_888 2 ай бұрын

Так-то они называются арабскими, но цифры к арабам «пришли» из Индии!

@user-es6hc4qk3t 2 ай бұрын

почему тебе так не нравится слово система?

@user-uk8wt1fn7c 2 ай бұрын

@@Maks_888 да, я в курсе. Я не уточнил про Индию, но объяснил почему у арабов не могли возникнуть.

@Achmd Ай бұрын

арабскими они называются только у нас и только потому, что европейцы их переняли у арабов. немного видоизменив (повернув против часовой стрелки на 90 градусов). сами арабы не называют их арабскими и они отличаются от наших цифр. тут ничего подтверждать не надо. все и так знают, что арабы используют индийские цифры.

@user-uk8wt1fn7c Ай бұрын

@@Achmd ну это вы понимаете, а большинство обывателей на территории снг думают что цифры именно арабские. Более того, я как то общался с одной кавказской "гюльбинэ", она мне доказывала что именно Ислам дал миру эти цифры.

@vladstep1655 2 ай бұрын

А почему не вавилонцы ?

@diman-diman 24 күн бұрын

Город Вавилон - жители вавилонцы. Страна Вавилония - жители вавилоняне.

@ramzes_3 2 ай бұрын

Нафига, а главное зачем древним людям нужно было пересчитывать прямойгольник в квадрат?

@ikitsar459 2 ай бұрын

Например, нужно построить квадратный храм с заданной площадью пола. Ну а математикам пофигу, нужно это или нет, им математика интересна сама по себе. Они просто удовольствие получали.