✓ Неравенство треугольника

✓ Неравенство треугольника | Ботай со мной

Рет қаралды 35,508

Жыл бұрын

Сегодня обсудим два самых базовых неравенства в геометрии:
- против большей стороны лежит больший угол;
- любая сторона меньше суммы двух других сторон.
В этом учебном году я веду три курса:
✔ «Подготовка к ЕГЭ по профильной математике с 0 до 70 баллов (10-11 класс)»: trushinbv.ru/ege70
Подойдёт и десятиклассникам, которые хотят уже за год до ЕГЭ стабильно решать на 70+, и одиннадцатиклассникам, которые почти ничего не знают, но хотят за год выйти на приличные баллы. На курсе освоим как всю тестовую часть, так и многие задачи из сложной части ЕГЭ.
✔ «Подготовка к ЕГЭ по профильной математике с 60 до 100 баллов (11 класс)»: trushinbv.ru/ege100
Для тех, кто уже знает математику на базовом уровне, и хочет за год освоить её на 90+. Там, в основном, будем учиться решать задания из сложной части ЕГЭ, но залезем немного и в некоторые содержательные задания из тестовой части.
(Если у одиннадцатиклассника есть достаточная мотивация, можно параллельно учиться сразу на двух этих курсах - trushinbv.ru/egepack - их программы согласованы между собой)
✔ «Подготовка к перечневым олимпиадам по математике (10-11 класс)»: trushinbv.ru/olymp
В первую очередь этот курс для одиннадцатиклассников, которые освоили стандартную школьную программу хотя бы на «четыре», и хотят за полгода подготовиться к олимпиадам типа Физтех, Ломоносов, ОММО и ПВГ, чтобы попробовать зацепиться за диплом хотя бы в одной из них.
Кроме того, доступны мои прошлогодние курсы в записи:
✔ «Подготовка к ОГЭ»: trushinbv.ru/oge9
Это запись большого годового курса, который я провел пару лет назад. В этом году у меня не будет новых курсов для 9 класса.
✔ Мини-курсы по отдельным заданиям ЕГЭ:
- Теория вероятности с нуля и до ЕГЭ (Задания 3 и 4): trushinbv.ru/egeTV
- Уравнения и неравенства (Задания 12 и 14): trushinbv.ru/egeAL
- Стереометрия (Задание 13): trushinbv.ru/egeST
- Экономические задачи (Задание 15): trushinbv.ru/egeEC
- Планиметрия (Задание 16): trushinbv.ru/egePL
- Задачи с параметром (Задание 17): trushinbv.ru/egePR
- Теория чисел (Задание 18): trushinbv.ru/egeTC
✔ Мини-курсы по перечневым олимпиадам:
- Олимпиада Физтех: trushinbv.ru/fizteh
- Олимпиада ОММО: trushinbv.ru/ommo
- Олимпиада Ломоносов и ПВГ: trushinbv.ru/lomonosov
Другие курсы Фоксфорда: trushinbv.ru/courses
Репетиторы Фоксфорда: trushinbv.ru/coach
Магазин мерча: trushinbv.ru/shop
Книжка от Трушина: trushinbv.ru/book
Как поддержать канал:
Регулярная помощь (Boosty): boosty.to/trushinbv
Регулярная помощь (KZfaq): / @trushinbv
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Разовая помощь (Ю-money, бывшие Яндекс.Деньги): yoomoney.ru/to/410011017613074
Разовая помощь (PayPal): paypal.me/boristrushin
Разовая помощь (Donation Alerts): www.donationalerts.com/r/bori...
Личный сайт: TrushinBV.ru
вКонтакте: ege_trushin
Facebook: / trushinbv
TikTok: / trushinbv
Twitter: / trushinbv
Instagram: / trushinbv
Telegram: t.me/trushinbv
KZfaq: / trushinbv

Пікірлер: 499

@konstantinkozlov7691 Жыл бұрын

Хорошее доказательство, старый анекдот напомнило - Изя, где вы берёте деньги? - В тумбочке. - А кто их туда кладёт? - Жена моя, Сара. - А Сара где берёт деньги? - Я ей даю. - А вы где берёте деньги? - Я же вам говорю: в тумбочке!

@giorgiocopchini7318 Жыл бұрын

Путь с работы до дома всегда короче чем если заезжать в магазин за продуктами. (Треугольник: работа, дом, магазин)

@alxsam505 Жыл бұрын

Это лучшее доказательство, представленное на данный момент в комментариях :-))

@Zlobny-Kotyara Жыл бұрын

@@alxsam505 А главное, практическое.

@AxanX Жыл бұрын

А если магазин по пути? 🤣🤣🤣

@Zlobny-Kotyara Жыл бұрын

@@AxanX Чисто геометрически - это случай из ряда вон выходящий. Но, позвольте, мы же в магазин заходим, тратим там шаги и время.

@giorgiocopchini7318 Жыл бұрын

@@AxanX тогда треугольник вырождается, все точки на одной прямой. Но сумма 2х сторон всё равно не меньше третьей. (орфографию подправил)

@user-zq6bz6gm2v Жыл бұрын

Показывая такие "Фокусы" своим студентам на лекциях по матану, я называла их " математический вечный двигатель".

@user-zg2bx5cb3d Жыл бұрын

04:50 Кольцевое, оно же циркулярное доказательство: Трушин крутой, потому что знает всё. Трушин знает всё, потому что он крут

@MrGrig Жыл бұрын

Может цикличное?) или даже рекурсивное

@user-zg2bx5cb3d Жыл бұрын

@@MrGrig оно именно что рекурсивное, поэтому циркулярное, а не циклическое

@-wx-78- Жыл бұрын

Может две равносильные теоремы? Доказав одну из них независимым способом, получаем вторую в подарок.

@pauljet. Жыл бұрын

@@-wx-78- ага 2 по цене 1...

@sdf0as9f0a9sda0s Жыл бұрын

не хватает третьего утверждения.... а третье утверждение.... трушин крут и знает всё потому что хорошо учился ))

@q_lm2571 Жыл бұрын

- Что такое интеграл? - Интеграл - это площадь. - А что такое площадь? - Площадь - это интеграл. Так и в этом случае. Доказательства ссылаются друг на друга, и в итоге таким образом нельзя честно доказать оба этих утверждения. Нужно еще одно доказательство.

@fullfungo Жыл бұрын

Не доказательство, а определение

@q_lm2571 Жыл бұрын

@@fullfungo в случае с интегралом действительно нужно определение, а в случае с этими двумя утверждениями - ещё одно доказательство.

@user-ol6qq7kw7x Жыл бұрын

Интеграл это предел сумм Дарбу, чел

@dibehemoth401 Жыл бұрын

Помню, препод сказал, что если услышит на экзе, что интеграл - это площадь, выше трёх в самом лучшем случае не светит. хД

@AcTpaxaHeu Жыл бұрын

определённый интеграл. и его геометрический смысл.

@Investrum.Gaming Жыл бұрын

Спасибо большое. Один из... а может и единственный канал, где подробно разбираются простые вещи на понятном языке. 👏

@user-gf9nj4qz2p Жыл бұрын

Лучший математик ever. Обожал тебя смотреть, ещё когда к ЕГЭ готовился

@Epsilonic1987 Жыл бұрын

В моем детстве неравенство треугольника доказывали методом от противного: допустим, что это не так, тогда построим такой треугольник с помощью циркуля и линейки.... И оказывается, что две окружности могут пересечься только если сумма их радиусов меньше, чем расстояние между центрами) Спасибо за видео.

@Zlobny-Kotyara Жыл бұрын

@Epsilonic1987 Хотел бы я посмотреть на это. Наверное, сумма их радиусов должна быть больше?

@Epsilonic1987 Жыл бұрын

@@Zlobny-Kotyara Да

@SorokinAU Жыл бұрын

большое спасибо за ваш труд)

@alexd2632 Жыл бұрын

Борис, доброго времени суток! Меня зовут Александр. Прежде всего хочу сказать, что Вы делаете очень важное, полезное и нужное дело! Огромное Вам спасибо! 🙏 Я давно не учусь в школе, и очень жаль, что в мою бытность школьником не было такого канала. Но, несмотря на возраст, люблю порешать задачки для разминки ума :) Недавно моей племяннице в школе задали задачу по геометрии. Бился над решением несколько дней. В конечном счете решил, благодаря этому видео и некоторым другим про треугольники, которые натолкнули на идею решения. А задача такова: дан произвольный треугольник АВС. Угол В равен 30 градусам. Основание АС в 2 раза меньше стороны АВ. Найти угол С? Сложность состояла в крайне ограниченном инструментарии, который сводился к знанию суммы углов треугольника, внешнего угла треугольника, свойств высот, медиан и биссектрис треугольника. Про прямоугольные треугольники и их свойства моя племянница знает только, что они существуют! Следовательно, использовать теорему о катете напротив угла 30 градусов нельзя (если ее знать, задача решается в 1 действие). Решить мне ее удалось через дополнительное построение еще одного треугольника с углом при вершине В 30 градусов и проведением высоты из вершины А к стороне ВС и ее продлением до стороны ВD нового треугольника. В результате пришел к противоречию, что треугольник между высотой и основанием АС не может существовать, и высота совпадает с основанием АС. Мое решение меня устраивает и даже вполне симпатично, однако, инструментария Заранее спасибо!

@ewgeniypanarin1434 Жыл бұрын

Шевелюра супер ! Давно Ваши видео не смотрел. Лайк .

@user-zg2bx5cb3d Жыл бұрын

О, годнота наступила Трушин пилит годноту!

@wietoxill Жыл бұрын

Это аксиома

@user-im9hb5zc6n Жыл бұрын

Борис, здравствуйте! Ждëм новых интересных роликов!

@user-ig8de5jf6h Жыл бұрын

А нам в школе доказывали теорему про неравенство сторон чисто арифметически Ну есть если бо́льшая сторона равна 10, а две другие в сумме равны 10, то они просто образуют прямую, ну очевидно, что если сумма

@user-wo6rf8pd7r Жыл бұрын

А пока вы отвернетесь, возьмут и дотянутся!

@trigeminalneuralgia9889 Жыл бұрын

хуевое доказательство это когда используется слово "очевидно", нет, не очевидно епт

@user-ig8de5jf6h Жыл бұрын

@@trigeminalneuralgia9889 я сам ненавижу, когда что то доказывают этим словом Но в данном случае если они впритык друг другу, а если взять короче разве не само собой они не дотянутся друг до друга?

@user-vl7zq6qm3i Жыл бұрын

то, что вы привели - это даже не доказательство, а просто какое-то взмахивание руками. Легче было просто сказать "очевидно"))

@user-ig8de5jf6h Жыл бұрын

@@user-vl7zq6qm3i как не доказательство? Если три отрезка физически треугольник не могут составить, разве это не доказывает, что такого не бывает?

@Zejgar Жыл бұрын

Напоминает доказательство о равенстве площади круга произведению квадрата его радиуса и числа пи, с которым тоже можно оказаться в цикле, только несколько более длинном. Спасибо!

@vasily_maths Жыл бұрын

А как кстати вы это доказываете, если число пи определяется как отношение длины окружности к диаметру?

@servenserov Жыл бұрын

📏📐 Даже такие, казалось бы элементарные вещи в изложении Бориса Трушина выглядят академично и красиво и почему-то мне, весьма пожилому человеку приносят несказа́нное удовольствие. Видимо, учителя были хорошие. *Спасибо!*

@user-oy9nk6ux4s Жыл бұрын

Очень интересно узнать доказательство признаков равенства треугольников по - честному, с использованием аксиом. Ведь во всех школьных учебниках список аксиом разный (некоторые факты берутся за аксиомы для простоты) и доказательства не строгие. И вообще интересно было бы увидеть список аксиом (5 штук?) и с их помощью по - честному доказать базовые теоремы 7 класса. Те же признаки равенства, существование и единственность перпендикуляра, признак параллельности итд.

@vasily_maths Жыл бұрын

Если хотите совсем строго, то читайте Гильберта. И там будет значительно больше, чем пять аксиом.

@Investrum.Gaming Жыл бұрын

Ваши "Почему?" мне очень нравятся! 👍

@Progressor1027 Жыл бұрын

Таким образом. Из всего здесь сказанного вытекает следующая методика современного преподавания геометрии. 1) Выставляется некое положение как правильное (неправильное) и не очевидное. Его называют теоремой. 2) Предлагается "доказать" верность (неверность) этой теоремы. Но что, собственно, означает доказать? На деле это означает найти способ и пути получения данного положения как чего-то неизвестного ранее из известных предпосылок, т.е. выяснить вопрос, из чего, как именно и какими путями это положение было (могло быть) получено первооткрывателем данного положения и пройти этот путь первооткрывателя заново и самостоятельно, а тем самым и почувствовать себя первооткрывателем. Ведь ясно, что сами теоремы не могут являться в готовом в виде в "юпитеровы головы". Так, напр., соотношение сторон в прямоугольном треугольнике не явилось в готовом виде Пифагору во сне, как "теорема Пифагора", а было им получено из отношения подобия прямоугольных треугольников, отношения, созданного им путем разбиения прямоугольного треугольника высотой. Сегодня, исходя их этой предпосылки, любой школьник может почувствовать себя Пифагором, если ему поставить задачу не доказывать "теорему Пифагора", а найти соотношение сторон в любом прямоугольном треугольнике. Тогда всякое доказывание сразу и решительно уйдет на задний план, а сама логика обнаружит себя тем, чем она является в действительности: прежде всего путем движения от известного к неизвестному, чему-то новому, верному.

@DmitryNetsev Жыл бұрын

Отвечать будет господин товарищ Атанасян!

@sportik292 Жыл бұрын

ТОП!

@z4777 Жыл бұрын

Непривычно видеть Бориса с новой причёской 😏

@user-wc7gb9ll5n Жыл бұрын

Добрый вечер, Борис Викторович. Буквально пару дней назад состоялся региональный этап всеукраинской олимпиады школьников по математике. Хотелось бы увидеть на канале разбор задачи 4.1 из 10 класса (про лампочки и выключатели), если у вас конечно же будет время и интерес к этому. Задача показалась мне довольно симпатичной.

@sdf0as9f0a9sda0s Жыл бұрын

на скорости 2x мой мозх не успевал следить в этом видео за вашими рассуждениями, пришлось сделать помедленнее )))

@alxsam505 Жыл бұрын

Хмм...разве не достаточно того, что кратчайшее расстояние между двумя точками это прямая? Это к доказательству утверждения, что любая сторона треугольника не больше суммы двух других сторон. И это работает и в неевклидовой геометрии - т.е. у нас нет необходимости в том, чтобы сумма углов треугольника равнялась 180 градусам.

@benismann Жыл бұрын

Это интересная идея, надо запомнить

@alxsam505 Жыл бұрын

@@benismann К сожалению, это утверждение не является аксиомой. И даже не определением прямой. Т.е. данное утверждение нуждается в доказательстве. Для меня это неожиданная новость, никогда не задумывался о том, почему кратчайшее расстояние между двумя точками это прямая. Очевидно жеж :-))

@user-jd3lq6qy2g Жыл бұрын

Так утверждение что кратчайшее расстояние между двумя точками это прямая, по сути просто переформулировка неравенства треугольника

@user-ig8de5jf6h Жыл бұрын

А вот на счет неевеклидовой вы не правы, там кратчайшим расстоянием может быть и не прямая

@user-ol6qq7kw7x Жыл бұрын

@@alxsam505 можно векторами доказать

@eduardtsuranov712 Жыл бұрын

Удивился, когда увидел, что не подписан... :) Спасибо!!!

@opschpiglung Жыл бұрын

Я хоть и не школьник давно, а даже на 1 день старше Бориса, но уверен, что нельзя тезис Б вывести из тезиса А после того, как вывел тезис А из тезиса Б. А сейчас внимание на экран, послушаем, как оно на самом деле!

@opschpiglung Жыл бұрын

Блин, даже буквы А и Б как у меня, ну что ты будешь делать! А если серьёзно, хотелось бы видео вот про что. Есть аксиомы и правила логики. Из утверждения А выводим с помощью их утверждение Б. Хотелось бы умные слова про аксиомы послушать, откуда мы их взяли и как это вообще работает? Т.е., мы говорим, что вся геометрия работает при условии, что работает определённый набор аксиом? В конечном итоге, всё на вере зиждется? Или как?

@nnr75 Жыл бұрын

@@opschpiglung Вся геометрия держится на нескольких аксиомах, из которых уже доказываются теоремы.

@opschpiglung Жыл бұрын

@@nnr75 Именно об этом я и говорю. А верность аксиом откуда берётся? Как по мне, этот вопрос куда глубже геометрии как таковой и уже куда-то в сторону позитивизма отправляет вдумчивого подписчика.) Но Борис это сможет объяснить, думаю, лучше, чем я.

@bulka_c_koriceu8723 Жыл бұрын

@@opschpiglung, по поводу аксиом есть хороший ролик у веритасиум, который Vert Dider на русский перевели. Рекомендую посмотреть

@bulka_c_koriceu8723 Жыл бұрын

@@opschpiglung, "слабое место математики" называется

@warrobotsa3391 Жыл бұрын

Это берётся из аксиомы, в которой точка лежит на отрезке и сумма этих двух маленьких отрезков, на которые разбила их точка, равна данному отрезку. На отрезке АВ написали точку С, АС+СВ=АВ

@qBinom Жыл бұрын

Спасибо, я как раз веду кружок у 7 класса и им будет полезно подумать об этом после соответствующих тем

@yakovlichevau Жыл бұрын

Большое спасибо за видео! Хочу предложить идею для нового видео: кратко обсудить порядок теорем 7-ого класса (чтобы было понятно, что сначала, ссылаясь на аксиомы, доказывают признаки равенства, затем признаки и свойства равнобедренного треугольника, а только затем "против большей стороны лежит больший угол" и неравенство треугольника). Возможно, такое упорядочивание позволит лучше понять основы, на которых дальше доказываются теоремы 8-9 классов.

@sergeypetrov5446 Жыл бұрын

Возьмите задачник Шеня по геометрии.

@yakovlichevau Жыл бұрын

@Sergey Petrov спасибо за рекомендацию! 👍

@maths.for.homies Жыл бұрын

Дякую, гарно

@user-uh2fu3qb5k Жыл бұрын

Ну да, такое в логике называется "порочным кругом". К последнему доказательству: нужно знать факт о внешнем угле (доказывается через сумму углов) => нужно знать факт о сумме углов (доказывается через равенство накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей) => нужно знать последний факт (который тоже нужно доказать). И в итоге нам придётся некоторые утверждения признать не требующими доказательства, т. е. аксимомами.

@AbaCaba-jh7ty Жыл бұрын

Особенность (проблема или преимущество) школьной математики состоит в том, что она рассчитана на школьников. Основы алгебры/геометрии даются в 7 классе (13 лет), когда ещё очень сложно работать и с определениями, и с доказательствами. Да и в принципе сложно все это. Дать корректные определения для числа, функции или множества, как мне кажется, не смогут подавляющее большинство учителей. Вообще, нормальная геометрия (а не выучивание типов задач из учебника) - это для школьников практически неподъёмно.

@user-qj4wz9td7l Жыл бұрын

@humaniora_for_all Жыл бұрын

Тут есть предмет для разговора.

@user-dg5br2lx1k Жыл бұрын

Недавно купил себе новый планшет xiaomi mi. Хожу на вышку! Предпочитаю решать методом tic tac toe. Хотел узнать какое приложение для быстрого набора посоветуете, Борис? Люблю цветной графический интерфейс в приятной цветовой гамме, ну и чтоб удобно было сразу в паблик скинуть?

@ilyatoporgilka Жыл бұрын

Дискриминант выводится,когда из ax^2+bx+c выделяете полный квадрат.С кубическим уравнением не выходит,так как посередине не одно,а два слагаемых.

@ovidmanov Жыл бұрын

К неравенству треугольника, как по мне, проще придти через ситуацию, когда допустить что А+В=С и нарисовать такой случай. Получим отрезок С, а не треугольник. Иначе, если А+ВС хотя бы на бесконечно малую величину, у нас получится "поднять" вершыну с (противолежащую стороне С) над самой стороной.

@EvgeniyZhurov Жыл бұрын

Борис, добрый день. Если Вам не сложно, не могли бы Вы ответить на вопрос. Когда учился давно в НГУ и ФМШ мы пользовались аббревиатурой "что и требовалось доказать" закрашивая волнистой линией квадрат. Сейчас готовлю к ЕГЭ и не встречаю эту аббревиатуру - поймет ли проверяющий такую аббревиатуру?

@trushinbv Жыл бұрын

«ч.т.д.» - поймет, закрашенный квадрат - не общепринятое обозначение, мне кажется

@EvgeniyZhurov Жыл бұрын

@@trushinbv спасибо

@gigapluton Жыл бұрын

Вопрос, а можно ли использовать соображения непрерывности для доказательства теоремы Штейнера-Лемуса? Спасибо!

@ilyakorchagin9854 Жыл бұрын

Приветствую, Борис! Давно и с большим интересом наблюдаю за Вашим творчеством - пользуюсь случаем поблагодарить за это! По предмету этого выступления: не следует ли дополнить Ваше доказательство объяснением факта равенства углов при основании равнобедренного треугольника?

@vasily_maths Жыл бұрын

Можно сослаться на то, что равнобедренный треугольник при симметрии переходит в себя

@doctormaddyson Жыл бұрын

Теорема о том, что против большей стороны лежит больший угол, следует из теоремы синусов, а неравенство треугольника следует из теоремы косинусов. А теоремы синусов и косинусов легко доказываются, если мы определяем плоскость как аффинное пространство, ассоциированное с двумерным линейным пространством над полем вещественных чисел. Тогда и теорема синусов, и теорема косинусов доказываются, грубо говоря, с помощью координат.

@user-mc7xx9jh8d Жыл бұрын

Борис а можно попросить разобрать задачу про 100 заключенных которую недавно показали в vert dider. Там на теорию вероятности и комбинаторику. Посмотрите может заинтересует.

@daniilvolfengaut8838 Жыл бұрын

3:10 ну мне кажется, это можно доказать гораздо проще и нагляднее: Предположим, что есть сторона, которая длиннее чем сумма двух других. Тогда вокруг каждого ее конца проводим окружность с радиусом равным длине прилежащей к этому концу стороны треугольника. Эти две окружности не пересекаются, поскольку их центры находятся дальше друг от друга, чем сумма их радиусов. Ну и значит не существует такой точки, где мог бы лежать третий угол треугольника, то есть, такой треугольник невозможен. Вот как бы и все :)

@closer_to_the_unknown Жыл бұрын

Нер-во треугольника можно очень легко доказать при помощи нер-ва ломаной. Пусть есть точки A и B. Построим между ними прямую - это будет кратчайшее расстояние между точками. Построим точку C и проведем отрезки BC и AC. Тогда нер-во ломаной выглядит так BC + AC >= AB Случай равенства будет достигнут в том случае, если A, B и C колинеарны. Иначе нер-во выглядит так BC + AC > AB Ч. т. д

@pirojouk Жыл бұрын

А неравенство ломаной как вы доказываете?=)

@user-co6zc9wg4j Жыл бұрын

Это как в Википедии, одна статья ссылается на другую и так до бесконечности

@agilkerimov Жыл бұрын

Circular dependence

@ilgizilgiz5960 Жыл бұрын

самое простое док. неравества треугольника это аксеома, самое короткое расстояние между двумя точками это прямая соединяющая их.

@alxsam505 Жыл бұрын

Тут знающие люди говорят, что это не аксиома. Хорошо, пусть не аксиома. Но это определение прямой? Пусть будет "По определению".

@alxsam505 Жыл бұрын

Все пропало. У прямой нет даже определения.

@Zlobny-Kotyara Жыл бұрын

@@alxsam505 ага, рАвно как и у точки

@user-cd4ym8tj5j Жыл бұрын

Я всегда углы заказывал либо через вписаный в окружность треугольник, а стороны через приближением одного из углов к 180, тогда а+б=с, а если меньше то просто из факта про роекции

@vasily_maths Жыл бұрын

Этот факт доказывается в самом начале геометрии, тогда мы ещё не знаем, что около любого треугольника можно описать окружность.

@maslinomyot Жыл бұрын

Я доказываю неравенство треугольника через теорему косинусов, там выйдет, что a^2 меньше чем (b+c)^2, в свою очередь она доказывается через теорему Пифагора, самое простое доказательство теоремы Пифагора через площадь квадрата, площадь квадрата доказывается из того, что мы приняли, что квадрат 1*1 имеет площадь 1, ну вроде цикла нет

@user-qj4wz9td7l Жыл бұрын

К сожалению, цикл есть. Он обязан быть, если у Вас получается на первый взгляд принципиально разными способами доказать какое-то утверждение. Если разные доказательства приводят к одному и тому же утверждению, то факты, использовавшиеся в доказательстве А должны быть взаимосвязаны с фактами из доказательства B, просто, скорее всего, Вы не замечаете эту связь. Её заметить можно, если копнуть глубоко, просто где-то это легко заметить, как в примере, который привёл Борис Викторович, а где-то это сложно заметить. Ваш случай очень глубокий, нужно копнуть в понятие площади многоугольника (уже это очень глубокая вещь), копнуть в понятие синуса и косинуса. Крч, надо посмотреть самые истоки возникновения той или иной теоремы, определения, использованных в доказательстве, потом уже будет видно, что одно определение, понятие невозможно без другого, а значит, что доказательство может содержать круг как раз в этом. Надеюсь, смог хотя бы как-то пояснить

@user-qj4wz9td7l Жыл бұрын

Поэтому должно получиться, что Ваше какое-то доказательство не может быть до конца честным, так как оно само частично как-то состоит из фактов, теорем, построение которых зависит от фактов и теорем из другого доказательства, если другое доказательство само является честным

@timurpryadilin8830 Жыл бұрын

хорошее видео, помню, в 7 классе, кажется, именно в таком порядке мы провели доказательство. а можно ли пойти обратным ходом и вывести неравенство треугольника не ссылаясь на теорему о большем угле ?

@purpleraccon Жыл бұрын

Поставил видео на стоп и доказал неравенство треугольника методом от противного. Предположим, что большая сторона равняется сумме двух меньших. Тогда проведём круг с радиусом равным одной из меньших сторон. Точку пересечения соединим с вершиной, общей для меньших сторон. Получаем два равнобедренных треугольника, которые имеют общую основу. Выходит, что у большого треугольника, который мы рассматривали изначально, один из углов равен сумме смежных, тоесть 180° => сумма углов большого треугольника больше 180° => такого быть не может, значит наше предположение неверно. Подобным образом доказываем то, что большая сторона треугольника не может иметь длину большую, чем сумма двух других.

@maksat_viper Жыл бұрын

Здорова, есть задачи алгебры которое решится с геометрическим способом?

@irinaprokofieva2813 Жыл бұрын

👏👏👏👏👏👏👏

@user-uk6hr9lu4m Жыл бұрын

Здравствуйте, Борис! Возникло недоразумение с моим другом, хотел бы задать вопрос, можно ли установить биекцию между плоскостью и прямой?

@trushinbv Жыл бұрын

Можно

@gexrqlol Жыл бұрын

Очень хотелось бы знать следующее!!!! В решении кубических уравнений способом Кардано нужно вводить подстановку x = y - a/3, а откуда она взялась? Расскажите пожалуйста

@user-tu9np5mg2b Жыл бұрын

это есть уже kzfaq.info/get/bejne/m8mjhtCep7-ZZoU.html

@vasily_maths Жыл бұрын

Чтобы избавиться от x^2

@dima_math Жыл бұрын

неравенство треугольника можно вывести из того что кратчайший путь между двумя точками по прямой

@RomanAnnenkov Жыл бұрын

Борис, пожалуйста, у меня вопрос невпопад. Определено ли в математике числительное "несколько"? И чему оно тогда может быть равно? Каковы тут правила и какова практика использования этой меры?

@trushinbv Жыл бұрын

В математических задачах «несколько» - это любое натуральное число

@hectopmaxho6475 Жыл бұрын

Я наоборот, сначала брал равносторонний треугольник, а потом увеличивал один из углов. Так наглядно видно как одна сторона стала самой маленькой, из за того что две другие увеличились. А угол между увеличившимися сторонами (который как раз против меньшей стороны) уменьшился, за счёт увеличения другого угла. Любая сторона короче двух других. Берём равнобедренный (не обязательно) треугольник, у которого основание равно сумме двух боковых сторон. Делаем построение с помощью циркуля.и получаем треугольник с вершиной в 180 лежащей на основании и углами при основании по нулям. Что там ещё доказывать?

@angelinaa_xoxo Жыл бұрын

👍🏻👍🏻👍🏻

@Zlobny-Kotyara Жыл бұрын

Про неравенство треугольника я подумал так: Возьмём длинный отрезок. Из каждой его вершины построим окружности (центры - в концах отрезка) так, чтобы они касались друг друга на отрезке. Получается, R1+R2= этому отрезку. Но так треугольник не построить. Хотя бы один радиус нужно увеличить. ЧТД.

@idioluh5838 Жыл бұрын

Да, именно так и надо показывать, что любая сторона всегда меньше суммы двух других, это самое простое и очевидное объяснение. Но вряд ли кто-то захотел бы смотреть такое видео, это слишком скучно и просто.

@kolegg Жыл бұрын

Это хорошо, но докажите, что радиус окружностей будет меньше соответствующих сторон. Вы опять вернулись к началу.

@user-ig8de5jf6h Жыл бұрын

@@kolegg по условию он сторит окружности из концов отрезка и они пересекаются прямо на нем

@idioluh5838 Жыл бұрын

@@kolegg да ну, по-моему очевидно, что построить треугольник возможно тогда и только тогда, когда окружности, построенные на вершинах бОльшей стороны, пересекают друг друга. А из этого вполне очевидно, что сумма их радиусов (равных сумме меньших сторон) больше, чем длина бОльшей стороны.

@kolegg Жыл бұрын

@@idioluh5838 эта очевидность полностью равнозначна предположению, о неравенстве треугольника, которое и пытаемся доказать.

@grandmovie7034 Жыл бұрын

Задача: Найдите остаток от деления многочлена P(x)=(x+1)^100+(x-1)^100 на многочлен Q(x)=x^2+x.

@ll-zf3tj Жыл бұрын

а как доказать, что сумма углов в треугольнике равна 180?

@aakh3500 Жыл бұрын

Любое доказательство строится от аксиом, если вы при доказательстве одного утверждения используете второе как лемму то доказательство леммы не может опираться на доказываемое утверждение.

@vasily_maths Жыл бұрын

Верно) Правда геометрию в седьмом классе редко кто строит из аксиом. И в вузе даже на математических предметах теория даётся строже, но всё равно почти везде не на аксиоматическом уровне (сужу по МФТИ).

@andriich. Жыл бұрын

Добрий день, я з України, нещодавно писав обласну олімпіаду, в якій зробив 1.5-2 завдання з 5, та хотів би побачити, як ви би розібрали її на своєму каналі. Хотів би дізнатись:куди можна вам надіслати її умову?

@levmihailov7586 Жыл бұрын

Можно просто высоту провести и ясно,что гипотинузы будут больше,чем основания этих двух маленьких треугольников, соответственно и основание большого меньше суммы этих двух гипотинуз,если охото прям вообще по простому

@janovewaldner9762 Жыл бұрын

А почему гипотенуза больше катета?

@fullfungo Жыл бұрын

@@janovewaldner9762 из теоремы пифагора доказывается. Пусть a^2+b^2=c^2. Заметим, что b^2>0. Тогда a^2

@user-sn7hn1tl3f Жыл бұрын

на момент прохождения этой теорема школьники еще ничего не знают про теорему пифагора, она проходится позже

@user-qj4wz9td7l Жыл бұрын

@@fullfungo, один из способов доказать теорему Пифагора -- через площади. Если Вы копнёте в понятие площади многоугольника, попытаясь разобраться в каждом моменте на уровне "а почему?", то заметите, что Ваше доказательство содержит частично замкнутый круг. Такие доказательства очень тонкие, так как они используют более мощные средства, а не такие простые, как отложение сторон, углов. Просто может получиться так, что теорема Пифагора, доказываемая с помощью понятия площади многоугольника использует в себе скрыто те самые отложения сторон, углов или чего-нибудь другого, что является простым средством. Но тогда зачем Вам такое доказательство, оно становится бесполезным, если для него самого нужны простые средства, которыми можно сразу доказать исходную теорему в видео

@Alexey_Emelyanov Жыл бұрын

Наверное, я успел это написать прежде, чем услышал ответ. Когда мы доказываем теоремы, мы можем сослаться на другие теоремы, которые в свою очередь ссылаются на данную теорему

@alexd2632 Жыл бұрын

Что-то пошло не так! Часть концовки комментария выпало. А хотелось мне узнать, возможно, существует более лаконичное или, если угодно, изящное/элегантное решение, исходя из обозначенного инструментария?

@andreyadamovich6885 Жыл бұрын

Встретилась задача: "Выписаны 3 последовательных нечетных числа. Сложили их остатки при делении на 2022. Может ли получиться простое число. Подходит ли ответ -1, 1, 3?

@vasily_maths Жыл бұрын

Нет, этот ответ не подходит, потому что остатки равны 2021, 1, 3, в сумме дают 2025 - не простое.

@MrDjanbul Жыл бұрын

Доброе день у меня есть вопрос k=(h1-h2) (s1-s2) -1 mod n у меня есть h1 и h2 и s1 и s2 я не понемаю -1 mod n как получить k можете обяснить как вопше mod работать

@Hazlarorn Жыл бұрын

Хотелось бы увидеть доказательство формулы объема шара и площади сферы без использования интегралов

@trushinbv Жыл бұрын

Про объем есть kzfaq.info/get/bejne/iKmamtx3xLXcYps.html

@vladimirp9566 Жыл бұрын

@@trushinbv , у меня тут на днях возникла любопытная задача с интуитивно понятным утверждением, но не самым тривиальным доказательством. Условие очень короткое: периметр треугольника, вложенного в другой треугольник, гарантированно меньше периметра объемлющего (то есть, большего) треугольника. Борис, может быть, Вы предложите красивое и короткое одновременно доказательство этого утверждения? Буду ждать :)

@leonidsamoylov2485 Жыл бұрын

Список аксиом в планиметрии давно устоялся? И если да то когда ?

@vasily_maths Жыл бұрын

Системы аксиом, задающие Евклидову геометрию, бывают разные.

@bulka_c_koriceu8723 Жыл бұрын

Ещë в седьмом классе понимал, что неравенство треугольника доказывается просто через рассмотрение всех трëх ситуаций. Если третья сторона больше суммы двух других, то стороны просто не сойдутся (по крайней мере, на нашей плоскости). Если равна - треугольник превратится в прямую. Если меньше - всë хорошо

@trushinbv Жыл бұрын

А почему «не сойдутся»?

@bulka_c_koriceu8723 Жыл бұрын

@@trushinbv, ну никак же не пересечь окружности с центрами в концах отрезка, если сумма радиусов этих окружностей меньше длины отрезка. Использование окружностей в данном случае довольно симпатично, поскольку радиус представляется как сторона треугольника и его возможно "вращать" вокруг "вершины", что помогает наглядностью при рисовании картинки в уме

@trushinbv Жыл бұрын

@@bulka_c_koriceu8723 они «никак не пересекаются» именно из-за неравенства треугольника. Как без него вы будете это доказывать? )

@foxy1515 Жыл бұрын

Привет, Борь. Я тут смотрел недавно видео про производные... Как для ученика 8 класса не очень понятно откуда из функции берётся что ты там дальше пишешь... Можешь разобрать на пальцах для не очень сильных математиков производные...

@vasily_maths Жыл бұрын

Ну на пальцах производная функции - это её скорость роста. Вот едет машина. Расстояние от времени - это исходная функция, а скорость от времени - это её производная.

@foxy1515 Жыл бұрын

@@vasily_maths , спасибо

@dmitryd.3333 Жыл бұрын

длина ломаной (в данном случае сумма двух сторон треугольника) всегда длиннее кратчайшего отрезка между точками. те [ab]+[bc] > [ac]

@user-lh1yx6sb9x Жыл бұрын

факт про ломаную выводится как раз мат индукцией из неравенства треугольника

@humaniora_for_all Жыл бұрын

@@user-lh1yx6sb9x из определения прямой

@user-co6zc9wg4j Жыл бұрын

Про 2 стороны в треугольнике больше третьей: разве надо доказывать, что прямая из точки а в точку b всегда короче кривой??? Ps. Треугольник ABC. Если предположить что AB + Bc = AC, то получиться не треугольник а отрезок просто. Хз. Все равно не понимаю нужно ли это доказывать

@troitskyvsevolod2194 Жыл бұрын

Давно задумывался над этим вопросом. Я рассуждал так: пусть у нас есть сторона, длина которой больше суммы двух других. Проведем к ней высоту. Если немножко порассуждать, то можно прийти к выводу, что в одном из полученных треугольников катет больше гипотенузы, а это противоречит теореме Пифагора. Является ли это доказательство противоречивым? Вроде как при доказательстве теоремы Пифагора, неравенство треугольника нигде не используется

@-wx-78- Жыл бұрын

В теореме Пифагора неявно предполагается существование треугольника.

@fullfungo Жыл бұрын

@@-wx-78- так и в этом доказательстве тоже предполагается существование треугольника. Никаких проблем не вижу.

@user-dv3pt9ni9z Жыл бұрын

Конечно же это нормальные доказательства. Это догозательство что оба факта либо выполняются одновременно, либо не выполняются, и то же одновременно...

@user-or5rp3tk5j Жыл бұрын

4:43 посмеялся с замкнутости системы теорем:)

@Zzzzzzzzzzzzzn Жыл бұрын

А вот в обратную сторону (что из меньшего угла следует что и сторона меньше) следовало бы более подробно показать. Т.к. в общем случае из прямого утверждения не следует что обратное тоже верно.

@fullfungo Жыл бұрын

пусть a,b,c - стороны, A,B,C - углы против них. Без потери общности a

@user-wp9lc7oi3g Жыл бұрын

В данном случае это не прямое и обратное утверждение, а одно и то же. Пример: если доказано, что А>B, не нужно дополнительно доказывать, что B

@Zzzzzzzzzzzzzn Жыл бұрын

@@user-wp9lc7oi3g Нет, тут доказано что из A ("угол больше") СЛЕДУЕТ B ("сторона больше"). Но обратное в общем случае не верно, и из B очень даже не обязательно будет следовать А,. Слова "ну это очевидно" плохо работают в случае как сейчас, когда и изначально доказываемое утверждение тоже в общем-то было очевидным, но его решили доказать строгим образом. Тут следовало проявить последовательность и идти до конца: ничто не очевидно пока не будет доказано.

@user-wp9lc7oi3g Жыл бұрын

@@Zzzzzzzzzzzzzn А, извиняюсь, не правильно понял комментарий.

@user-ig8de5jf6h Жыл бұрын

@@Zzzzzzzzzzzzzn ну в данном случае с меньшей стороной нет смысла доказывать т.к. оно просто аналогично с большей Есть тре-к возьмем меньшую сторону и продлим ее пока она не станет равна боковой, ну а далее так же через суммы углов доказываем, что на против нее наименьший угрол

@becalelbecalelew7262 9 ай бұрын

А разве при док-ве про неравенство нельзя упомянать, что если одна сторона длинней другой, то две остальные стороны, даже если они будут лежать на одной и той же прямой вместе с длинной этой, всё равно не будут дотягивать до конца? Будет не треугольник, а отрезок, причём два, но лежащих на одной прямой

@user-kn9iv2hv2p Жыл бұрын

Можете привести доказательство основанное на факте, что при сумме двух сторон, меньше чем третья не существует угла при котором могут пересечься два отрезка на концах этого мнимого треугольника. Мне это кажется очевидным, но с точки зрения математики как это выглядит.

@user-qs3tz6hh5g Жыл бұрын

Порочный круг

@Arlan1125 Жыл бұрын

Жаңа стрижкан мықты екен

@mike-stpr Жыл бұрын

По поводу дискриминанта. Как известно, математика бывает используется и в практических целях. Так вот загадка: какая самая простая практическая задача требует составить и решить квадратное уравнение? Предположительно информация в википедии ложна -- в древности квадратное уравнение не имело реальной пользы и рассматривалось просто как гимнастика ума. В любом случае было бы интересно решение этой загадки, как автором канала, так и его подписчиками! Цель доказать, что такое решение будет самым простым! СПАСИБО!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! :-)

@Demka300 Жыл бұрын

Используем 1 чтобы доказать 2 и используем 2 чтобы доказать 1. Это неправильно!

@prel9654 Жыл бұрын

Хотел бы узнать почему уравнение не может иметь корней больше чем высшая степень неизвестной переменной, не понимаю откуда это берется

@Zlobny-Kotyara Жыл бұрын

А меня в такой ситуации мучил вопрос: Если высшая степень переменной, допустим, четвёртая, то количество корней равно 4 или не больше 4? Я к чему - если в квадратном уравнении дискриминант =0, то у уравнения 1 корень или 2?

@prel9654 Жыл бұрын

@@Zlobny-Kotyara 1 корень, имеется в виду не больше чем ... корней

@-wx-78- Жыл бұрын

@@Zlobny-Kotyara Корней ровно столько, какова степень полинома - просто некоторые из них кратные.

@user-lh1yx6sb9x Жыл бұрын

Ну, есть следствие теоремы Безу, что если а -- корень многочлена P(x) то его можно представить в виде P(x)=Q(x)(x-a). Поэтому P(x) можно представить в виде P(x)=T(x)(x-a1)(x-a2)...(x-an) где числа а1, а2, ... , аn все корни многочлена. Отсюда получаем, что степень многочлена не меньше числа корней

@archilarkania7203 Жыл бұрын

@@Zlobny-Kotyara там всегда два корня потому что степень второй. Просто корень кратный, когда D = 0. Попытаешся сказать что корень один и получишь по ебле при разложении на множители. У тебя там должен получится полный квадрат. В школе любят говорить что корень один и это ошибка. Любой многочлен степени n всегда имеет n корней.

@user-ti4xx2tv6k Жыл бұрын

Борис, здравствуйте, мне кажется интересной тема тригонометрических функций в 7 задании егэ, думаю, что кто то может это поддержать

@notstudio2 Жыл бұрын

Когда евклидово пространство и всё вытекающее)))

@romanbykov5922 Жыл бұрын

Доказательство методом пристального вглядывания в картинку, по-моему, проще.

@vasily_maths Жыл бұрын

То что сумма двух других сторон больше третьей и вправду очевидно, а вот факт про углы уже не так очевиден. Кстати, попробуйте методом пристального взгляда решить задачку из последнего видео на моем канале.

@r75shell Жыл бұрын

А мне нравится засада с обратной теоремой пифагора. Из того что A^2+B^2 = C^2 следует что треугольник прямоугольный: бывает называют "теоремой пифагора" и при этом говорят что это все доказывали 100 раз, но не замечают, что это совсем другое утверждение.

@trushinbv Жыл бұрын

Ну, обратная теорема мгновенно доказывается от противного. На самом деле, чаще путают прямую и обратную теорему Виета )

@EvgenyKnoblokh Жыл бұрын

А нельзя доказать опираясь на то, что при сумме сторон равной третьей стороне это будет отрезок, а не треугольник (по сути углы при большей стороне равны нулю). Ну а если сумма меньше третьей, то вершины треугольника не стыкуются даже на прямой?)

@nalnal9608 Жыл бұрын

Это интуитивное рассуждение, на основе здравого смысла и опыта. Но не доказательство в математическом смысле:) . На математическое доказательство есть определённые ограничения

@EvgenyKnoblokh Жыл бұрын

@@nalnal9608 возможно, я потому и спросил)

@alxsam505 Жыл бұрын

Вы сейчас сложно пересказали аксиому: кратчайшее расстояние между двумя точками это прямая. Одной этой аксиомы достаточно для доказательства.

@nalnal9608 Жыл бұрын

@@alxsam505 жаль только нет такой аксиомы)))

@alxsam505 Жыл бұрын

@@nalnal9608 Да, действительно такой аксиомы нет. И даже определения прямой нет. Мы все умрём.

@user-cw7oz3yh1y Жыл бұрын

Интересует, почему с одной стороны произведение двух чисел можно интерпретировать как площадь прямоугольника, а с другой стороны можно интерпретировать как сторону одного из треугольника, подобного искомому. В первом случае добавляется размерность вроде как, в то время как во втором случае линия остаётся линией. Когда я задумываюсь над такими вещами, это взрывает мне мозг.

@humaniora_for_all Жыл бұрын

А разве неравенство треугольника не вытекает из циркуля просто?

@fullfungo Жыл бұрын

«Вытекает из циркуля» это такой новый метод доказательства? - Я тут нарисовал что-то. Выглядит как будто теорема. - Ладно, фиг с ним, доказал.

@humaniora_for_all Жыл бұрын

@@fullfungo Sapienti sat

@user-ho7rb3tq8y Жыл бұрын

Я, всегда, считал необходимым предварять изучение предмета, изучением его истории - только так можно получить, по-настоящему, фундаментальные знания.

@user-fi8lx4zz4o Жыл бұрын

А от равностороннего треугольника можно оттолкнуться для доказательства?

@vasily_maths Жыл бұрын

Так нужно ведь для любого треугольника доказать.

@alexandergertovskiy2126 Жыл бұрын

Еще одно подтверждения, что школьной геометрии я не знаю. И скорее всего никогда не знал. При этом задачи по геометри решать умел. Печально.

@sergeypolyakov9312 Жыл бұрын

Почему нельзя доказывать так: 1) По определению прямой - это наименьше расстояние между любыми двумя точками. 2) меду двумя точками можно провести единственную прямую (аксиома евклидовой геометрии). Отсюда следует, что если треугольник - это геометрическая фигура с тремя вершинами, соединенными прямыми, значит, любая кривая, а также ломаная, соединяющая две вершины будет иметь длину всегда большую или равную, длине отрезка, части прямой, соединяющей вершины. Но если длина кривой будет равна отрезку, части прямой, она будет принадлежать прямой, т.к. через две точки можно провести единственную прямую (т.е. кривую с наименьшей длиной). Поэтому, сумма двух сторон (кривая в этом сблучае ломаная) не принадлежащая третьей стороне всегда будет иметь большую длину!

@Arik_Averok Жыл бұрын

Как я понимаю, у прямой нет определения (это как "точка" и "лежать между" - неопределяемое понятие)

@sergeypolyakov9312 Жыл бұрын

@@Arik_Averok у прямой должно быть определение и свойства в виде аксиом (или определений), чтобы отличать её от других кривых

@humaniora_for_all Жыл бұрын

@@Arik_Averok смешно

@Arik_Averok Жыл бұрын

@@humaniora_for_all а какое определение прямой предложите вы? Если про то, что любая часть прямой - отрезок, то это не так, потому что отрезок - это часть прямой. Если про то, что длина отрезка меньше длины любой другой кривой, соединяющей две точки, то сначала надо разобраться, что такое длина. И с тем, что у прямой нет ширины надо разобраться. Кажется, Евклид предлагал определить, что прямая - это то, у чего есть длина но нет ширины (но это по очевидным причинам не правильно). Предложите свое определение (а заодно и определение точки)

@humaniora_for_all Жыл бұрын

@@Arik_Averok Прямая - пересечение двух плоскостей, точка - пересечение двух прямых.

@AAntonGordeev Жыл бұрын

Что-то я не понял - а разве не будет самым простым доказательством, что сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей, то, что кратчайшим расстоянием между точками А и С является ПРЯМАЯ? (а не искривленный путь ABC)

@vasily_maths Жыл бұрын

Точнее отрезок, а не прямая. Но прямая является неопределяемым понятием, и поэтому мы как бы сразу не знаем, что отрезок - это кратчайшее расстояние. А так да, факт очевидный конечно.

@vl4120 Жыл бұрын

Зачем при доказательстве сумм двух сторон что то откладывать? Если и так понятно что прямая всегда короче кривой

@user-iy9by2kr1g Жыл бұрын

Здравствуйте Борис! Подскажите пожалуйста, допускается ли выражение: "модульные скобки" вместо просто "модуль"? Особенно когда внутри целое выражение или уравнение.

@trushinbv Жыл бұрын

Я никогда такого не слышал

@user-iy9by2kr1g Жыл бұрын

@@trushinbv спасибо!

@Uni-Coder Жыл бұрын

Гмм... Просто вряд ли со школьника потребуют оба доказательства сразу в одной задаче. Поэтому остаётся право, если спросили про А, сослаться на Б, а если про Б, то на А. Адвокат бы точно так сделал 😁