Найдем интеграл из дифференциального уравнения!

Рет қаралды 8,780

3 жыл бұрын

В этом видео найдем сложный несобственный интеграл от e^(-x^2-1/x^2), сведя его к решению простого дифференциального уравнения, используя при этом излюбленный прием Фейнмана: дифференцирование по параметру под знаком интеграла.
Интеграл от e^(-x^2) найден в этом видео: • Интеграл Эйлера-Пуассо...
А здесь еще 2 видео, в которых используется трюк с дифференцированием:
• Определенный интеграл ...
• Интеграл с арктангенсо...
Если у вас есть возможность, поддержите канал материально,
карта Тинькофф: 5536 9140 7597 3911

Пікірлер: 49

@alexandermorozov2248 10 ай бұрын

Лишний раз убеждаюсь, что Ричард Фейнман - один из лучших умов ХХ века 🤩

@Ded-Lesha-11949 2 ай бұрын

Вообще то этот метод придумал Лейбниц, а Фейнман его часто использовал, решал многие интегралы, которые другими методами не решались.

@user-po6wl4ib4x 4 ай бұрын

UVAJOUKHA!!!!!PROSTO SUPER!!!!

@user-iq3tg8zp3r 3 жыл бұрын

Как всегда превосходно. Спасибо Вам за Ваш труд

@VSU_vitebsk 3 жыл бұрын

Браво! Без лишней воды, но все прозрачно и понятно

@AlexeyEvpalov 5 ай бұрын

Великолепное решение. Большое Спасибо за интересное видео.

@canis_mjr 2 жыл бұрын

Находить интеграл через решение дифференциального уравнения, получившегося после дифференцирования по параметру под знаком интеграла - просто балдёж

@The-qj5zv 2 жыл бұрын

Классно! Красивейший интеграл будет при t = 1/2.

@user-fu9sq9hi4j 5 ай бұрын

Спасибо. Реально крутой трюк

@slavinojunepri7648 3 күн бұрын

Fantastic work

@user-wy3mr6nj6w 3 жыл бұрын

Потрясающе!

@igorratnik2357 10 ай бұрын

Спасибо. Великолепно!

@NikitaBotnakov 10 ай бұрын

Красота! Впрочем, как всегда

@a.osethkin55 2 жыл бұрын

Огонь

@sabe11us 3 жыл бұрын

Очень полезный и неотъемлемый метод) Особенно для интегралов Фурье и преобразованиях

@user-md9gt3jy5j 3 жыл бұрын

Всегда было интересно: где вы берёте такие балдёжные примеры? Из книжек, или с зарубежных каналов по математике?

@skatina2477 3 жыл бұрын

В задачнике Демидовича вроде такое было. Только без Антидемидовича, они не кажутся такими балдежными, как правило))

@Hmath 3 жыл бұрын

В книгах есть примеры, на других каналах, конечно, тоже смотрю, ну и еще есть справочники с интегралами (в них есть интегралы с ответами и по ним хотя бы понятно, что конкретный интеграл имеет красивый ответ, а дальше уже можно пробовать его найти).

@timurkash Жыл бұрын

А еще есть Градштейн-Рыжик

@Sensibler2019 3 жыл бұрын

Вот что трюк животворящий делает

@alternativereductor-19-98 3 жыл бұрын

Интегральные фокусы

@Mathematics_and_physics 3 жыл бұрын

Оаааааа Как это красиво... Спасибо за видео. Но вопрос. Мы же изначально и так знаем у(0). И необходимо просто решить задачу Коши

@Hmath 3 жыл бұрын

даа, но в середине, когда делаем замену, используем, что t>0 (там нижний предел -> +бесконечности, если t>0), поэтому и нужно, строго говоря, рассматривать потом предел при t->+0...

@Hmath 3 жыл бұрын

ну там же весь смысл решения, чтобы как-то прийти обратно после дифференцирования к тому же интегралу (для этого пределы в интеграле должны получится от 0 до бесконечности). Когда делаем замену: при x->+0 u->+бесконечности только если t>0 (так что в этом месте, строго говоря, используем факт, что t>0)

@Mathematics_and_physics 3 жыл бұрын

@@Hmath Точно! Спасибо.

@user-nt7cg6ok6f Жыл бұрын

Решил пересмотреть старые видео) Через призму нового опыта увидел элегантное и более простое для понимания решение) Однако, нужно *заметить что* ... J = S[0, +oo) e^-(x² + 1/x²) dx Замена: x = 1/t. S(+oo, 0] e^-(t² + 1/t²) d(1/t) = S(+oo, 0] - e^-(t² + 1/t²) /t² dt = Замена t = x S[0, +oo) e^-(x² + 1/x²) /x² dx Итого теперь 2J = S[0, +oo) e^-(x² + 1/x²) (1 + 1/x²)dx *Заметим что* d(x - 1/x) = 1 + 1/x² (x - 1/x)² = x² + 1/x² - 2 Замена u = x - 1/x 2J = S[-oo, +oo) e^-(u² + 2) d(u) = e^-2 * S[-oo, +oo) e^-u² du А это уже интеграл Пуассона) 2J = e`² √π J = √π / 2e

@Hmath Жыл бұрын

да, я тогда знал про этот способ (сначала именно им решил, а потом мне попался тот, что в видео), он мне показался значительно интереснее: тут приводится к диф. уравнению, что более необычно и расширяет горизонты :) а в этом просто очередной раз серия замен :) я другой похожий сделаю потом этим способом ради разнообразия ;)

@user-lr7rw6lk4f 10 ай бұрын

Было бы неплохо, если бы мы знали откуда и зачем возникают те или иные формулы и интегралы.

@Dmitry_Shuvalov 5 ай бұрын

Это уже часто видно в физике, интеграл Эйлера-Пуассона нужен для вывода функции распределения Максвелла, например

@endlessvd 3 жыл бұрын

Зачем я это смотрю, если недавно сдал ЕГЭ и интегралы изучал на очень базовом уровне

@northern_man_ Жыл бұрын

Подскажите, пжл, почему мы условились считать t>0?

@Hmath Жыл бұрын

там, где делается замена: u=t/x пределы интегрирования получатся от 0 до +бесконечности, только если t>0

@northern_man_ Жыл бұрын

@@Hmath понял, спасибо

@alexandermorozov2248 10 ай бұрын

А если принять, что t

@karomusaelyan338 Жыл бұрын

А можете решить этот диференциальное уравнение f'(x)=1+xf(x) но его можно решить с рядами

@Hmath Жыл бұрын

довольно интересное. может когда-нибудь сделаю такое видео :)

@karomusaelyan338 Жыл бұрын

Когда я считал этот интеграл Интеграл от 0 до бесконечность e^(-x²)sin(x) , с трюком Фейнмана надо било решить этот уравнение, и меня удалось решит её.

@clitor2009 Жыл бұрын

В чем логика решения? Как догадаться какой из десятков способов подойдет?

@Hmath Жыл бұрын

если бы для интегралов существовал такой же алгоритм нахождения, как для производных (пару правил, а дальше делай одни и те же шаги), то не было бы никакой интриги, загадки и красоты и нечего было бы и рассказывать :) Поэтому у меня куча разных интегралов на канале и ни одного видео с производной.

@Vitechka22 4 ай бұрын

@@Hmath Помню как на первом курсе в выводили формулы диверенцирования из определения - предел отношений приращения функции и аргумента. Потом вывод формул правил дифференцирования, то было прям вау! И основной вау был в том что Ньютон идею о производных - отношение приращений бесконечно малых вытащил из богословия (если можно так сказать), может из рассуждений о бесконечности. А интегрирование - это не просто "площади" и "объемы". Это предсказания будущего!!! и именно это больше всего поразило его современников. Простой пример - функция скорости и уравнение движения - предсказывается положение точки в будущем, если известна функция скорости ! Кстати, вроде именно так и ориентируются подлодки.

@skatina2477 3 жыл бұрын

А разве нет никаких проблем от того, что мы берем частную производную, а не полную?

@Hmath 3 жыл бұрын

тут одна переменная, по которой дифференцирование (t), а другая - переменная интегрирования. Посмотрите подробнее в книгах про дифференцирование интеграла по параметру.

@EL-so3ou 3 жыл бұрын

@@Hmath А можно книжку посоветовать, где эта тема хорошо освещена? Буду очень благодарен)

@Hmath 3 жыл бұрын

Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления». Сейчас любят говорить, что это устаревшая книжка, но в ней очень много разных примеров (скорее всего и этот есть, но точно не помню).

@alexandrscience3473 2 жыл бұрын

@@Hmath А как вы к Зоричу относитесь ?

@Hmath 2 жыл бұрын

никак не отношусь, не читал. Когда я учился, мне как-то было не до книжек по мат.анализу - обходился лекциями. Книги по мат.анализу открыл впервые уже через много лет, после того, как закончил учится и интересовали меня какие-то конкретные вопросы, красивые примеры, результаты к которым ведут теоремы, а не строгие их доказательства и фундаментальные основы, на которых они держатся. И мне кажется, Зорич как раз не про задачки, а про основы.

@alexandermorozov2248 10 ай бұрын

Почему так важно уточнять, что t>0?

@Hmath 10 ай бұрын

при замене x->+0 u->+бесконечности (если t>0) иначе было бы минус бесконечность (если t

@alexandermorozov2248 10 ай бұрын

@@Hmath иными словами, при отрицательных t несобственный интеграл расходится :)