Что если соединить геометрию и вероятность?

Рет қаралды 52,289

Күн бұрын

Поступление в Школу анализа данных Яндекса: clc.to/XGTfqQ
- здесь вы также найдете примеры вступительных испытаний с решениями (вкладка «Поступление»). А в этом ролике разобрали три красивых сюжета на геометрическую вероятность
СОДЕРЖАНИЕ
0:00 - Условия трех красивых задач
1:46 - О ШАДе и поступлении в этом году
2:53 - Математическое ожидание площади треугольника
3:45 - Центр окружности и вписанный треугольник
5:24 - Сетка из прямоугольников и случайная окружность
7:28 - Другие разделы для поступления в ШАД
Задача №2 - классическая и имеет интересное обобщение: • The hardest problem on...
Прошлый выпуск о том, как высшая математика и IT помогает решать реальные проблемы на Камчатке: • Как высшая математика ...
UPD. К 0:25 Андрей Иванов делает важное уточнение: строго говоря, имеется в виду равномерное распределение

Пікірлер: 164

@WildMathing Ай бұрын

Сколько задач сумели решить? Понимаете, зачем было сделано уточнение, что окружность выбирается по центру и радиусу в №3? Если окружность выбирать иным способом, то и ответ в задаче может получиться другой: ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_Бертрана_(вероятность) UPD. К 0:25 Андрей Иванов делает важное уточнение: строго говоря, имеется в виду равномерное распределение

@ShadowMonarch-iz9rm Ай бұрын

Решил только первую, и то наугад

@user-re6lp8bb4e Ай бұрын

Номер 2 - 1/4

@I___ Ай бұрын

последнюю)))

@gastertv1563 Ай бұрын

К сожалению уже знал решение второй задачи, самостоятельно решил последнюю а первую не осилил.

@AndrewPetrov-ri Ай бұрын

Решил все. 1) Ввёл координаты, обозначил (X, Y) случайную точку. Записал площадь как функцию от Y. Нашёл функцию распределения Y, затем плотность. И по формуле матожидания от функции посчитал. 2) Представил, что работаем на единичной триг. окружности, где 0 это первая точка, а остальные Х и Y случайные и имеют равномерное распределение на отрезке [0;2pi]. Нашёл условия для X и Y, когда треугольник будет остроугольным, и на координатной плоскости в квадрате [0;2pi] x [0;2pi] площадями посчитал вероятность найденных условий. 3) Сделал примерно как на видео.

@dizmoralt Ай бұрын

решил 0 / 3 задач. Результат приемлемый

@user-qq5kf1sm7y Ай бұрын

Выполняем норму

@alexandergraham1109 Ай бұрын

Можно округлить до 3/3.

@user-qq5kf1sm7y Ай бұрын

@@alexandergraham1109 Если отношение находится в промежутке от 0 до 1, то уже неплохой результат

@modestra178 Ай бұрын

3:44 На самом деле, у задачи есть более лаконичное решение. Если принять сторону за A, то по свойству высот правильного треугольника, сумма каждой высоты, проведённой из произвольной точки, равна общей высоте треугольника. Тогда, при равноудаленности точки, каждая из высот будет равна 1/3 Такой факт, кстати, используется для описания трехфазных систем в кристаллах в химии

@AlexeyEvpalov Ай бұрын

Как всегда, Великолепная графика. Спасибо за интересные, необычные задачи с красивым решением.

@Andrew_Moryakov 24 күн бұрын

Как создаётся такая графика, в какой программе?

@abduboriybositxonov5911 Ай бұрын

Блин, ты прям пробуждаешь интерес к математике с помощью красивой и в тоже время интересной графикой. Большое спасибо!

@user-ho6nv1yd7n Ай бұрын

Думаю, канал достаточно серьёзный, чтобы можно было немного подушнить. 00:25 "каждая точка внутри треугольника имеет одинаковую вероятность быть выбранной" Информации недостаточно. Для любого непрерывного (и даже смеси сингулярного и непрерывного) распределения, вероятность попадания в любую одну точку будет равна 0. Таким образом они все равны. Правильнее было бы сказать, что точка M имеет равномерное распределение по треугольнику

@pegamer3051 Ай бұрын

В данном случае речь, видимо, шла про плотность. Ну либо, если учесть условие S_tr = 1, что вероятностная мера совпадает с мерой лебега.

@Micro-Moo Ай бұрын

Вы правы. Поставьте вместо «вероятность» «плотность вероятности». Для краткости слова про плотность, бывает, опускают, ведь формулировку всё равно нельзя понять как-то иначе, все и так правильно догадываются, о чём речь.

@bloodravenblood Ай бұрын

Благодарю! По-настоящему хороший Звуковой и Зрительный вектора! Интеллектуально и эстетично! Побольше бы таких влюбленных в Математику Людей!

@Ban_me_pls Ай бұрын

Спасибо что продолжаешь радовать нас видео ❤

@user-gp9om1vc9m Ай бұрын

Большое спасибо за ваши видео и труд! Наконец-то видео с задачками!🙃

@gargantuabh6588 Ай бұрын

Ах, сетка из прямоугольников очень красивая задача😮. Буду теперь весь день ходить и думать о ней. Это все из-за вашей музыки❤

@Arsenniy Ай бұрын

Дождался всё-таки!)

@tyompavlov5768 Ай бұрын

Вильд, как всегда, Браво!

@notaslave9628 Ай бұрын

Теперь он не Wild, а Вильд

@user-ei6rd7ei7x Ай бұрын

Какая-то странная организация. Написал их экзамен, было несколько собеседований, потом ни ответа ни привета, ни приглашения в ШАД, ни причин отказа. Собственно, с таким отношением Яндекс идёт куда подальше P.S. Разбор задач как всегда на высоте с отличной графикой!

@ruslantan2552 Ай бұрын

У яндекса всегда странности с приемом. Много уже кто видео делал как их собесы проходил

@sergniko Ай бұрын

Всем не угодишь

@Micro-Moo Ай бұрын

К сожалению, такое поведение самое типичное. Им просто не хочется возиться с теми, кто отсеивается, а для себя они наверняка объясняют это тем, что на сообщения с отказом у них не хватает ресурсов.

@user-sh4ck8il8e Ай бұрын

@@Micro-Moo огромной цифровой компании тяжело прислать письмо с фразой "вам отказано" или "вы не прошли"? это же бред. просто такое отношение к людям, в том числе и в других их сервисах.

@Micro-Moo Ай бұрын

@@user-sh4ck8il8e «огромной цифровой компании тяжело прислать письмо...» Вы, конечно, правы, но вы это им скажите.

@totkolpovwatch Ай бұрын

Подумал, но не смог решить. Пойду свой школьные интегралы решать😅

@lvandanilov5208 18 күн бұрын

а в школе интегралы разве проходят?

@a.osethkin55 Ай бұрын

Спасибо за полезную инфу

@vvsnikst9069 Ай бұрын

Супер! Продолжайте в том же духе!

@qunll3170 Ай бұрын

0:45 была задача на какой-то очень сложной олимпиаде, где нужно было посчитать вероятность того, что центр сферы будет внутри тетраэдра upd. посмотрел ролик дальше и данный факт уточнялся в ролике)

@iIxyecocIi Ай бұрын

3blue1brown )

@en_amigo8783 22 күн бұрын

Как это прекрасно 😍

@user-ud9vv9wz5g Ай бұрын

Красота! ❤

@zealot4325 Ай бұрын

Спасибо за видео

@user-mp5rt3hl7z Ай бұрын

Великолепные задачи

@zubrmanr Ай бұрын

Спасибо! Я всё ещё ваш спонсор⚽

@VadimChes Ай бұрын

как и яндекс...

@Micro-Moo Ай бұрын

Прекрасные задачи, сочетание простоты с намёком на математическую глубину. (Извините, решать не пытался, терпения на то не было, и так после просмотра условий задач стало ясно, что все они имеют достаточно простое решение.) Ещё раз подумал, насколько непросто такие задачи изобретать.

@ruslantan2552 Ай бұрын

Есть у меня пожелания именно по теории вероятности. Пусть задачи и геометрические, но когда встает вопрос поиска вероятности, то решение не всегда так лаконично и понятно, как в классических геометрических задачах. Не знаю заметно это, но ваши коллеги с 3B1B после утверждения дают буквально секунду две паузы, чтобы переварить мысль. Я не прошу их копировать, но иногда хотелось бы смену темпа или больших подробностей

@Micro-Moo Ай бұрын

Мне кажется, если просто иногда останавливать видео и переваривать сказанное, всё у вас встанет на свои места. А вот если замедлить темп, многих это будет раздражать. Какой смысл в пустых паузах? Лучше, чтобы вы задавали темп сами и сами делали паузы, где вам нужно.

@nazarkonyk2159 19 күн бұрын

А ещë при слишком частых и длинных паузах, может потеряться мысль.

@Micro-Moo 19 күн бұрын

@@nazarkonyk2159 Конечно. А ещё мысль может потеряться, если тараторить без пауз. Способов испортить речь много, но хуже всего ставить себя в положение слона-живописца из басни.

@AltynbekNavanov Ай бұрын

браво!

@MOHAPXI Ай бұрын

Великолепно

@VadimChes Ай бұрын

Что-то подсказывает, что тем, кто может решать такие задачи, никакой ШАД не нужен. Они и без него всё знают

@smogy001 Ай бұрын

Решил, пока ехал в метро. Первую не так элегантно, как на видео. Нашел стреднюю высоту, т.е. расстояние от основания до центра тяжести, то есть 1/3. Проверил интегрированием в уме (ответ правильный). Во второй ошибся в два раза. Мне показалось, что если точки выпадут сверху и снизу, то этого будет достаточно. Третье просто с ходу. Интересные задачки, понравились. С бумажкой было бы быстрее. 😅

@user-qb5ky6tk2r Ай бұрын

Теперь я знаю, где могут помочь задачки, которые я решал в 9 классе на мат кружках, кроме как на олимпиадках.

@markobozov9098 Ай бұрын

Тогда бы ещё рассмотреть трёхмерный случай, для второй задачи, который является уже совсем классическим))

@user-cw9ku5mw1k Ай бұрын

Меня все время поражает, что когда я начинаю что-то понимать. оказывается, что это только начало.

@brick1422 Ай бұрын

По поводу 2ой задачи, автор указал ее разбор на английсклм, но у нее есть шикарный перевод на канале верт дайдер, возможно будет полезно

@skandrey9233 24 күн бұрын

Все три задачи в уме решаются за 2 мин. Даешь что-то посложнее)

@dedmos6321 Ай бұрын

Здравствуйте, возможно вопрос глупый, но где можно заниматься алгеброй, анализом и подобными задачами с нуля?

@OziTekkense Ай бұрын

Ура:)

@abrikos1100 Ай бұрын

В первых двух задачах тоже парадокс Бертрана есть, как точки берутся?

@DmitDmit1 Ай бұрын

Отличные задачи. В первой задаче до красивого решения не додумался и решал интегрированием, но в процессе ошибся :/ Остальные задачи решились легко

@zoxmoxx6674 Ай бұрын

решил все задачки по формуле Пика ещё за пи секунд до выхода ролика

@user-tk4bz6cr4c Ай бұрын

Ах, я вижу вы человек высокой культуры))

@obezyana_zabivnaya Ай бұрын

Я в 22-00 : ну всё, пора спать Я в 3 ночи: хммм, интересный видос, надо глянуть!!!!😳☺️

@__range4527 Ай бұрын

В первой задаче кажется не важно условие правильности треугольника, то есть матожидание равно 1/3 для любого треугольника единичной площади

@alexnovikov6359 Ай бұрын

Здравствуйте! Учусь в девятом классе. Смог самостоятельно решить вторую задачу. После сдачи экзаменов хочу погрузиться в изучение олимпиадной математики и частично затронуть высшую математику. Какую литературу порекомендуете для изучения? Видео как всегда огонь!)

@fewer9831 Ай бұрын

Только хотел в шад податься, а тут любимый математический канал по этому разбор сделал )

@goyoy7221 Ай бұрын

Что если соединить алгебру логики и теорию вероятности

@ATtiny13a-PU Ай бұрын

Про окружность и точку в центре. С точки зрения программиста. Точка пересекает треугольник, если пересекает все три его полуплоскости. Вероятность пересечь одну 1/2, две другие связаны одной вершиной, поэтому тоже 1/2, значит вероятность 1/4. Для N мерного пространства, это 1 / 2 ^ N. А то я знаю вас, математиков, ща пойдёте всё через "простые интегралы и лимиты" решать.

@ATtiny13a-PU Ай бұрын

на решение ушло 2 секунды, а на практике: стояла задача написать свой растеризатор, поэтому знаю алгоритм нахождения пересечения с выпуклой фигурой.

@ATtiny13a-PU Ай бұрын

Про квадрат, ну тут совсем просто... я делал оптимизированную физику круглых тел как в игре CellLab, потому, вероятность равна отношению разницы площади квадрата радиусом окружности и площади окружности к площади прямоугольника. Первую задачу за 2 секунды не решил, но думаю, теперь можно посмотреть видео) UPD: посмотрел видео, спасибо. Как-то не совсем ясно с первой задачей, я подразумевал конечно, что если речь про мат ожидание, то точка будет лежать в середине, и что фигура симметрична, но как это доказать у меня не сложилось... ну т.е. формулами чтоль... ну т.е. для меня доказательством было бы доказать единичность определителя матрицы трансформации приращения точки к вершинам в итоговую площадь, но там получается избыточная матрица, что и ввело в заблуждение. UPD2: понял, что имелось ввиду первой задачи, то что каждое положение точки формирует 3 треугольника, в сумме площадью, равной данному, следовательно, 1/3.

@FatimaMamedova-zg8mc 25 күн бұрын

Я думаю это грех ненавидеть матешу 😻😻😻

@god_of_cringe 26 күн бұрын

Я решил первую задачу так: сначала я дорисовал прямоугольник логично, что в нем вероятность 0.5, дальше я подумал и разделил рисунок пополам вертикальной линией, вероятность слева и справа одинаковая, затем я разделил оставшееся на 4 части верт и гор линией по середине, получилось 4 прямоугольника в одном из которых нету частей треугольника, 2 части с подобным треугольником и часть полностью заполненная нашим треугольником, я обозначил за x нижний треугольник тогда вероятность верхнего x+0.5, шанс что мы попадем в малые треугольники 1/4, тогда вероятность общая: 0.25/2+x/4+(x+0.5)/4= 1/4 + x/2, можем проделать тоже с треугольником обозначенным за x, и получим ряд 1/4 +1/16+1/64...=1/3. По сути я нашел это для ВСЕХ треугольников, а не только для равнобедренного. Решение в видео очень красивое.

@god_of_cringe 26 күн бұрын

по поводу разделения на левую и правую часть, вероятность одинаковая т.к. площадь зависит только от высоты, нижняя сторона одна и таже, h*a*1/2

@pagerequest1425 Ай бұрын

на 3:16 ошибка в подписи, должно быть АСМ вместо АВМ

@proninkoystia3829 Ай бұрын

3:42, вот это фокус, я думал будем тип распределения определять плотность там, интегралы считать несобственные... а тут это, быстро как-то

@mikhaililin3033 Ай бұрын

Объясните если не сложно, почему во второй задаче средняя разница между углами первой и второй точки именно пи/2 а не просто пи?

@user-tk4bz6cr4c Ай бұрын

Мы ищем средний угол из всех возможных, т. е. из промежутка от 0 до π (потому что дальше углы повторяются), след-но, средним значением из этого множества будет π/2

@user-gi5cx3fv1i Ай бұрын

Услажненную задачу два разбирал Веретасиум

@user-gb1lj5tl8e Ай бұрын

кросивое. показывают. в сонном режиме только про окружность сходу решил, но как 1\2 * 1\2 для двух точек по одну сторону.

@seika6984 Ай бұрын

Молодцы. Сказали, что легко, а сами взяли самую сложную задачу из самой сложной олимпиады в мире.

@MaximYarosh Ай бұрын

Amazing

@bluepen2637 Ай бұрын

На каком курсе в шад поступают?

@I___ Ай бұрын

для меня последняя задача самая простая. сразу понятен смысл решения... а первые две я и после объяснения не понял)))

@tolikfirer Ай бұрын

Видос с 3blue1brown есть в дубляже от Vert Dider)

@mega_mango Ай бұрын

решил третью, получилось число R**2(4 - pi)/x, где R радиус окружности не превосходящий половину длины стороны а х площадь прямоугольника. пойду проверю себя

@Noqlium Ай бұрын

0:47 из какой то там олимпиалы было. Вроде 1/4?

@user-zu7qd4hv8c Ай бұрын

Есть старое видео, название что-то в духе "самая сложная задачка самой сложной Олимпиады". Там задание было очень похожее не подобное

@tpoglodit Ай бұрын

именно ссылку на него и прикрепил автор ролика

@Ban_me_pls Ай бұрын

Да да помню такой видос но это видео не копирует а тут просто та же задачка

@kn0pkasanchouskoffeev Ай бұрын

Будет мат. анализ

@7_62x39 Ай бұрын

Никогда бы не подумал, что геометрия как то пересекается с теорией вероятности

@NakaCuiki-ik2pt Ай бұрын

А что за парадокс Бертрана Рассела?

@Micro-Moo Ай бұрын

Разве о нём шла речь в видео? Очень советую об этом парадоксе (парадокс Рассела-Цермело) прочитать, его доказательство совсем несложно и много где есть. Это один из самых мозгопрочищающих результатов во всей математике. В своё время привёл к пересмотру оснований математики, точнее, доказал противоречивость наивной (канторовской) теории множеств.

@nazarkonyk2159 19 күн бұрын

Для первой задачи есть ещë душное решение. S=ah, а известно и равно 1, а h - случайно. В среднем будет выпадать на 1/3. Это можно доказать тем, что площади трапеции и треугольника будут равны. То есть (a+b) × h1/2 = (1-h1)b/2. Чтобы полносттю объяснить, надо слишком долго писать... Но так как b зависит от h1, то решение очевидно.

@behruz8895 Ай бұрын

Ребят, кто может порекомендовать хорошие учебники (3) для подготовки к экзамену ШАД. Не обучения в ШАДе ради, а для личного просветления)

@user-bi8lu1wg6i Ай бұрын

Здравствуйте. Можете поподробнее объяснить 1-ю задачу. Почему все три треугольника MAB, MCA, MBC образуют треугольник ABC?

@Micro-Moo Ай бұрын

Суть вопроса непонятна. «Образуют» это просто так сказано. Что именно требует объяснения? Слово «образуют»? Суть дела только в том, что эти три треугольника не имеют пересечений, а их объединение и есть ABC. А значит, сумма их площадей и равна площади ABC. А ответ вытекает из симметрии.

@user-bi8lu1wg6i Ай бұрын

@@Micro-MooМне как раз и непонятно, почему полученные таким образом треугольники не имеют пересечений и в обьединении дают ABC. Я понимаю, что я туплю видимо, но Мне кажется, что если я построю все три треугольника MAB, MBC, MCA так, как сделано в этом видео, то они будут равными между собой. А как они могут образовать треугольник ABC, если точка M выбирается произвольно?

@Micro-Moo Ай бұрын

@@user-bi8lu1wg6i «А как они могут образовать треугольник ABC, если точка M выбирается произвольно?» По построению. Сначала есть ABC, потом выбирается случайная точка, потом она соединяется с вершинами. Вы как-то иначе это представляете? От положения точки этот факт не зависит.

@firediman1 24 күн бұрын

Я тоже ни хрена не понял логической цепочки. Взяли случайную точку М и за непонятным хреном стали рассматривать ее со всеми сторонами. В чем смысл. Речь ведь средней площади треугольника а не о сумме указанных треугольников показанных в «решении». В общем автор плохо объяснил решение если вообще оно правильное (а не только правильный «ответ»).

@Micro-Moo 24 күн бұрын

@@firediman1 Решение правильное. Смысл в симметрии из-за «равноправия» всех трёх треугольников. Нас интересует один треугольник. Но давайте построим три и посмотрим, чем предполагаемое решение для одного отличается от всех прочих. А ничем. Матожидания площади для каждого равны, потому что всё симметрично. Но площади связаны между собой: их сумма при всех случайных положениях точки одна и та же. Отсюда сразу ответ. Что не так?

@dmitryAdams Ай бұрын

7:39. Ребят кто шарит? У меня получилось (C из n по k - 1) * p ^ (k*(k-1)/2) Первый множитель - количество способов зафиксировать подмножество вершин , а второй шанс образования клики на этом подмножестве

@mixofhappyRu 27 күн бұрын

Интересно сколько лет Школе анализа данных Яндекса? Статистика как по данным за 100 лет

@nazarkonyk2159 19 күн бұрын

После этого ролика возникло ущущение, что при знании терминологии я уже мог бы поступить в яндекс.

@stnjl2216 Ай бұрын

осилил только 2 и то, помня разбор задачи про сферу и пирамиду, остальные понял лишь после разбора

@arseniy5839 Ай бұрын

Офигеть

@user-od2yk6og2q Ай бұрын

Получится геометрическая вероятность )))

@Darkwater-sw4ww Ай бұрын

Такое было у нас на мат олимпиаде в 10 классе.

@cyberwaldemar Ай бұрын

первая задача это ИИИИИИЗЗЗЗИИИИИ 1. Перейдем в полярные координаты с центром в точке откуда треугольник не будет строится, теперь координаты точки задаются длинной и углом Ну а дальше считаем тривиально интегральчики получаем матожидание, чтд

@yoursps Ай бұрын

Коммент напоминалка

@user-dc9wf1lv5o 16 күн бұрын

Первое решение какое-то не очень понятное. Почему надо именно три разва поворачивать? Почему именно относительно центра? Почему в среднем площадь каждого из маленьких треугольников стремится к 1/3?

@user-iq8id7sp7e Ай бұрын

Бедные восьмиклассники когда поняли что второй решается взятием тройного интеграла😢😢😢

@daurenmukhanov9627 Ай бұрын

Где можно заниматься алгеброй с нуля. Искал много контентов но не нашел где все легко объяснимо ?

@user-dg8yr7tu2y Ай бұрын

Курс Кострикина очень хорош, три книжечки такие

@daurenmukhanov9627 Ай бұрын

@@user-dg8yr7tu2y спасибо

@GameRoMan Ай бұрын

Привет

@userpc5916 Ай бұрын

Привет

@n3T1337 Ай бұрын

что то с первой задачей не понятно вообще. почему мат ожидаение будет 1/3 ? Не силен в вероятности, если кто то подскажет будет хорошо

@user-ei6rd7ei7x Ай бұрын

Площади трёх треугольников - случайные величины с одинаковым распределением (достаточно повернуть треугольник так, чтобы он перешёл в себя, чтобы в этом убедиться). А раз распределения одинаковые, то матожидания совпадают. В сумме три случайные величины всегда равны 1, тогда матожидание каждой из них равно 1/3.

@n3T1337 Ай бұрын

@@user-ei6rd7ei7x 👍. Спасибо, от души

@ruslantan2552 Ай бұрын

@@user-ei6rd7ei7x стоило пояснить то, что из этой точки строятся сразу 3 треугольника с общей вершиной и именно сумма их площадей 1. Т.к. их площади связаны а вероятности равны, то отсюда и делаем вывод в вероятность 1/3.

@Micro-Moo Ай бұрын

@@ruslantan2552 «то отсюда и делаем вывод в вероятность 1/3» Нет, не так. Вероятность чего именно? Это не вероятность, а матожидание для площади внутреннего треугольника.

@Andrew_Petrovich_Zykov Ай бұрын

в первой задаче я попытался в лоб через матожидание посчитать, в итоге вышло 2/3...😢

@steppeez Ай бұрын

а массивные геометрические тела могут и (наглядно) взвешиваться

@user-yo6no3jk9l 8 күн бұрын

Вот не понимаю, зачем задавать на экзаменах какие-то оторванные от практики задачи про билинейные функции?

@owix6758 Ай бұрын

я с вписанным в круг треугольником ниче не понял

@user-fp6dr9ld4x 25 күн бұрын

Если это вступительное, то что дальше....

@user-uq2rt3rm4m Ай бұрын

Первые две вообще не понял как решили🙄

@malejeeck 24 күн бұрын

Первую решал через интегралы получилось 1/6 (

@dmitriyl1746 25 күн бұрын

Уровень громкости музыкальной дорожки излишен

@BatkivskiyControl Ай бұрын

У автора голос в конце видео грустный какой-то 😢

@Erasyl-wz9ly Ай бұрын

Как учить матиматику если полный ноль и без цели просто понравилось?

@kasfis3486 Ай бұрын

Сначала определи свой уровень. Попробуй что-ли ОГЭ решить для начала

@Erasyl-wz9ly Ай бұрын

@@kasfis3486 одним словом всё очень ужасно поверь

@kasfis3486 Ай бұрын

@@Erasyl-wz9ly тогда начинай с программы 7 классов, потому что всё что было раньше ерунда. Необязательно книгу читать и решать все, главное тему понять и запомнить

@nenne303 16 күн бұрын

@@Erasyl-wz9ly Если все ужасно, всегда можно начать с 5 класса

@mega_mango Ай бұрын

вторая сворована у 3б1б лол