-2, без уравнений и подсчётов 😊 Логика решения: если квадрат больше куба - число возводим отрицательное, чтобы минус на минус дало плюс. А дальше всё просто. Сумма х² и х³ равна 12. 🙂

Корень х=-2 находится "методом пристального взгляда". Затем делим кубическое уравнение на (х+2).

Можно еще решить это уравнение графически. Построить графики функций у=х²-12 и у=х³. Эти графики пересекутся в точке (-2; -8) Т.е.х=-2. По рисунку будет видно, что эти графики пересекаются только в одной точке. Т.е. данное уравнение имеет только одно действительное решение.

Сразу поняла, что х отрицательный, подбор мне показался самым здравым, ибо числа маленькие, в итоге написала 4 строчки. Ура я в Оксфорде!

Сразу самооценка повысилась, после того, как в уме эту задачу решил P.S. это стеб над теми, кто нашел один икс за 10 сек. Объясняю для непонимающих

Единственный предмет, по которому я скучаю с момента окончания школы в 1979 году - это алгебра. Как можно из огромного выражения получить маленькое, упростить! Или найти решение уравнения. Всегда обожала. Никаких трудностей не было, никогда. Замечательный предмет, и как же хорошо, что я наткнулась на ваш канал!

Спасибо Вам за такое понятное простое объяснение. ❤ вспомнилв шуолу. Все таки хорошо нас раньше учили. Уже почти 40 лет, как школу закончила, а в памяти все всплывает.

Увлекательно! ❤

Я решил задачу для поступления в Оксфорд, но сильно туплю на уроках)

Автор хорошим делом занимается :) мои прямые извилины начали наконец-то искривляться!

удивляюсь как много умных людей в комментариях , под каждым роликом .... все решают в уме любую задачу и т.д.

Приятно вспомнить математику. Спасибо.

Для вступления в Оксфорд скорее всего комплексные корни тоже считать надо и решений будет 3)

Это скорее не про знания и понимание, а про натренированность решать конкретные задачи.

Отличное решение))) Но в общем виде, когда у нас есть кубический полином, и задача - найти все решения (они обязательно вещественные?), то у нас есть 3 корня, как и у любого другого кубического полинома: -2 и (3±i*sqrt(15))/2, то есть среди корней есть один чисто вещественный и два комплексных

Спасибо. Ушло в копилку. Для школьников всё-таки в первую очередь предложу арифметический способ (для 6-7 классов). И за полное изложение презент

Когда переносим что-то в другую сторону, то надо перенести с противоположным знаком

Можно и теорему Безу и деление многочленов в столбик. подобрать многочлен x-a не составит труда, методом подбора делителей числа 12, ясно, что a=-2. Далее просто делим и находим вторую скобку ax²+bx+c.

Разве "12" вначале переносится не с противоположным знаком?

Для уравнений вида X^n + a*x^(n-1) + ... + z*x + C = 0 где n - целое положительное и C - целое, если есть действительные целые корни, то они находятся среди делителей числа C. Быстро подбирается 2, далее многочлен делится по схеме Горнера и показывается, что больше корней нет

Сразу было понятно по кубу - что число должно быть отрицательным, а поскольку сумма небольшая, то перебором в уме на первых же секундах понял что это за число.

Спасибо, очень интересно

Агонь) спасибо

В школе разбирается более простой способ решения: как вариант, корнем может быть делитель свободного члена. Сразу определяется корень x1 = -2. Два других - решение квадратного уравнения.

Вариант вынести за скобки икс в квадрате тоже перспективен.

При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую необходимо поменять знак.

Но есть более короткое. Вынесем x^2 за скобки. Получим x^2(1- x) = 12. Тогда получается произведение двух последовательных чисел равно 12. А это 3*4 =12. Так как x^2>0, то 1- x тоже > 0. Значит x= 2 и знак 2 с минусом.

Можно ещё прибавить 2*x^2 и отнять. Или сразу поделить многочлен в столбик на x+2 и получить нулевой остаток. Главное, угадать, что за скобку должно вынестись именно x+2. Хотя стандартно для этого обычно перебирают целые множители свободного члена. То есть, надо прикинуть, чем разложение на множители 12=(-2)*(-6) лучше остальных.

У меня голова заболела... Ну вас, математиков...

вообще тут решение было очевидным. Самое первое, что пришло в голову, что нужно попробовать что-то сократить через формулы суммы/разности квадратов и кубов. Ну а дальше ищем суммой какого куба и квадрата является 12, и готово. (x + 2) - у меня получилось по разные стороны от равно, что означало, что при x+2 может быть равно нулю, или же остальные множители должны быть равны между собой. Хотя честно, я очень не люблю такие задачи, потому что к ним невозможно сформулировать общий алгоритм решения, и всё сводится к "давайте заметим" :) И это один из немногих случаев, когда я заметил... обычно не замечаю (возможно тут специально сформулировали задачу так, чтобы не заметить было сложно при некоторых базовых знаниях и умении их применять)

Ласкает ГЛАЗКИ!!❤

Можно перебором. Не так много вариантов. А можно два графика построить... y = x^2 и y = x^3 + 12 и найти пересечение.

Ответ сразу в уме пришёл) Учитывая что х2 - х3 равно положительное значит Х в любом случае отрицательный и чем Х меньше тем больше х2 - х3 -1 не подходит, -2 подходит, -3 уже много а дальше ещё больше

Умные мысли привели меня на канал, только я вот ничего не понял, но было интересно.😄

Аж смешно))) Ну без всяких уравнения -2. Ржунимагу))))

А можно просто х^2 вынести за скобки исразу определить, что (-2) это решение.

Браво! В конце 90х в институте математик такого плана любил давать! Спасибо!

Хороший пример и решение.

В Оксфорде попросят 3 корня с комплексными числами, так что к сожалению автор не прошел вступительный 🤷🏼😬

А ка Вы перенесли 12 с правой части уравнения в левую со знаком плюс???

-Что это, Билл? -Где? -Там, на горизонте 9 класса. -Это схема Горнера, Том. И она идет за нами...

Прикольное решение, спасибо

Еще достаточно в уме или на листочке нарисовать примерный график функции, чтобы сразу понять один из трех корней. И что два других будут комплексными.

Решается в уме разложением на множители левой и правой части.

Спасибо, очень интересно. После праздников своим сотрудникам дам, пусть решают. Хорошо, что есть возможность заработать, и нанять тех (за относительно небольшие деньги), кто может решать подобные задачи. Хотя мне лично это не нужно. Я решаю задачи совсем другие, гораздо более сложные.

Все такие умные, в уме решают подбором, но в экзаменационном листе не напишешь "Ну я решил подбором"

Задача в уме решается.

В условии задачи нет ограничений на только действительные числа. Поэтому надо работать и с мнимыми числами. Кроме того, основная теорема алгебры говорит, что число корней равно высшему показателю степени уравнения, т.е. решений должно быть три. Так что предоставленное решение не до конца полное. В старые добрые времена за предоставленное решение можно было схлопотать пару.

А что нужно делать первым делом, возводить в степень или вычитать?

Если нужно просто быстрое решение без доказательства единственности - пристальный взгляд сразу видит 3*4=12. Два просится сразу. Минус - у меня с секундной задержкой. В Задачнике Магницкого все задачи гораздо интереснее. Поскольку их решали крестьянские дети - условия без формул и в простых числах. И чтобы их решать мне лично потребовалось заблокировать весь школьный курс алгебры (это относительно просто) и натуральные дроби (сложнее). После этой процедуры все решается просто и изящно - и тоже только словами. В свое время получил истинное удовольствие - в первую очередь от практичности и изящества формулировок условий. Интересующимся рекомендую поискать этот задачник. У меня издание где-то конца 1970-х (уже давно не под рукой - только если внукам понадобится. Так что точных выходных данных подсказать не могу). А вообще решение подобных задач требует только натасканности, даже не тренировок. В школе меня натаскивали к олимпиадам и я на каждом уроке математики десятками решал тригонометрические тождества - пригодилось в Радиотехническом институте: я оказался готов заниматься именно радиотехникой, поскольку не нужно было к экзамену запоминать все банальные тригонометрические преобразования. (Не все у курсе - теоретические основы всей радиоэлектроники есть тригонометрия).

Остальные 2 корня это ( (3 + i * scrt(15) ) / 2) и ( (3 - i * scrt(15) ) / 2)

Доброго здоровья - можно привлечь графически-логический способ - x^3 растёт быстрее x^2 (а тот ещё и отстаёт на 12) - а значит в положительных x графики не пересекаются. Значит ответ можно искать в отрицательных х - он ищется в уме - и графически видно, с привлечением той же логике о скорости возрастания куба относительно квадрата, что в отрицательных значениях корень - единственный. Но для полноценного поиска корней, в том числе мнимых, разложение на множители (х-корень) естественно эффективно. ☮

Если задача просто найти корень. Рисуем график х^2, потом график -х^3. Складываем их вместе и находим пересечение с 12. Даже не обязательно всё раскладывать. Можно конечно потратить время и разложить как в ролике.

Тут достаточно было просто понять, что если из квадрата вычитают куб и получается положительное число, то это явно отрицательный корень, а дальше легко подбирается:)

Уравнения такого типа мы решали в школе давно, в 70-х годах. Может, сейчас в школе таких уравнений не дают, но в наше время их было много.😊

Ого, как все усложнили! Задача на полминуты на подумать и решить в уме. И да, я сильно сомневаюсь, что в Оксфорде задают на вступительном экзамене задачу за 7 класс.

То что "точно не пересекутся" это довольно отсебяческий аргумент, но если нужно доказательство, то вот красивое: решением будет только отрицательное значение аргумента функции ( при x>1 функция всегда отрицательна, 0

Эж элементарно решается. Если X>1, то третья степень X будет больше квадрата X, а значит (X**2 - X**3) будет отрицательным, и уже никак не может равняться +12. Для положительного 0

Решил в уме перебором просто увидев картинку. Потом подумал что проще всего решить нарисовав графики функций)

А почему 12 перенесли влево, но знак на минус не поменяли?

я пытался решить логически 2 варианта: либо х +, либо - в с лучае +, значит, что из положительного отнимается положительное и получается положительное, то есть первое число большего второго, но это может произойти только если число дробное (т.к. только в таком случае число в 3 степени может быть меньше числа во 2) то есть число отрицательное по итогу выходит, что х < 0, но все равно результат будет положительным (четная степень=+, а у нечетного впереди минус, -(-)=+) берем -3; 9+27, нет -2; 4 + 8 = 12 (хотелось сразу 2 взять, но для примера в комменте взял) P.S. больно просто... будь не было слово оксфорд, то сразу дал бы ответ -2, а так думал, вдруг какая та уловка

На самом деле, легко угадать корень x=-2. Сначала можно заметить, что у этого уравнения не может быть корней больше 1, иначе выражение слева становится отрицательным. Но и от нуля до единицы тоже корней быть не может, т.к. выражение слева будет меньше явно меньше 12 (на самом деле меньше единицы даже). Тогда начинаем перебирать отрицательные числа, и легко угадываем -2. Дальше исследуя функцию на экстремумы, промежутки возрастания и убывания, находим, что у нее не может быть больше одного корня. А значит он и есть -2.

We have x² (1 - x) = 12. Now if x is going to be any nice solution, we can just use the fact that 12 factors into 4 times 3. Further, we observe that x² > 0 for all real x. Hence, to get positive 12, we must have 1 - x > 0 as well. If x is any integer solution, we must therefore have x < 0. Finally, we observe that 4 is a square number and we have an x² term, thus x² = 4 x = -2. Lucky guess, because 1 - (-2) = 3 and together we have 4 * 3 = 12.

В Оксфорде могли бы и за комплексные корни пояснить)

сразу посмотрела и -2 сказала. очевидно, но стоило посмотреть на случай, если есть иррациональные решения

Если в левой половине уравнения х вынести за скобки, то 1) сразу становится ясно, что х число отрицательные, а 2) простым подбором уравнение решается уже с первого раза.

От оксфордовской задачи я ожидал, что будут требовать не только действительных корней. Может второе уравнение тоже надо было решить?

Правильно заметили некоторые, задача для устного двухсекундного решения. Видимо, в Оксфорд поступают те ещё гении😂

Блин, а нам такие в ПТУ задавали, знал бы лучше б в Окфорд пошел, сейчас бы может не был сантехником

Можно решить проще, просто, после разложения 12, вынести 4x^2 за скобку

Помню мне двойки ставили в школе, за подобные "простые решения", не по теме контрольной работы. Вроде как учителей и можно понять. Я же не усвоил, чему они меня учили получается, а применяю знания из четвертого класса только...🙃

По поводу переноса знаков , для тех кто не понял: x^2-x^3=12; Переносим Х с большей степенью в левую часть уравнения, получаем -X^3+X^2=12; приравниваем уравнение к нулю, получаем: -X^3+X^2-12 =0; для того чтобы убрать минус перед первым слагаемым уравнения делим его на -1(минус1), в итоге и получаем : X^3-X^2+12=0

Эмпирически задача решается меньше чем за минуту. Как уже заметили другие комментаторы - сперва определяем, что х отрицательный, потом что его куб по модулю меньше 12, первое пришедшее в голову число 2 уже подходит, остается добавить ему знак минус.

Видео выпало в ленте,с заглавной фоткой задачи. Решил не открывая видео подумать. Если (х)- это одно и тоже число,то степень (показатель "емкости,объёма") этого числа. А от меньшего "объема" отнять больший "объем" (СТЕПЕНЬ) и получить при этом положительное число,то явно видно что "заморочка" в минусе. То есть (х) должен быть с отрицательным знаком. Поставил вместо (х) минус два (-2). И у меня сошлось. Потом открыл видео. Как по мне,в видео много лишнего. Важно знать что "минус на минус даёт плюс" а "минус на плюс даёт минус" Этим правилом я и руководствовался когда решал эту задачу. Автору респект,за популяризацию алгебры.. А мне уже 50 стукнет. Вот что значит Советское образование.

Полезно использовать графики функций, что многое проясняет.

Всегда думал, что при переносе через "=" знак меняется на противоположный. Как было +12, так и осталось.

Методом замены переменной намного проще. Икс квадрат заменяет на t и решаем обычное квадратное уравнение.

Ну или так: Выкидываем -х^3 за знак "=". Получаем: х^2 = х^3 + 12, т.е. х^2 > х^3. Сразу напрашивается вывод о том, что под х-ом отрицательное число. Т.е. "-"^2 = "+", тогда как "-"^3 = "-". Из выше сказанного следует, что нужно подобрать число, сумма квадрата и куба которого будет равна 12. 1 не подходит, а 2 - это самое то (2^2 + 2^3 = 4+8 = 12). Не забывем про минус, и получаем: х = -2.

Матиматика это прикольно. 23 года назад у менябыли на руках книги для вступления в два разных университета. Я решал по темам все задачи с самого нуля, каждый день, уже не учась в школа, а после школы год был в техникуме. Каждый вечер лежал на кровати, с книгами, тетрадями, калькулятором и решал. Все решил в итоге. Из самых сложных, брал задачу, пробовал решить, если не получалось, то смотрел ответ и по ответу догадывался как выполнить решение. Таких задач было очень мало, но именно догадаться по решению из 4-7 символов как решена огромная задача очень интересно было. И все контрольные были решены на 5. Это было великолепно.

Наверно это не правильно, но просто методом подбора посчитал что это не ноль и не положительное число, взял -2 и получил ответ.

Подбором x=-2 корень. Разделив на x+2, в столбик или по схеме Горнера, получим (x+2)×(x^2-3x+6)=0, D=-15

А можно разложить из x´2 - x’3 в x*x-(x*x*x) и решить уравнение хотя, можно решить как-то по другому ?

-2 подбирается как делитель 12. Дальше делится на x+2. Это очень простая задача.

Мне кажется для Оксфорда весь прикол в том, что нужно ещё обозначить комплексные корни)) а значит на видео задача решена не совсем правильно

А в чем проблема график нарисовать и увидить что подойдёт только х=-2?

Сразу начал подставлять и получил равенство, дальше досмотрел видео.

12 + 12 = 0, очень интересно, а про правило переноса с противоположным знаком для слабых

Всё это, конечно, интересно, но объясните, чем принципиально отличается угадывание корня х=-2 от угадывания, что 12=8+4, а не 28-14, например. И то и другое суть подбор "на удачу", притом, что такие уравнения разрешимы в радикалах.

Решение минус 2 приходит в голову сразу, а чтобы доказать, что других корней нет, нужно разделить правую часть (х3-х2+12) на (х+2). Так гораздо быстрее получится (х2-3х+6) и всё. ЧТД. Буквально в одно действие.

В общем виде задача может быть решена аналитически. Из восьми вариантов ( по два знака на три коэффициента) осталось два варианта, остальные варианты симметричны друг другу). Первый вариант встреча на параллельных курсах и второй вариант встреча на встречных курсах. В обоих вариантах при свободном члене не входящим в отрезок от -1 до 1, есть лишь один корень. А его ищем методом подбора.

Решил в уме за примерно 10 секунд. Остался доволен собой)

Почему просто не угадать корень по следствию из теоремы Безу, он должен быть среди делителей целых чисел свободного коэффициента и потом поделить всё уравнение на скобку (х-х1), понизив порядок до 2

Сдаётся мне что в Оксфорде знают про комплексные числа😊 Х2= -1,5 +j1,94; X3= -1,5-j1,94

Класс!

После окончания университета задача кажется очень простой. Возможно после школьной программы могут возникнуть сложности.

Есть легче способ, x^2-x^3= 12. X^2(1-x)= 12, расписать все множители 12, 1*12,2*6….. с минусом не берем, потому-что Х^2= должен быть больше 0, дойти до 4*3=12, потому-что только корень из 4 это целое число, расписать Х=2, или -2, подставить во вторую скобку и понять, что если Х=2, тогда будет 4*-1, а это не 12, подставить Х=-2 и выйдет 4*3=12, ответ: Х=-2

Устно решил за секунд десять. Может мне пора в Оксфорд?

Сразу,не перенося 12, разложить на множители и корень ,как на ладони 😊

Слишком сложный ход решения. Проще рассмотреть по теореме о рациональных корнях все потенциальные корни (их не так много) и воспользоваться схемой Горнера

А почему 12 с правой стороны уравнения перенесли с положительным знаком? И почему Хы поменяли местами и знаки их поменялись тоже?