Найдем интеграл через дифференциальное уравнение!

Рет қаралды 9,720

2 жыл бұрын

В этом видео будем находить несобственный интеграл от cos(x)*sin(x)/(x*(1+x^2)), используя для этого дифференциальное уравнение.
В этом видео найден интеграл от sin(a*x)/x: • Интеграл Дирихле: sin x/x
Здесь найден интеграл от cos(x)/(1+x^2) через вычеты: • Несобственный интеграл...
Здесь рассмотрен алгоритм решения однородных линейных диф. уравнений с постоянными коэффициентами: • Однородное линейное ди...
Если у вас есть возможность, поддержите канал материально,
карта Тинькофф: 5536 9140 7597 3911

Пікірлер: 46

@AC-we9oq 2 жыл бұрын

Смотрел как детектив: все действующие лица прописаны, обстоятельства и мотивы указаны, порядок их взаимодействия известен. В финале, мисс Марпл называет имя.

@AlexeyEvpalov 4 ай бұрын

Оригинальный подход. Красивое решение. Большое спасибо за полезное видео.

@VSU_vitebsk Жыл бұрын

Диффурщики оценят. Автор - большой молодец!

@user-dr2mz1sm8e 2 жыл бұрын

Красивая задача и изящное решение. Как всегда - браво автору!

@user-cz5vq3lx3s 10 ай бұрын

Здорово, очень четко и красиво. Успехов и всяческого благополучия.

@user-kk3el1mj7k 8 сағат бұрын

Замечательно!

@nikitaorel7444 Жыл бұрын

Как всегда великолепно!!!

@SHIZ584 2 жыл бұрын

Спасибо!

@canis_mjr 2 жыл бұрын

Оригинальный подход. У меня сразу возникло желание найти все интегралы школьными методами))

@user-bd6yf9ds9k 2 жыл бұрын

спасибо за оригинальное решение!

@rizvanwamxalov2264 Жыл бұрын

Спосибо, интересно

@user-wl7jo5sv6v Жыл бұрын

Не математик, химик, но красиво, красиво

@KonstantinDx 17 күн бұрын

Интересный метод, впервые вижу. А есть какой-то способ углядывать подобные трюки в других интегралах? Интуитивно кажется, что множество таких функций не очень большое

@Hmath 16 күн бұрын

мне кажется, только опытным путем можно понять где подходит, а где нет :)

@timurkash 5 ай бұрын

Круто! Оригинально! Даже не знаешь чем это все закончится! А ответ получается изящным и более общим!!! Слава производным!

@vladislavziyangulov7490 Жыл бұрын

Трансформацией Лапласа тоже довольно интересно выходит: L{y} = π/2 × 1/(s(s+1)) y = π/2 × (1 - e^(-t))

@Hmath Жыл бұрын

да, до преобразования Лапласа, надеюсь, когда-нибудь дойду :)

@user-uw5dh6oh9y 6 ай бұрын

Можно было остановиться на первой производной по t - там получается интеграл Лапласа с косинусом, который мы уже знаем

@qwertmix111333 Жыл бұрын

Спасибо за видео. Есть информация о сумме ряда 1/n^n?

@Hmath Жыл бұрын

есть. она равна интегралу :) kzfaq.info/get/bejne/ebeKntSqs6fVaKM.html

@barackobama2910 2 жыл бұрын

А вопрос можно? Точку 0,0 обойти сверху по окружности (интеграл по ней стремится к нулю при уменьшении радиуса) а дальше простой вычет первого порядка, не ?

@Hmath 2 жыл бұрын

прикреплена в описании ссылка на видео, где использовался такой метод. Здесь рассмотрен другой. Ну а так, если не доказывать, что интегралы по дуге стремятся к нулю, то тоже быстро. А если доказывать, то уже нет :)

@wanterism 2 жыл бұрын

А это функция где-то используется(физика, например)? Обычно такие функции с нестандартным решением являются важными.

@user-gv5zh5jv9m Жыл бұрын

Да примерно такие интегралы в оптике постоянно вылезают

@user-xk6ih8qs1m 10 ай бұрын

Никогда не понимал, почему в интегралах, сожержащих тригонометрию, выплывает экспонента. С появлением π я ещё смирился. Почти смирился😊 а с е... Еще нет. Чудеса сплошные!

@snackky3247 Жыл бұрын

Решение красивое, но всё-таки для перестановки производной и интеграла нужно показать равномерную сходимость интеграла, а то это далеко не всегда может сработать. Автор конечно обратил внимание, что делал это нестрого, но доказать можно было, не выглядит как что-то слишком сложное

@andreybird6269 2 жыл бұрын

А когда можно применять трюк Феймана? Когда я пытался найти им интеграл Дирехле на всей прямой, ничего не находилось. Какие именно условия для его использования?

@Hmath 2 жыл бұрын

по крайней мере интеграл должен сходиться (и после дифференцирования тоже). А так почитайте подробнее в книгах по мат. анализу. например: Фихтенгольц Г.М. - Курс дифференциального и интегрального исчисления (т. 2), стр. 712 Смирнов В.И. - Курс высшей математики (том II) стр. 252

@canis_mjr 2 жыл бұрын

Неопределенный интеграл можно найти таким способом?

@Hmath 2 жыл бұрын

нет. Но если можно найти от функции неопределенный интеграл, то и мудрить ничего не нужно :)

@MinecraftForever_l 2 жыл бұрын

Улыбнуло при переходе к диффуру)

@user-yl4xi3ce7x Жыл бұрын

Где вы такие задачи берёте?

@Hmath Жыл бұрын

Есть справочники интегралов :)

@user-xk2vb8qv3m Жыл бұрын

а как так после дифференцирования интеграл расходится? ну то-есть, если трижды возьмем производную итоговой функции, мы что, получим конечное значение для расходящегося интеграла? я так понимаю нет. так в чем прикол?

@Hmath Жыл бұрын

если возьмем 3ую производную, полученный интеграл будет расходится, для него не должно получится конечного значения. Не в любом случае можно переставлять дифференцирование по параметру и интеграл. Если был сходящийся интеграл, а после дифференцирования - расходящийся, значит очевидно нельзя было так делать :) По хорошему, есть критерии, которые гарантируют, что можно дифференцировать и их нужно проверять, я это опустил :)

@user-xk2vb8qv3m Жыл бұрын

@@Hmath это я понимаю да. но меня смутило что раз функция итоговая выражается через значение интеграла (между интегралом и функцией можно равенство установить) то беря производную от самой функции, мы должны в теории получить и значение интеграла, что и происходит для первых двух производных. но вот на третьей это уже не работает вдруг

@user-xk2vb8qv3m Жыл бұрын

@@Hmath или тут как с рядами, типо значения совпадают только в некоторой области, а тут до 3 производной?

@Hmath Жыл бұрын

да, совпадает. пока интеграл сходится. С рядами так же ведь: можно их дифференцировать почленно, но не всегда. В какой-то момент может получится расходящийся ряд. Т.е равенство справедливо, пока сходится ряд (или тут интеграл)

@user-xk2vb8qv3m Жыл бұрын

@@Hmath спасибо за ответ!!

@user-tf1pp2lg8w 2 жыл бұрын

Какой смысл в этих решениях если всё это делает компьютер за пару секунд

@Hmath 2 жыл бұрын

можно написать еще более универсальный комментарий: "какой смысл делать то, что вы делаете, если кто-то другой (здесь можете вставить: человек, машина, компьютер) это сделает лучше?" обязательно пишите подобный комментарий на любом канале и под любым видео!

@canis_mjr Жыл бұрын

Компьютер за пару секунд аналитически вычисляет такой интеграл? Компьютер может вычислить аналитически интеграл, под интегральная функция которого не имеет первообразной?

@Hmath Жыл бұрын

www.wolframalpha.com/input?i=integral+cos%28x%29*sin%28x%29%2F%28x*%28x%5E2%2B1%29%29+from+0+to+inf вообще, конечно, может. Но видео не о том, кто и что может быстрее :)

@canis_mjr Жыл бұрын

@@Hmath этот результат проверять как? Я использую вольфрам как раз для проверки. Сам же часто сталкиваюсь с тем, что матлаб, например, тупо не верно проводит численное интегрирование. Все математические алгоритмы приходится реализовывать вручную. Особенно доставляют блоки преобразование кватернионов/поворотов в симулинке, поэтому реализовал всё самостоятельно.

@NikitaBotnakov 9 ай бұрын

А какой смысл вам писать этот комментарий, если есть тысячи комментаторов, которые пишут значительно быстрее и толковее? Какой смысл в популярных видео искать принципиально новые интегралы, место которым в научных статьях? Зачем в школе учат классической механике вместо того, чтобы сразу обсуждать открытые вопросы теории относительности? И главный вопрос: где логика?:)