Отличное видео! Показал ему своему младшему брату, который учится во втором классе - ему понравилось.

Это как нарисовать сову! Рисуем овал...ииии....дорисовываем сову! Всё! Готово

Алексей Владимирович, есть два замечательных учебника по алгебре уровня бакалавриата, которые включают модули, тензорное произведение и начала гомологической алгебры, по которым вполне легко учиться самостоятельно: 1) Algebra: Chapter 0, P.Aluffi 2) Abstract Algebra, D.S. Dummit, R.M. Foote В них огромное количество простых упражнений для освоения терминологии. Попробуйте изучать материал по ним, думаю что пойдет быстрее.

Это очень ценный опыт в том смысле, что мы можем наблюдать, как математики думают, когда пытаются постичь область.

Зашёл, чтобы впечатлиться от непонятного. Получилось!

- Папа, а с кем ты сейчас разговаривал? (С)

я же не один не понял ни одного слова?

Правильно на тензорное произведение смотреть так: Пусть дано кольцо A, правый A-модуль M и левый A-модуль N. Тензорное произведение M и N - это абелевая группа M*N вместе с билинейным отображением B: M x N -> M*N, такие что любое билинейное отображение M x N -> C в произвольную абелевую группу C является композицией отображения B и единственного гомоморфизма групп M*N -> C. Доказывается, что тензорное произведение существует и единственно с точностью до канонического изоморфизма. Еще более правильно определить тензорное произведение M*N на языке категорий как абелевую группу представляющую функтор из категории абелевых групп в себя, сопоставляющий каждой абелевой группе C абелевую группу билинейных отображений M x N -> C.

После 10кратного просмотра всего курса эзотерической теории групп Романа Михайлова, и изучения википедии, - какие-то термины и общие понятия знакомы, некоторые даже как будто понятны, (или только кажутся, проверить невозможно). Самому с нуля разобраться в этом невозможно, или по меньшей мере 20кратно сложно, пока найдёшь релевантные источники, чтобы эту "лестницу" построить, от основ до какого-то понимания специальных областей. Математика это натурально вавилонский язык (или универсальный, но от этого не легче), стоит посмотреть любую статью в ветке математики вне знакомого контекста - и эффект: буквы знакомые, слова - нет, и смысла нет, хотя где-то немного угадывается. Углубляешься - только запутаешься. Нужна именно лестница от основ к последующим понятиям, итеративно. Теории схем, категорий, абстрактная алгебра, топология, та же теория групп, теория чисел, теория множеств - даже в рамках академического высшего образования почти невозможно охватить их все, да и кому это интересно..

Вот как Савватеев сказал ,что между этажами математики прыгать нельзя, так и я из всего видоса понял только слово произведение . Да и зачем мне это на первом курсе............

Такое ощущение, что этот ролик больше для себя записан. Впрочем, от этого не хуже. Когда-нибудь и до этого уровня доберусь, вернусь и пересмотрю. :)

Привет от первокурсника с соседних высоток! Не так давно открыл для себя мир алгебры, и вот уже потихоньку втягиваюсь, ботаю по Винбергу и смотрю ваши лекции по теории групп)

Знаю что такое тензор, что такое абелевость группа, а вместе как торт с кремом. Попытаюсь понять)

во-первых, прямую сумму/тензорное произведение абелевых групп можно воспринимать как аналоги объединения/произведения множеств: если в прямой сумме мы берём объединение образующих, то в тензорном произведении мы берём их упорядоченные пары. во-вторых, тензорное умножение фиксированной абелевой группы на другую, которая при этом имеет структуру кольца, можно воспринимать как замену коэффициентов, т.е. таким образом мы получаем возможность умножать элементы нашей группы на элементы произвольного кольца R, а не только на целые числа (иными словами мы дополняем нашу группу до R-модуля, а в случае когда R является полем, то вообще до векторного пространства). отсюда видно, почему произведения из видео ведут себя именно так: если мы домножим группу на Z, то замены коэффициентов фактически не происходит, так как мы уже умеем умножать элементы на целые числа, а если мы домножим Z/nZ на Z/mZ где m, n - взаимно просты, то мы по сути говорим, что умножение на m в Z/nZ теперь является нулевым, а раньше было обратимо, т.е. буквально 1=0, таким образом их произведение действительно тривиально. ну и напоследок тензорное произведение абелевых групп является частным случаем тензорного произведения R-модулей (т.к. абелевы группы = Z-модули), которое определяется в точности также, но только с линейностью по R (при R=Z линейность эквивалентна гомеоморфности).

Ну без вводного видео или ста грамм не разберешься, а пить как-то не хочется.

Встал из-за стола, подошёл к окну, много думал, плакал

Ничего не понял, но очень интересно ©

Ну вот, отлично, теперь и я тоже нахожусь в позиции Алексея: вроде бы и всё написанное понял, но что-то не могу нормально в голове себе интуитивно эту конструкцию соорудить, как и не понимаю до конца мотивации к такому извилистому определению)

Большое спасибо за лекцию в Сириусе, было интересно и даже весело)

Отличное видео! У каждого человека должна быть своя собственная теория, своё мнение. Так держать!

Вроде бы, ответ на вопрос в конце ролика - да, и доказывается это прямой проверкой: Мы хотим доказать изоморфность (A/I) (x) (A/J) и A/(I + J) Строим отображение самым ожидаемым образом: F: (A/I) (x) (A/J) -> A/(I + J) F([a] (x) [b]) = [ab] Корректность F: Если [a] = [a'] в A/I, то ab - a'b = (a - a')b - элемент I, а значит и I + J, то есть [ab] = [a'b] в A/(I + J). Остальные случаи аналогично. Инъективность F: Допустим F([a] (x) [b]) = 0. Значит, ab лежит в I + J, т.е. ab = i + j, для некоторых i из I, j из J. Тогда [a] (x) [b] = ab [1] (x) [1] (модуль плоский) = [ab] (x) [1] = [i + j] (x) [1] = [j] (x) [1] = j [1] (x) [1] = [1] (x) [j] = [1] (x) [0] = 0 То есть ker F = 0, а значит F инъективен. Сюръективность F очевидна: Для любого [a] из A/(I + J) F([a] (x) [1]) = [a] Итого, F - изоморфизм

Не про тему ролика, но хочу давно спросить, насколько хороша Вторая школа (лицей в Москве) для изучения математики?

Господи… как жаль, что я тупая…

воот это норм! спасибо Вам Алексей! А планируется ли когда нибудь в обозримом будущем про тензор Римана рассказать чего нибудь?

Интересная лекция, развивает воображение, приводит в порядок ум, но самое главное побуждает искать новое в нашем мире, где, на первый взгляд, уже все открыто и изучено.

Сегодня будет достаточно простая лекция (с)

Полез в «шапку» ролика - туда ли я попал? Из четырёх слов в названии понял только одно. Схожу пока к Земскову с Трушиным.

Я так понял, что если посмотреть с верху , то с боку кажется, что с низу ничего не видно. А так отличный ролик. Саватеев лучший !!!!!!!!!!!!!!! От этого мир только выиграет.

Можно, наверное, сделать несколько проще, если я правильно понимаю. Выписываем формально тензорное произведение по элементам обоих групп, дальше замечаем, что по определению модуля (можем реализовать скаляр суммированием элемента группы) и тензорного произведения (можем затащить скаляр в одну из частей тензорного произведения) n*а(×)b = a(×)(b+... +b) n раз = а(×)0 = 0

У меня это появилось в рекомендациях, н@я не понял, но очень интересно

Как мне видеться стоит как следует разобраться в тензорной алгебре и градуированных алгебрах.Затем все эти цепочки понимать довольно легко

Что здесь происходит. Это ваще какой предмет. Как я сюда попал. Мне страшно. Мама, спаси

"Ну это понятно всё, а что делать то...?" Надо идти вынимать Фокса с кичи... 🤣🤣🤣

Дружище, спасибо за Ваши старания! Первое впечатление: Ничего не понял, но очень интересно!! ...Смею Вас успокоить, сказав, что отображение - всегда нулевое (в понимании Ваших утверждений). ...Если Вы живете в Гатчине, давайте будем делать утренние пробежки вместе. ...Вы часто делаете акцент на количественном описании слагаемых, пренебрегая вектором градиента Вами же описываемых объектов. ... Очень внимательно наблюдаю за Вашими трудами. Спасибо! Вы - гений! ...А бегать и отжиматься от пола - тоже надо! Очень хочу с Вами познакомиться и общаться! А давайте по WhatsApp будем делать утреннюю зарядку (?) ! Жду ответа!

Больше когомологий, этальных, мотивных и разных!

тот случай, когда из названия ролика знаешь только слово "произведение"!

Увидел заставку, и сразу подумал - ну точно КАТАРСИС будет).

Что же, абелева группа - это модуль над Z, так что сразу понятно, что такое их тензорное произведение

круто, ничего не понял, но интересно

Недавно подписался, хотя в релейтеде часто попадались. Задам вопрос. Тема канала - шикарная, ведущие - шикарные, подача - шикарная. Но кто вам такие превью придумывает? И, главное, зачем?

Посмотрел, сразу на ум пришла фраза про меня: "Штирлиц еще никогда так не был близок к провалу...."

Смотрю на 1.75х и успокаиваю себя лукавым чувством "ну всё в принципе логично"

Превью ништяк👍

Про факт в конце(набросок доказательства,полное доказательство в качестве упражнения): Обозначать классы эквивалентности будем как [a] ,тензорное произведение при помощи значка #. Пусть A - коммутативное кольцо;I,J - его идеалы.Доказывать то,что нужное кольцо - тензорное произведение будем при помощи основного свойства: Построим билинейное отображение h : A/I x A/J -> A/(I+J) след.образом: h([a],[b]) = [ab].Пусть t : A/I x A/J -> C - билинейное отображение. Построим гомоморфизм g : A/(I + J) -> C след.образом: g([ab]) = t([a],[b]) = ab * t([1],[1]). Легко понять,что это гомоморфизм. Но как понять,корректно ли он задан?Для этого нужно воспользоваться след.рассуждением : Пусть w = i + j принадлежит I + J(i,j принадлежат I,J),[s],[k] принадлежат A/I,A/J.тогда w*t([s],[k]) = i*t([s],[k]) + j * t([s],[k]) = t(i * [s],[k]) + t([s],j * [k]) = t(0,[k]) + t([s],0) = 0. Понятно,что g ° h = t,и что любой подобный гомоморфизм равен g. Следовательно (A/I)#(A/J) ≈ A/(I+J). (То,что где-то я бездоказательно говорю "гомоморфизм" или "билинейное отображение",значит,что возможность доказать это предоставляется читателю).

Мне кажется, что эта и подобные темы уже больше не про способности, а про мотивацию. Тензорное произведение модулей лично для меня более мотивированным выглядит, поскольку те же конечно порождённые проективные модули играют важную роль в конечномерной геометрии -- они мне ближе в итоге. А заряд мотивации от геометрии мне самому пришёл в тот момент, когда я узнал насколько естественно конечномерные гладкие многообразия оказываются спектрами гладких алгебр. Рассказывается это за 5 минут, но требует обоснований. Хотя уже из самой конструкции понятно, что по алгебре гладких функций (с точностью до изоморфизма) тем способом мы просто обязаны восстановить именно исходное многообразие, слишком естественный подход. Идея такая: будем идти от гладких функций вместо точек, поскольку всё дифференциальное исчисление (для которого как будто и нужна была изначально гладкость исходного многообразия M) завязано только на них. Обозначим через A абстрактную R-алгебру, изоморфную алгебре F гладких функций на M (тут R -- действительные числа). С точки зрения настоящей функции f на M любая точка x выглядит как то, что сделает из f действительное число (подставившись в неё). В частности, точка x теперь является и отображением x: F --> R. При этом x так определяет гомоморфизм R-алгебр (с единицей). 1) Теперь имеет смысл надеяться, что спектр нашей алгебры |A| = Hom(A, R) можно будет как-то отождествить с M. При этом сама A тоже состоит из некоторых функций на |A|, если для a из A и h из |A| тупо положить a(h) равным числу h(a). Как будто так оно и было с f и x. 2) Следующий шаг -- с помощью топологии на R принести топологию на спектр: фиксируем на |A| самую слабую топологию, в которой все a из A непрерывны как функции |A| --> R. Окажется, что теперь |A| и M гомеоморфны. 3) Осталось восстановить гладкую структуру, но у нас уже как раз есть алгебра гладких функций A. С её помощью восстанавливается пучок, говоря, что на открытом множестве U из |A| сечениями пучка будут те функции из U в R, которые локально совпадают с кем-нибудь из A. Эта конструкция не аналогична спектру кольца, но так мы конструктивно восстановим M с точностью до диффеоморфизма. И это совершенно вынесло мне мозг когда-то. Рассуждения по-форме породили в точности всё нужное содержание. Вот уж неожиданная концептуальная победа формы. Честно говоря, запредельно красиво по-моему. Эта красота -- источник мотивации (пусть даже и немного с другой стороны). Всё это очень подробно есть у Джета Неструева.

Вот до чего доводит гениальность.

Пример бы фигуры взять и на практике расписать её.

Давайте это возьмем и тензорно умножим

Где курс-то? Заинтриговали.

Я просто читал название минуту потому что красиво звучить.

Когда уже пойдут видео по теории категорий?)

Похоже на Шифр Хилла. Вы правы

Привет! Вы часто говорите, что мотивацию человека невозможно описать математически. Я понимаю, что это не тематика вашего канала, но мне крайне интересно, что вы могли бы сказать в ответ на идеи Роберта Сапольски о поведении человека. Это достаточно именитый биолог. (понимаю, что апелляция к авторитету - не аргумент, но, возможно, это привлечёт больше внимания) Если кратко изложить их здесь, то наша мотивация определяется нашей биологией и базовыми потребностями, сформировавшимися в процессе эволюции. То есть мы получаем в некотором роде научный детерминизм, и, пусть сейчас мы не можем с высокой точностью угадывать поведение человека - не значит, что это невозможно. Меня волнует этот вопрос ещё со времён школы :D

Где-то на 10 минуте я словил катарсис, а к концу меня окончательно кокнуло...

Здравствуйте, Алексей Владимирович! Недавно я нашёл, по-моему, отличное определение тензорного произведения линейных пространств: если X и Y - линейные пространства, то можно рассмотреть их декартово произведение, то есть пары (x, y) со всеми их формальными линейными комбинациями, а потом факторизовать это множество: (x1 + x2, y) ~ (x1, y) + (x2, y); (λ x, y) ~ λ (x, y) и тд. Как мне кажется (могу ошибаться, конечно же), для групп тоже можно попробовать сделать так: Берём их декартово произведение G x K со стандартной операцией (g, k) + (g', k') = (g+g', k + k') и так же его (декартово произведение) факторизуем: (g1 + g2, k) ~ (g1, k) + (g2, k) и (g, k1 + k2) ~ (g, k1) + (g, k2). По крайней мере, кажется, тензорное произведение Zm на Zn получилось 0. Если, опять же, всё что я написал не бред...)))

в лабиринтах князя тьмы блуждая искушённый ум находит "смысл".

я звук выключу? без обид)

Я вроде искал видео с котиками, как я сюда попал...

Для чего оно!!

Интересно было бы узнать про само существование тензорного произведения абелевых групп.

12:07 зазвучал драматичный контрабас

Савватан изобретает модули над кольцом целых чисел 26 минут

а у вас нету случайно друга, который придет и расскажет про это популярно на стеклянной доске?

Было бы круто Рому Михайлова пригласить. Как раз по этой теме спец.

Из всего сказанного я понял только предлоги...

А нельзя ли это геометризовать на доске?

Для любого коммутативного кольца A, и А-модуля М верно A/I⊗M≅M/IM. Тогда, если М=A/J, верно и A/I ⊗ A/J≅(A/J)/(I⋅A/J)≅(A/J)/((I+J)/J)≅A/(I+J).

так держать :)

23.54 .....можем тензорно зафигачить.... единственное понятное слово

Что такое комплексы, фактор группы и гомологи?

Леша, вынеси попить

Это так появлялся сценарий фильмов "Матрица"?

но очень интересно...

Так а с чего начинать про гомологию?

До этого понятие гомологии знал только из химии)

Тензоры - единственная тема, что я не понял в универе(

Конеееечно! Ничегошеньки сверхестественного!))))

Я дам базу для мышления - заставтьте взлететь 6-ти коптер.

Тут, наверное, проще зайти через теорию категорий. Определение, которое Вы дали похоже на обобщённое понятие тензорного произведения в ТК (погуглил, действительно, это обычное тензорное произведение для категорий, взятое в категории абелевых групп). И оно обобщает обычное тензорное произведнние для линейных пространств на языке гомоморфизмов. Проще понять суть, если расписать обычное тензорное произведение в векторных пространствах на языке линейных отображений. Любое тензорное произведние в категориях можно переставлять с копределами, с прямыми суммами, в частности.

Я не чего не понял но интересно 👍

Где-то видел, пол-листа формул и уравнений и выаод: теперь мы уверенно можем сказать, что 2*2=4.)) p. s. физики шутят.

Господи... Какое холодное ноябрьское дежавю.. 25 лет назад. Хожу по библиотекам ищу книги чтобы хоть что-то понять в гомологиях и ничего не понимаю. Вкладываю в голову а оно не помещается и выпадает. Только из жалости преподавателей матфак закончил.

Алексей, есть убойный для интуиции пример. Тензорный квадрат квазициклической группы это ноль.

Нихрена не понятно, но смотреть интересно

Еслиб Савватеев не орал переодически то получилось бы прекрасное видео для крепкого сна.

И все-же, после вторичного просмотра ролика и прочтения комментариев у меня зародились смутные сомнения относительно единого понимания как предмета обсуждения, так и подходов (логики решения). Не являясь специалистом в теоретической математике выскажу некоторые свои сомнения. Постановка задачи достаточно расплывчата, что влечет и разное понимание участников обсуждения. При обосновании своего решения участники часто забывают в какой логике они дают обоснование, перескакивая с одной логики на другую и достраивают собственную аксиоматику на лету. Использование тензорного анализа представляется мне как нечто чужеродное из какой-то другой "оперы" . Использование интуиционизма, которым Алексей стягивает свои обоснования в целое не представляется достаточно обоснованным. Впрочем и сам интуиционизм мне не сильно нравится. Прошу не относиться к сказанному выше слишком строго и любую критику в свой адрес приму с благодарностью.

да вы мой любимый, а давайте в римановом многообразии?!

Сказать честно ничего лучше лекций А.Н.Вавилова по алгебре групп я не смотрел,егоилекции лучше сухих учебников

Максимально охуевать я начал с одиннадцатой минуты. Спасибо за видео

Показал математичке, с тех пор она больше не появлялась в нашей школе

Добрый день, Алексей Владимирович, подскажите, пожалуйста, как рассчитать эффективность вакцины от Повидла, если известно, что привито 80% населения, а в больницах с заражением Повидлом лежит 65% вакцинированных. И достаточно ли данных для этого расчета? З.Ы. Большое спасибо за ваши просветительские ролики!

МАТКУЛЬТ ПРИВЕТ!!!

жесть какаято

О! Савватан до Гомологий, Гомотопий доехал. Интересно.

Страаааашно далеки они от народа. Не увидел области применения. Увы. ("Игра в бисер" - один в один)

Зашёл чисто комментарии почитать. В удивительное время живём, плеваться нельзя, кругом одни кандидаты, доценты и доктора, только вот и наука в жопе, и сраный саморез закрутить некому.

Не, ну так то, всё прально...

Я честно все лекции Ромы Михайлова Просмотрел по теме По кр. мере немного понимаю...

Вы там что, дождь вызываете?! Какието заклинания говорит...

Вот спустится Тот 21 декабря - покажет нам маткульт привет с сакральной геометрией