✓ Сравнение по модулю. Арифметика остатков

✓ Сравнение по модулю. Арифметика остатков | Ботай со мной

Рет қаралды 199,795

5 жыл бұрын

#БотайСоМной #034
Сравнение по модулю. Арифметика остатков
Книжка от Трушина: trushinbv.ru/book
Как поддержать канал: • Как помочь развитию ка...
Разовая помощь (Яндекс.Деньги): money.yandex.ru/to/4100110176...
Разовая помощь (PayPal): paypal.me/trushinbv
Разовая помощь (Donation Alerts): www.donationalerts.com/r/bori...
Регулярная помощь (KZfaq): / @trushinbv
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Онлайн-курсы по математике с Борисом Трушиным:
10 класс. Подготовка к ЕГЭ: trushinbv.ru/ege10
11 класс. Подготовка к ЕГЭ (задания 13-19): trushinbv.ru/ege11c
10-11 классы. Подготовка к Перечневым олимпиадам: trushinbv.ru/olymp
Кроме этого, можно купить мои прошлогодние курсы в записи:
Подготовка к ОГЭ: trushinbv.ru/oge9
Подготовка к ЕГЭ. Задания 1-12: trushinbv.ru/ege11b
Подготовка к ЕГЭ. Задания 13 и 15: trushinbv.ru/ege1315
Подготовка к ЕГЭ. Задание 14: trushinbv.ru/ege14
Подготовка к ЕГЭ. Задание 16: trushinbv.ru/ege16
Подготовка к ЕГЭ. Задание 17: trushinbv.ru/ege17
Подготовка к ЕГЭ. Задание 18: trushinbv.ru/ege18
Подготовка к ЕГЭ. Задание 19: trushinbv.ru/ege19
Другие курсы Фоксфорда: trushinbv.ru/courses
Репетиторы Фоксфорда: trushinbv.ru/coach
Личный сайт: TrushinBV.ru
Группа "Олимпиады, ЕГЭ и ОГЭ по математике": ege_trushin
Группа "TrushinBV.ru": trushinbvru
Личная страница: trushinbv
Группа "TrushinBV.ru": / trushinbv
Личная страница: / boris.trushin
Инстаграм: / trushinbv
TikTok: / trushinbv
Telegram: t.me/trushinbv
Twitter: / trushinbv
KZfaq-канал: / trushinbv

Пікірлер: 262

@traxtorbek 3 жыл бұрын

Спасибо. Я в 7 классе готовлюсь к республике. Победил

@user-qq4vn4xq9l 3 жыл бұрын

Норм?

@traxtorbek 3 жыл бұрын

@@user-qq4vn4xq9l да

@Johnny-Jostar 9 ай бұрын

Молодец трахторбек

@traxtorbek 9 ай бұрын

@@Johnny-Jostar спс , дошёл до межки

@v_tayne 8 ай бұрын

@@traxtorbek о, афигеть, а я тебя может даже знаю, не?)

@kirillgo1021 Жыл бұрын

У меня уже голова болит это переслушивать постоянно.Нифига не понимаю......

@dumb_ear 3 жыл бұрын

Остаток - это то, что осталось. Обожаю

@petrmakagonov3948 Жыл бұрын

Да, забавно звучит "то, что осталось". На самом деле - очень сбивает это "то, что осталось". Ведь, это справедливо лишь, когда остаток от деления получается в результате деления целого положительного числа на другое целое положительное число. Да и то, лишь в том случае, когда первое число больше второго, как, например, 10 и 7. Тогда, при делении 10 на 7 мы получаем, что 7-ка один раз "помещается" в десятке и остается тройка. Если же мы возьмем пример, когда первое число меньше второго, например, 2 и 7, тогда говорить "то, что осталось" не корректно, кмк... Ведь семёрка ни разу не "помещается" в двойке. Эти примеры с яблоками и конфетами тут только сбивают... p.s.: с отрицательными цифрами фраза "то, что осталось" вообще не работает, например -2 и 7 p.p.s.: я уже молчу про 2 и -7 habr.com/ru/articles/421071/

@user-ng8it4tj5g 5 жыл бұрын

Пожалуйста продолжайте эту серию , очень интересно и поучительно!

@user-vo8rf4rw9t 5 жыл бұрын

Как всегда, на высоте!

@annaponomarova3472 4 жыл бұрын

100К!!! Поздравляю)))

@Maximilian_Von_Vinogradoff 5 жыл бұрын

Спасибо, в школе плохо понял эту тему, а сейчас вроде окончательно разобрался

@marinachernavina8671 Жыл бұрын

Очень интересно и понятно рассказываете! Спасибо!

@angelushangelush2524 2 жыл бұрын

Спасибо огромное. Это "начало издалека" невероятно помогает в освоение сложнейших для меня задач!) счастлива что есть такой канал

@user-pq3rr7tq8w 3 жыл бұрын

Большое спасибо. Очень понятно и информативно. ПРЯМ БОЛЬШОЕ БОЛЬШОЕ СПАСИБО

@yana_stasevich 4 жыл бұрын

Спасибо огромное за видео! Очень помогло разобраться! Сейчас учу эту тему на немецком, вообще непонятно, но благодаря вашему видео, все прояснилось:)

@DmitryStepanov-mo6wt 5 жыл бұрын

Борис Викторович лучший, спасибо что вы есть!))

@The2342289 3 жыл бұрын

Прекрасно, спаси Господи за столь простое и ясное представление

@m0utain_j3w Жыл бұрын

Только благодаря вам смог понять сравнения и логику остатков. Спасибо огромное!!!

@andruxa1528 3 жыл бұрын

Мой друг Александр Герасимов сдал математику благодаря Вам на 84 балла, спасибо большое!

@user-dy5hi2gp4v 3 жыл бұрын

Офигееееееееееть, это же потрясающе

@jennygeply6172 4 жыл бұрын

Спасибо вам большое за такие замечательные видео! Сейчас перешла в 10 и решила летом освоить программу вперёд,чтобы потом было легче. Читала учебник,но ничего не поняла,а благодаря вам у меня уложилось

@sunJuliet 4 жыл бұрын

Спасибо большое!! Сразу всё поняла:)

@user-uq3mu8ly6l Жыл бұрын

Просто нет слов. Случайно наткнулся и залип. Мне понравилось, ёмко и изящно.

@sllsdsddlsdsdsdsd9072 5 жыл бұрын

Очень полезное видео. Недавно как раз на школьном этапе ВСОШ была задача с остатками.

@AndrewPacketikov Жыл бұрын

Под конец ролика начал понимать, спасибо, парень, ты крут.

@lerazabneva5265 Жыл бұрын

боже наконец-то я начинаю понимать теорию чисел, просто лучший

@user-lq2tu4hx5y Жыл бұрын

Друг, ты один из лучших препадователей, спасибо

@user-ju4ct8ne8i 3 жыл бұрын

Спасибо большое, очень доступно

@servenserov 3 жыл бұрын

*Трушин - Вы лучший!*

@teo5998 2 жыл бұрын

Офигенно объяснил!

@user-bn2rt9mo3z Ай бұрын

всем привет , сижу готовлюсь к Олимпиаде через 4 дня пишу регион , на муниципальном взяла 1 место , планирую на республике так же , будем стараться ! Удачи мне ! Напишу потом результат ❤❤❤❤

@max325475685 5 жыл бұрын

The best of the best!

@farrukhsaidov2872 3 жыл бұрын

Спасибо большое!

@shyngystagay462 3 жыл бұрын

Спасибо вам большое

@user-lb3my6eq2y 5 жыл бұрын

Очень круто)))

@basavarajmunavalli6863 4 жыл бұрын

Dear sir , I am thankful for your uploading of some videos on KZfaq tube . They are very best I had come across . My kind request to you is please upload one hour videos on topicwise like , log equations & inequations , exponential equations & inequations , trigonometric equations & inequalities , mixed ones so that it will e easy for students to follow you , hope you would help all students and your fans. Best wishes . Basavaraj Munavalli Bangalore India

@trushinbv 4 жыл бұрын

Hi! You can find some videos here: kzfaq.info/get/bejne/n8iWd5qfury1hok.html and here: kzfaq.info/get/bejne/ba6Eotumy96xZas.html P.S. Do you understand Russian or use automatic translation?

@BillyHerringtonImmortal 11 ай бұрын

Индус и русский поменялись местами)))

@kenny3926 2 жыл бұрын

Спасибо вам огромное

@AlexBesogonov 3 жыл бұрын

Хотим китайскую теорему об остатках!

@karelalex 5 жыл бұрын

Большой дядька неистово одобряет надшкольную серию роликов.

@kroma2001 5 жыл бұрын

как раз хотел тч ботать, спасибо

@dinamik967 Жыл бұрын

Хорошо объясняете. Мне 55, да вот позабыл многое. А ведь когда-то матшколу московскую окончил. А тут пришлось Деффи-Хелмана алгоритм разобрать, ну и столкнулся с тем, что напрочь забыл про "сравнение по модулую". ;-)

@blogoblokax2677 Жыл бұрын

17:15 я себе чуть голову не сломал пока пытался понять.. в таких случаях лучше пример давать, спасибо за урок.

@dmitrysergeev3670 3 жыл бұрын

Большое спасибо!

@user-bh3bh1jh5y 5 жыл бұрын

Если (k+1)^n-(k^n+1) где n-простое число, то это выражение делится на n. Это можно вывести из малой теоремы Ферма.

@petkoelenkin5713 4 жыл бұрын

Отлично!

@crazufithman2737 4 жыл бұрын

Огонь!

@user-qv2ri8tc7p Жыл бұрын

Після перегляду даного неймовірного відео, я зрозумів, що не знаю нічого навіть про остачу від ділення. Дякую! я скинувся з вікна

@taoqian9077 3 жыл бұрын

Посмотрел несколько раз - решил самостоятельно элементарные задачи из Дезы. Задоначу пожалуй.

@trushinbv 3 жыл бұрын

Спасибо )

@user-di1rf9np6x Жыл бұрын

Деза -это что?

@appleset3088 5 жыл бұрын

круто спасибо вам😘

@demianparkhomenko7685 2 жыл бұрын

Спасибо из Украины за уроки. Продолжайте их делать дальше😊 Было бы круто наводить камеру, после доказание каких-то теорем, чтобы можно было их законспектировать

@MinisterDorado 4 жыл бұрын

7:40 Числа сравнимы по остатку. a ≡ b ( mod m). Означает, что числа до одинаковы остаток по модулю m.

@minyoongi3863 3 жыл бұрын

Спасибо!

@kozanuch4405 5 ай бұрын

Трушин вы всегда мне симпатизировали своей подачей материала. Я обычно смотрел вас для каких то прикольных и интересных фактов и недавно решил заняться олимпиадной математикой. Я просмотрел 4 ролика от других блогеров, которые шли по 1ч.-1ч.30мин. и мало что понял. Но только когда посмотрел ваш ролик то понял, как вы грамотно все разложили по полочкам всего за полчаса... Большущее вам спасибо 😭

@user-rm8oi4ig9m 10 күн бұрын

импонировали*

@user-ms6ou9vf1x 5 күн бұрын

Трушин навряд ли симпотизировал вам... ,когда не знаете значение слова или как оно пишется- меняйте на более простое.

@kozanuch4405 5 күн бұрын

@@user-ms6ou9vf1x когда не знаете правил пунктуации или вам сложно их применять на практике, лучше просто не используйте знаки препинания

@kozanuch4405 5 күн бұрын

@@user-ms6ou9vf1x когда не знаешь правила пунктуации или не умеешь их применять на практике, лучше вообще не использовать знаки препинания

@_paradl1se 4 жыл бұрын

Крутой чел!

@leonl1056 Жыл бұрын

Больше ни у кого нет столько полезной и понятной инфы за единицу времени,надо конспектировать и тренироваться)

@dmitridudko3351 4 жыл бұрын

круто!

@maismullimindrslri2232 Жыл бұрын

БОЛЬШОЕ СПАСИБО ИЗ АЗЕРБАЙДЖАНА ЗА УРОКИ.

@user-tl2nj4ki4x 5 жыл бұрын

Шикарно!

@olegvaflya8922 Жыл бұрын

Очень хочется видео про китайскую теорему об остатках, сама она не сложная, но ее понимание хромает, очень хотелось бы увидеть ее объяснение от вас

@giorgipachuashvili2562 5 жыл бұрын

благодарью вам из грузий

@malaysia1037 2 жыл бұрын

Спасибо

@Kirill-medvedev168 2 жыл бұрын

СПАСИБО

@tr3251qw 6 ай бұрын

я все понял, спасибо

@whereispie 4 жыл бұрын

Отличный Преподаватель, спасибо!

@A1xarT 5 ай бұрын

Круто

@samezn 5 жыл бұрын

оч круто

@user-ou1un5rr6e 4 жыл бұрын

27:11 я попробовал!!! С увеличением степени 521 получилась последовательность, которая повторялась через каждые 16 номеров; 637:16=39(ост. 13), 13 номер = 7

@user-fb8fp7zk9g 5 жыл бұрын

Супер!

@sjsjdjeje2188 5 жыл бұрын

Класс!

@netort7298 4 жыл бұрын

14:24 просто закройте глаза и попытайтесь что-то понять)) а видео супер, все понял)

@mrfireos266 4 жыл бұрын

ахахах, это реально очень смешно XD это на это, а то - это не то, а это

@user-il6zj7fg7h 4 жыл бұрын

Балдеж

@__misterx__ 6 ай бұрын

а*с mod m = b*d mod m, можно проще доказать. Допустим a/m = (o1;r1), где o1 - целая часть от деления, а r1 - остаток. Также положим c/m = (o2;r2). Тогда a*c = (o1*m+r1)*(o2*m+r2). Если раскрыть скобки, то получится четыре слагаемых. Три слагаемых будут содержать множитель m, а значит при делении по модулю m дают 0. Четвертое слагаемое r1*r2. Следовательно a*c mod m = r1*r2 mod m. Точно такой же результат получится и для b*d mod m.

@arkanoid1965 2 жыл бұрын

Так и знал - колдун! Хорошо, что белый. Я уже третий круг смотрю видосы, этот пропустил или не понял, только сейчас дошло. Хорошо на пенсии матан или савватан грызть, злесь вроде доходчивее)

@whitelight8811 Жыл бұрын

Мне в школе никогда не показывают доказательство. Спасибо

@user-pi8ke6dp7r 19 күн бұрын

потомучто ты был тупой😂

@user-ub8lq7wl8i 3 жыл бұрын

Борис Викторович, здравствуйте. Мне хотелось бы у вас спросить: не могли бы вы посоветовать хорошие книги по теории чисел для тех, кто изучает её «с нуля»? Я имел в виду книги наподобие «Комбинаторики» Н.Я. Виленкина, А.Н.Виленкина, П.А.Виленкина, то есть такие книги, которые вводили бы понятия в связи с определёнными задачами, причём задачами «бытовыми».(В вышеупомянутой книге « Комбинаторика» такие понятия, как, например, правило произведения, вводятся в связи с задачами вроде:председатель клуба велосипедистов с горечью констатирует, что номер его членского билета-088, что на каждое колесо его велосипеда приходится по восьмерке, и поэтому нужно менять номер билета, но чтобы его не обвинили в суеверии, он хочет провести перерегистрацию всех членов клуба, то есть выдать им и себе членские билеты, в номерах которых не содержится восьмерок. По сути, задача такова:сколько существует трехзначных номеров, в которых ноль может стоять на любом месте, не содержащих восьмерку.)

@user-mw6kp8xi7w 3 жыл бұрын

здравствуйте, спасибо за объяснение. В теме урока на доске ОШИБКА написано СРАВНИЕ вместо СРАВНЕНИЕ. Случайно заметил мой ребенок 11лет)))))

@trushinbv 3 жыл бұрын

А где написано? )

@user-mw6kp8xi7w 3 жыл бұрын

@@trushinbv Здравствуйте, на доске тема лекции ...примерно 12-14 секунда от начала видео С Уважением Матвей Лазарев

@trushinbv 3 жыл бұрын

@@user-mw6kp8xi7w ой (

@user-je8mw4ti4x Жыл бұрын

Здравствуйте, а почему в последнем примере вы не остановились на остатке 11; 521=11(mod 17), ведь 521^637=11^637=11(mod 17); ведь не важно в какую мы степень возводим. Значит остаток числа 521^637 при делении на 17 равен 11. Скажите пожалуйста, где содержится ошибка в моих рассуждениях?

@ValOvchinnikov 4 жыл бұрын

ААААААА! ОЧЕНЬ КРУТО! Жаль, что когда я в школе учился не было таких материалов И вот, 4 года спустя после окончания Физтеха, я наконец-то узнал, как решается городской этап :D Это, кстати, иногда нужно считать в реальной жизни (например, в расследовании программных инцидентов, когда хочешь понять что произошло с числом, не влезшим в int/long)

@Sasha-qs3kz 5 жыл бұрын

Странно, у меня в олимпиаде по математике тоже нужно было найти остаток при делении на 16 от 2^2018, эту олимпиаду слушаю не дядя Боря делал?))) Ооочеееень жду теорему Ферма😍😍😍😍😍

@trushinbv 5 жыл бұрын

Это же баян. Я бы такое на олимпиаду не дал ))

@netort7298 4 жыл бұрын

Нолик получился?)

@allbirths 3 жыл бұрын

@@trushinbv только начал слушать, мне кажется, такого мы никогда не изучали, как и понятие ОДЗ, смысл понимаю, но такое аббревиатуры не помню. Воспринимали все как само собой разумеющееся. Что-то изменилось в программе, похоже. Остаток при делении программированием востребован. Если бы интуитивно до многих вещей не доходил, то и не знал бы их. Ну треть со школы помню, и треть с ВУЗа, ну вообще непонятно было, что и куда. Как вот матрицы складывали, а х.з зачем, почему, а как оказалось, это очень нужная вещь, даже вижу как в лайв режиме с данными работать. Задачи приходилось решать интуитивно, уже потом я понимал , какие мат. операции использую, но доходил до всего сам

@allbirths 3 жыл бұрын

@@trushinbv очень странное чувство, когда используешь свои методы, и, оказывается, где-то это изучается. Интегрирование и производная, вот что я воспринял из ВУЗа и нашел этому применение, а работа со степенями, остатки, разложение на множители. Говорят, что в нашем Казахстане с образованием все еще хуже стало(

@allbirths 3 жыл бұрын

@@trushinbv как же вы круты, а..., на месте Трампа, я бы всех топовых ютуберов по математике пригласил к себе. Наше образование не современно, поэтому у нас нет никакой возможности для прогресса, а от русского все больше казахов желают отказаться, ведь их просто ничего не надо. И да, я не нуб, при всей новизне тестов для нас, где можно косякнуть, не то закрасить, 90 и более % набрал по естественным наукам.

@user-vr7si9sb8m 3 жыл бұрын

💪💪💪

@user-zn1qv2dy7u 5 жыл бұрын

Блин, теперь спокойно на какие-о факты из теории чисел без доказательства смотреть не смогу) А можете посоветовать учебник, в котором подробные доказательства теории чисел есть?

@irinaprokofieva2813 Жыл бұрын

👏👏👏👏👏👏👏

@trimamatrimama2717 Жыл бұрын

Добрый день, я что-то запуталась, а почем мы ищем остаток от деления не 2 а 16 на 17 и 15?

@user-po9cn9og2g 5 жыл бұрын

y=ax+b это ур-ние прямой. остаток от деления на х это стартовая точка на координате у. Кол-во делений на х это тангенс угла наклона а. Походу линейная алгебра?

@darsalim1 4 жыл бұрын

После слова "ну почти" 22:24 не со всем разобрались:-)

@danilpankov8114 5 жыл бұрын

Ждём теорему Эйлера.

@zenfiramamednabiyeva2519 2 жыл бұрын

118^13-1 делить на 169 3^21-2^24-6^8-1 делить на 1930 Не могли бы обяснит решение этих примеров

@user-bs4lq3jn3s 8 ай бұрын

Смотрю это после бакалавриата для прохождения собесов в топовые IT-компании

@enotchannel8178 Жыл бұрын

Учусь в летней школе СУНЦ НГУ . Очень познавательно, сейчас проходим эту тему)

@user-wo9eu1wi6h 3 жыл бұрын

Здравствуйте, 10:26, когда вы доказывали для другой стороны a-b кратно по m, то вы сказали: " ... предположим, что у a и b разный остаток...", так мой вопрос в чем , какие числа можно подобрать вместо a и b, чтобы у них при делении по модулю на m был разный остаток?

@ninavoron12 2 жыл бұрын

любые, которые при делении на одно и то же число дают разные остатки. Это утверждение противоречит тому, что а-в делится на m

@user-qp1ui4jk4r 3 жыл бұрын

МОЛОДЕЦ!!! Это надо рассказывать в классах (Школе) с математическим уклоном. Жаль, что появляются "деятели", которые говорят, что математические школы в России не нужны.

@oldslib 3 жыл бұрын

Это вроде и есть в 8 классе в классах с мат.уклоном

@user-zg4pd9hb9l 5 жыл бұрын

20:08, возникла проблема с пониманием. Как мы нашли остаток при делении 4 на 15? Помогите пожалуйста

@trushinbv 5 жыл бұрын

Если a меньше b, то остатком при делении a на b является само число a. Вспомните определение остатка.

@user-zg4pd9hb9l 5 жыл бұрын

@@trushinbv спасибо огромное!

@aidarbegimbetov9328 2 жыл бұрын

Тоже не понял сначала. Спасибо за вопрос. Ну и за ответ от автора конечно тоже. Вот что значит маленький пробел в школе...

@murlov2269 3 жыл бұрын

Здравствуйте, когда мы говорим что 4 * 16^(504) ≡ 4 * 1 (19:52), четверка остается неизменной, потому что 4 ≡ 4 и 16^(504) ≡ 1 можно перемножить, как на 13:06?

@trushinbv 3 жыл бұрын

Да

@murlov2269 3 жыл бұрын

@@trushinbv спасибо

@user-mk3zf3ew7h 4 жыл бұрын

👏👏👏

@bomjara123 Жыл бұрын

12:30 важное свойство

@lz-ym5eq 5 жыл бұрын

Борис Викторович, скажите пожалуйста можно ли эти факты ( и все ли их) использовать на егэ без доказательства?

@trushinbv 5 жыл бұрын

Почти во всех школьных учебниках за 7 класс эта тема есть "под звездочкой". По крайней мере точно есть у Петерсон и Никольского. Думаю, что на это можно ссылаться на апелляции, если вдруг снимут баллы )

@user-zu2sy2lq6t 4 жыл бұрын

Борис Викторович, остаток деления a // b находится в диапазоне (0, b-1), но разве он всегда должен быть положителен? Если ввести divmod(-10, -4) получим (2, -2). Остаток больше b, это ошибка в питоне?

@paz540 4 жыл бұрын

Нет. Это специфика процессоров Intel

@fullfungo4476 2 жыл бұрын

В этом видео не обсуждается сравнение по модулю отрицательного числа

@TheSlonik55 2 жыл бұрын

Типа тригонометрического круга.

@juyeong7117 3 жыл бұрын

Доброе время суток. Интересует решение такого тождества: X ³ ≡ 1 (mod p) p - простое число. Очевидно что одно из решений x = 1, как найти остальные решения. X ³ это частный случай. В целом интересует решение для тождеств где икс в степени n. X ⁿ ≡ 1 (mod p) Спасибо.

@Mcsi1ver Жыл бұрын

интуитивно понятно что остальные решения X ³ ≡ 1 (mod p) - это kp+1 и -kp-1 где k - любое натуральное число или ноль.

@user-zu2sy2lq6t 4 жыл бұрын

мне кажется не хватило пояснения почему 24 сравнимо с 7 (mod 17) - любое число представимо в виде a = 0 * b + r

@trushinbv 4 жыл бұрын

Мы же первые 10 минут про это говорим.

@vic88tor 5 жыл бұрын

ЙотаКошерно!

@user-nt4tu4dt3i 3 жыл бұрын

21:16 не понял какое 33 , что происходит

@user-by1tf9we3x 4 жыл бұрын

Почему 10 сравнимо с -1 по модулю 11? Как так записать 10 и -1, чтобы у них были одинаковые остатки? Не использую то, что их разность 11, следовательно делится на 11 и что 10=11×1-1

@user-do5tn3jt2m 4 жыл бұрын

10 = 0 * 11 + 10 -1 = -1 * 11 + 10

@user-by1tf9we3x 4 жыл бұрын

@@user-do5tn3jt2m спасибо!