トポロジーって何が面白いの？美しすぎる数学の問題

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2 жыл бұрын

この動画は3Blue1Brownの動画を東京大学の有志団体が翻訳・再編集し公式ライセンスのもと公開しているものです。
チャンネル登録と高評価をよろしくお願いいたします！
※翻訳上今回難しかった点を補足
「異なる2つの2点のペア」
は元の動画では"two distinct pairs of points"です。
ペアといえば2点のペアなのは当たり前なのですが、「2点の」が無いと
「異なる2点のペア」となり、「異なるペア」であることが分からなくなるためこの表現になりました。
「マッピング」、「一致させる」、など
"mapping"には数学の用語としての写像という意味がありますが、この動画は高度な数学的知識がない中学生や高校生でも理解できることを目指しているため「写像」という語彙を避けました。
Music by Vincent Rubinetti
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vincerubinetti.bandcamp.com/a...
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open.spotify.com/album/1dVyjw...
元チャンネル（英語）
/ 3blue1brown
元動画（英語）
• Who cares about topolo...

Пікірлер: 209

@saim507fujiwarano4 Жыл бұрын

CGの利用が一般的になったお陰でここまで直感的に原理を眺める事ができる様になった。トポロジーは限られた空間把握能力を有する人のものだったかもしれないが、ややその入り口に立つ人が増えた。嬉しく感じる。

@user-lx3is1np9i 7 ай бұрын

確かに、思考からこれをやってた人はほんと尊敬

@JAM-SALMON 6 ай бұрын

今はCGがあるから頭の中でCGみたいに変換して理解できるけど、昔はそれすらできないのにエグい。

@user-eh3dk1jg1v 4 ай бұрын

昔の人が書いた「Outside In」のノート、なんであんなん想像できるんだよwと思うほどおぞましかった......

@user-dy2vh6ki4l 2 жыл бұрын

知らんうちに3b1bの日本版チャンネルが出来てたなんて、おすすめ動画なんとなく再生したら日本語喋ってたからマジビビった英語で数学用語言われても正直理解度ガタ落ちだったから、母国語でみれるのは本当にありがたい

@user-nf8dc2pi1s 2 жыл бұрын

ただ翻訳してるんじゃなくて自然な日本語にしてくれてるのがありがたい

@sanko4198 2 жыл бұрын

日本語化神すぎる・・・これからあがるやつも全部見る自信ある

@user-rh2pp4yy1b 2 жыл бұрын

解説してくれている方の声が本当にこの話を面白いと思って話されているんだなと感じられてすごくいい理解することは難しそうですが、理解したいと思えました

@CannedBenzene 2 жыл бұрын

数学って全く違う分野に見えるものも繋がってるから面白い。歴史的にも微分と積分だったり関数と幾何学だったり繋がることで発展してきたらしいね。

@ryuichikokubo8888 Жыл бұрын

微分積分は面積を出すことを厳密にしたものなので当たり前だがグラフとは繋がっている

@kentnunn3388 Жыл бұрын

kzfaq.info/get/bejne/hMqHfM58r7SZgH0.html

@kentnunn3388 Жыл бұрын

kzfaq.info/get/bejne/hMqHfM58r7SZgH0.html

@user-qu7ki1cj5w Жыл бұрын

物理と数学繋がってるのがマジでおもろい

@alexoda8489 Жыл бұрын

数学のすべてをつなげるというラングランズプログラムというのがあります。世の中の数学大きく三つの柱にわけて幾何学、数論、調和解析が全て陸つながりだということを研究する分野だそうです。こちらの研究はまだまだ出発したばかりだそうですが結局世の中全てが繋がるんではないでしょうか。数学者ラングラスから始まり、親日のエドワードフランケルといふかたで、 NHK のハーバード白熱教室に、出演していた数学者が有名です

@wetrustinscience1825 2 жыл бұрын

おもしろいいいなんだかんだ言って日本語のほうがやっぱ理解しやすいから有志でこのようなチャンネルを作っていただき、東京大学の方たちには感謝です！🥰

@jay-wy2ps Жыл бұрын

厳密な解を決定する方向への執着を捨てることで「少なくとも1つ解が存在する」を手に入れる感じ、これぞトポロジーなのですね

@inazuchi500 2 жыл бұрын

なるほど。必ず一回だけ交差する変形に意味があったとは。 3DCGの理解のために四元数など、英語の解説を字幕と図で補完しながら学んでましたが、日本語の音声解説まであるのはとても助かります。

@user-idiot 2 жыл бұрын

最後の説明が単純かつ直感的ですごい

@user-wl7uy6ux8r 2 жыл бұрын

あまりにも短時間に面白い話がたくさんありすぎます！

@user-ud1vx1wu9z 2 жыл бұрын

10:35 ここで冒頭に出たメビウスの輪を使うのか！って閃いてめっちゃ戦慄した。トポロジーどころか数学ちょっとしか興味なかったけどかなり興味出たわ

@user-qq5fo1pd1f 2 жыл бұрын

最初の導入の何気ない話から解説に繋がっているのがすごい綺麗

@user-yt6kf4vq5m 2 жыл бұрын

いつも図形を数式化するけど逆に数式を図形化するのめっちゃおもしろい！

@user-bx8cm2iz2o 2 жыл бұрын

最後必然性を使うの気持ちよすぎる！複雑な議論を用いるけど、最後は鳩ノ巣論法みたいにかちっと噛み合ってるのやばい！

@aa-iz9eu 2 жыл бұрын

NHKスペシャルのポアンカレ予想の回でトポロジーという言葉を知り（ポアンカレ予想はトポロジーで解かれたわけではなかったと記憶しているが）、ちゃんと勉強しようと思えば難しくて挫折し、入門用の動画などでなんとなく理解しようと思えばちょうどこの動画の冒頭のような説明で何もわかった気になれなかったでもこの動画でトポロジーがいかに数学的に強力な武器か、問題解決に役に立つのかがほんの一端でも理解した気になれたのが嬉しい

@chainsaw3014 2 жыл бұрын

夜中に一人で観てたのに、最後に「すごい。」って声に出して唸ってしまった。すごい。

@xg2164 2 жыл бұрын

なんだこれ面白すぎる･･････

@user-ul7ug7nh4o 2 жыл бұрын

最後、メビウスを変形した際に生じる座標の1:1対応の喪失が、中点の被りと直結してるのか考えた人やばすぎる

@Xapphire. 2 жыл бұрын

細かな議論は大学数学を履修しなければ出来ないのだろうけど、面白さは十分伝わりました！ただ、初めに2次元の閉曲線に関する中点を3次元で描画したりする発想や、2次元の閉曲線の2点の関係を2次元座標で表しているにも関わらず、それをループさせようとすると3次元の描画になる所がやや慣れが必要なのかなと思いました。

@BombMillton 2 жыл бұрын

こんなの思いついた人本当にすごいなあ

@kikikirin8409 2 жыл бұрын

非順序対の方でメビウスの輪が導かれる直前、話者が楽しそうなのが伝わってほっこりした。

@hikik8079 Жыл бұрын

すごい！！いままでほんとに不思議だったトーラスの存在がめちゃくちゃ理解しやすかったです！！メビウスの和の登場も感動しました！

@user-so7mu2ud8v 2 жыл бұрын

とても面白かったです！super thanksしたい

@user-jz1bb4hv5x 2 жыл бұрын

トポロジーがなぜ必要なのかを理解するのに素晴らしい動画だと感じました。応援しています。

@MikuHatsune-np4dj Жыл бұрын

長方形の条件「対角線の中点が同じで長さも同じ」から全ての線分の中点上に長さ分の棒を立てて「2つの線分の中点が同じで長さも同じ = Z 軸方向でぶつかる」さらに区間がxyどちらの方向にも周期性があると「トーラスが出来て」さらに順序対の条件を加えると「メビウスの輪が出来る」発想の切り替えが面白いですね

@tT-ov6wd 2 жыл бұрын

動画自体も見てて美しい

@user-yi3zr5kq2v 2 жыл бұрын

「数学すごい」の一言。鳥肌が立つほど驚きました。非常に分かりやすい説明で、順序もよく考えられており。温厚な声質とトーンも相まって、私のような頭でもスーッと理解できました。私は何十年間も、「トポロジーなんて意味のない数学上のお遊び。」と科学系の雑誌が好きでいつも読んでいたのに、そう勘違いしていました。なぜなら、たいていの一般的な雑誌はトポロジーの特殊で奇妙に見える所（さわりの部分）だけを特集しているだけなので、本来トポロジーが持つ本質的で数学的なところ（２次元座標と３次元座標との関連など）の説明が全くされていなかったからです。そんな私ですが、今回の動画を見て「トポロジーって神だ。」と思わず口走ってしまいました。私の頭のなかで今までの知識「点と線」が繋がったのです。まさか、まさか、カップとドーナッツが、そしてメビウスの輪にそんな意味が、、、目からウロコでした。　また、動く動画での解説の破壊力に、改めて感謝感激すると共に「私の学生時代にもこのような解説動画があったら、理解できたのになあ。」と思いました。　５１歳主婦。

@soumei812 3 ай бұрын

しがない数学徒さんからやってきました。魅力的な動画ばかりですね。

@akiratakeguchi121 2 жыл бұрын

めちゃくちゃ面白かったあああああ！！！！

@user-dx8xo1il9s 2 жыл бұрын

分かりやす！！！面白い

@g0shig0shi 2 жыл бұрын

10:35- が分からん →理解できました。メビウスの輪面上に(x,y)=(0.5,0.5)と10:46- で消えてしまう紫矢印(0,0)~(1,1)の連続プロットがあるとよりわかりやすいと思いました。

@user-xp3vf6ev4b Жыл бұрын

やばい、すごい、わかんないのにめっちゃオモロイ

@kitune1313 2 жыл бұрын

主さんがメビウスの輪を作った段階で(面白い。。)と、にやけてしまったのですが、主さんの声色からもう同じような感情を受けて、なんか。すごいって！なりました！

@yayuyo7188 2 жыл бұрын

メビウスの輪の表裏一体の特徴が非順序対(ペアの区別がない)に対応しいているのか。美しい

@kazunarinagasaki5811 2 жыл бұрын

ひし形についての証明が別に出来ればいいでしょうけれど困難でしょうし、証明を同事象であるように繋げるのが更に難しそうですね。

@garipote_ 2 жыл бұрын

美しい。鳥肌、、、こういう世界で生きている人おるんや。

@user-salmontabetai 2 жыл бұрын

なんだこれ面白すぎでしょ

@ctln7139 2 жыл бұрын

いつも英語字幕で見てたから日本語で見れるのが本当にうれしいです。ありがとうございます。

@user-qs7nx8gq9b 2 жыл бұрын

最後の最後だけわからぬかった、、、何回かみよう、、。

@user-qq1gh3ry9d Жыл бұрын

このチャンネルをきっかけに数学科に進みたいと決めた

@user-to8ri6xq1n 2 жыл бұрын

これは美しい

@Reizi123 Жыл бұрын

面白すぎる高評価不可避…

@user-jq3hh7nm4q Жыл бұрын

大感動。

@user-pg7tu2cn9u 2 жыл бұрын

しっかり理解できるまで繰り返し見ようと思います

@Mega11041104 7 ай бұрын

長方形は対角の頂点を結ぶ線分の中点を共有するかつ、線分の長さが同じ→点A点Bに対して中点の位置と線分の長さを表す関数fを定義する(その関数の定義域を適切に選んだうえで単射性を否定すればよい)→点A、点Bを媒介変数表示で考えるとfの変数は［0,1］×［0,1］で表せる→fの性質を考えるとfの変数はメビウスの輪状になる→メビウスの輪とfの像は同相にはならない→同相にならないことから単射な関数fはありえない→命題は真　って流れですかね

@totmusica9992 2 жыл бұрын

メビウスの輪をお父さんに教えられた時マジで意味がわからんかったけどこの動画のおかげで少し理解できるようになった。ありがとう

@t.s.868 2 жыл бұрын

ありがとうございます。😃

@user-db9ig1tb7f Жыл бұрын

位相幾何学って大学の授業でも一番面白かった。バスや電車の行程図やLAN配線の計画図なんかもそう。結構応用が効く分野ですよね。一番興味深かったのがポワンカレ予想。その証明にまつわる物語。数学って沼にはまると抜けられないんだろうなあ…。

@hyahirimukano2831 Жыл бұрын

めちゃくちゃ感動しますね！口で「スゲー」が素直に出た！

@EARTHs-1113 2 жыл бұрын

よくこんな解法思いついたな天才やん

@Qrey01 Жыл бұрын

どんなに考えても、マッピングする時、点が絶対に重なる確証を持てなくて凄いモヤモヤするー

@mama-uk9iv 2 жыл бұрын

鳥肌が止まらない！

@shiosalty6119 2 жыл бұрын

高校数学までしか学んでこなかった者ですが、位相幾何のどこが数学なのか全く実感が湧いてなかったのでめちゃくちゃ共感できました個人的には2次元グラフ上の点が数直線上の２点と１対１対応しているという発想が目からうろこでした

@user-zw3kk9bp2m 2 жыл бұрын

パソコンの自動字幕翻訳を使っていましたが日本語翻訳チャンネルがあるとは...。うぽつです！

@256yayo Жыл бұрын

えっぐ面白すぎませんか？

@user-nl8xk9ft8u 2 жыл бұрын

おもしろい！

@ryosuke8093 Жыл бұрын

発想に感動しました。メビウスの輪の辺を1平面上に置くとき2点を共有する？のが直感的だけどもやもやしてます

@custardcream7101 2 жыл бұрын

かああっ、、美しすぎるっ！

@user-zz9bx4uj1b 2 жыл бұрын

凄い

@user-maythgaming 2 жыл бұрын

あぁ、やっぱり数学は美しいなぁ！！

@user-fv1kk5zy8g 2 жыл бұрын

面白い　どんどん更新してほしい数学科いきたくなっちゃう

@wino0001 Жыл бұрын

むしろ数学科で定義定理証明の連続に打ちのめされるとこの動画に行きたくなります…

@N46_kraken Жыл бұрын

面白い。非常に面白かったです。ちょっとどこで読んだか探せなかったのですが、平面は2次元、立体は3次元というのはよく知られています。ところが、メビウスの帯というのは、2次元とするには複雑すぎる、3次元とするには簡単すぎるということで、その次元数はいくつなのか？というのを計算するということを取り扱っている分野があるというのを思い出しました。それによると、メビウスの帯は2.・・・次元だそうです。(2次元より大きく、3次元より小さい) 今回のトポロジーを通すことで数学問題の解決を導き出すという話とは脱線してしまいましたが、数学はあらゆる分野が繋がっていて、まるでミステリードラマを見ているような面白さがあります。

@user-ut6nu2sf7k 2 жыл бұрын

日本語版があった事に驚き！GJ

@user-es7fw5hm6s 3 күн бұрын

大学で興味あるトポロジー学び初めて、定義だらけで逃げ出しそうだったけど、この動画みてやっぱり自分はこういう類の話が大好きなんだと改めて感じました

@user-jm4ft8ws1p 2 жыл бұрын

メビウスとトーラスは親戚よな～ってオブジェから直感してたがこうも綺麗に導かれると楽しいね。

@user-be1ho1gx3r Жыл бұрын

メビウスの輪の辺を平曲線に合わせようとすると、メビウスの輪それ自体が交差してしまう ↓ つまり2つの交点が得られるで鳥肌たったわ

@bobgreen2947 2 жыл бұрын

証明が完了する所も面白かったけど、メビウスの輪が出てくるところの方が感動した

@user-js9ou6ug8k 2 жыл бұрын

すげー！けどもう分からん

@marazu2 7 ай бұрын

やば、面白すぎる

@azou331 Жыл бұрын

動画を見て感動で椅子から転げ落ちたのは初めて

@La_06.2.22 2 жыл бұрын

ある人も言ってたけど数学の整合性っていうのは本当にすごい。定義されたり証明されたりしたものについてどうやったって矛盾が生まれないっていうのはまじで面白い。

@user-cn9dj2yq2p Жыл бұрын

@@user-yw5xn9sl4u 矛盾がないとは証明できないことの証明って、誰の証明ですか？気になります

@user-cy7he4zi2p Жыл бұрын

@@user-fq7nc4vy8e それは自然科学や社会科学へのアンチテーゼなのではないかと思います。つまり，現象を観察して本質を導くことはできない（現象から導かれた本質は結局のところ推論の域を出ない）という主張であって，元々公理（真理）を設定していて，その公理から合理的に導かれる現象を研究対象とする数学のような学問には当てはまらない主張だと思います。もちろん，公理系の設定が矛盾なく行われているのかどうかという事はまた別問題だと思いますが。因みに，公理系を上手く設定すれば，そこから導かれる現象が無矛盾で，その現象に完璧な説明を加える事ができる理論が作れるのではないかという議論は，数学の中で既に行われています。僕はこれについて詳しく知らないのでこれ以上の深追いはしませんが，興味があれば不完全性定理と検索して頂ければ面白いかと思います。

@that_two_squares Жыл бұрын

@@user-cn9dj2yq2p 「自分自身の無矛盾性を証明できない」という内容であればゲーデルの第二不完全性定理です

@user-cn9dj2yq2p Жыл бұрын

@@that_two_squares ありがとうございます、調べてみます！

@user-kl7hd2vv3e Жыл бұрын

@@that_two_squares あれペアノ＆ZFCに限った話でしょ

@user-hd5vq1my1f Жыл бұрын

すげぇー

@user-nh2yz4vn8v 2 жыл бұрын

いきなり証明完了しちゃって、ふぇ？！ってなった。これは綺麗だ……

@q-. 10 ай бұрын

面白い！

@user-nl2pt3qj3k 2 жыл бұрын

全くわからんけど動画は凄い

@yoshihironumazawa7145 Ай бұрын

厳密な位相幾何学かと思うと合わないところあるけど、閉曲線の点のペアを考えることが問題の解決か…新たな視点に気づかされました。🤫

@You-ot4iw Жыл бұрын

なにこれ。すご。

@PGW90RU14 Ай бұрын

私が数学に感動したのは Galois 拡大体ですね。多項式の解を一つ一つ付け加えることで、無限の体を作ることが出来て、それを付け加えることで最終的に実数空間に漸近する。一方トポロジーは写像の話ですので特定の写像、とくに一対一写像を除けばその性質が保存されるとは言えません。連続体に限っては同相であるので応用範囲は広いと思いますが、不連続体や写像が一対一にならないような分野は中々どうしてハードルが高く、即座に魅力を感じるとは思えませんでした。例えばデカルト座標と球面座標の対応関係ですね。

@user-uy4hg8ku3o 2 жыл бұрын

よごく良い安眠動画

@elekuino-man351 2 жыл бұрын

すげぇ！って言ってしまった。トポロジーは何から何までエレガントすぎる、

@MsNishinishi Жыл бұрын

私もこのようなきれいに動く図形動画を作りたいと思います。何を勉強すればいいのでしょか？どのようなソフトを使われているのでしょうか？

@kurie_tsukuri Жыл бұрын

理解できないから「何で？」って思うことはこれまで何度もあったけど、理解した上の感動で思わず「何で！？」と叫んでしまった…ｗすごいなこれ…

@charlotte9071 2 жыл бұрын

メビエスの輪が出てきた瞬間が鳥肌かも。本当に、数学って問題を解いてる内に関係ないと思ってた分野の概念が繋がる瞬間があってびっくり

@user-ef6bh8rt8k 2 жыл бұрын

これってプロットする点の方法を二等辺三角形にして同じ方法使えば正方形も証明できないかな ab cd のadを結んだ線の中点の法線に1/√2の場所で1/√2の高さに点を打ってグラフにするみたいな

@hosina_enn 9 ай бұрын

10分も経たずに寝てしまっていた……明日こそはリベンジしてやるっ！！

@ogyy36 Жыл бұрын

やっぱり数学は魔法みたいで、そして美しい。

@user-dr1ks8zn2s 2 жыл бұрын

マッピングで中点は同じ座標でも、距離が異なる例が存在しませんか？

@djshigel Жыл бұрын

この証明方法は｢実際にどこの点で交わるかの例を一切を示さないまま、しかし交わり距離が同じで交点を共有する2つの順序対が単純閉曲線上の天として存在すること｣を示しています。この証明は知識ゼロ証明にあたりますか？

@amagi-nnnunnnu Жыл бұрын

カラフルπくんかわいい

@mvrk_25 2 жыл бұрын

10:51 ここから「…ね？さっきと繋がるでしょ？？」っていう嬉しそうな声色で微笑ましくなる

@furusatonotkokyou 2 жыл бұрын

ただ原稿を読んでるだけじゃないっていうのがヒシヒシと伝わってきていいよね

@dongriemeen9351 2 жыл бұрын

是非とも3Blue1Brownのフーリエ変換の回を日本語版で見たいなぁ

@user-vt8yg7rh8e Жыл бұрын

御待たせしました(笑)

@user-sc4cc7qn7b 2 жыл бұрын

数学できないけどみるのはすき

@64happa2 2 жыл бұрын

面白かったです^_^

@user-nw4xh3it9r 2 жыл бұрын

すげー－

@user-hr4hq2jk1p Жыл бұрын

マージで神

@rairaikun1 2 жыл бұрын

うーーーわ位相空間位相幾何超苦手なんだけどこれガチ感動した

@torotsuki 11 ай бұрын

数学苦手だけどこのチャンネルは面白い。自分で考える気になれる(

@hirok5870 2 жыл бұрын

最後の『この輪がこのマッピングの途中で自身と交差すればこの面で点を共有するペアが少なくとも2つ存在する』の理屈がわからなくて悔しいーーー

@futakakei8116 2 жыл бұрын

長方形の紙をねじれてつける事でメビウスの輪になる。つまりメビウスの輪は独立して存在している二曲線を一曲線にする行為とみれる。その上で、輪を形成している曲線がメビウスの輪なので、一線にした際のねじれをもつことになる。ねじれがあると平面図示する際にねじれた部分に交点が生じる。その交点が「点を共有するペアが少なくとも２つ存在する」ってことなんだと思います。分かりにくかったり認識違いであればごめんなさい。

@quart95 2 жыл бұрын

メビウスの輪を、上から押し潰してみたら、縁の部分は、最低1カ所重なる。って、理解しちゃって良いんでしょうか？縁の部分は、わかりにくいですよね。。だから、クラインの壺を想像します。これなら、全部つながっている。でも3次元だと、どこかで交差することになってしまう。しかし、4次元でとらえれば、交差する部分は無くなる。。 4次元で不自然な形は、5次元で自然に表現できる。。以下繰り返し。

@fdjalksfjawe4258 2 жыл бұрын

「マッピングの途中で自身と交差する点」があるとします．（動画では直感的に従うとしている）これは「メビウスの輪をペタペタ山に貼り付けたときにメビウスの輪の違う点が貼り付けた山の同じ位置にくる」ことを意味しています．メビウスの輪の一点はもとの閉曲線上の2点のペアに対応し山のある一点は元の閉曲線上の点のペアの中点と長さに対応することを考えると「メビウスの輪の違う点が貼り付けた山の同じ位置にくる」とはもとの閉曲線上の2点のペア×２が同じ中点と長さをもつことを意味しています．これこそが最初に示したかったことです．