Задача о носках и уравнение Пелля

Рет қаралды 22,697

2 ай бұрын

Решаем задачу по теории вероятностей, которая неожиданно оказывается связанной с поиском рациональных приближений для квадратного корня из 2.
Благодарим вас за интерес к нашей работе!
Получить доступ к дополненным материалам и поддержать нас можно нашем телеграм-канале: t.me/getaclass_channel/525
Новосибирский Государственный Университет
www.nsu.ru/

Пікірлер: 104

@OlegVlCh 2 ай бұрын

Теперь понятно, сколько носков мне надо покупать! Спасибо.

@gimeron-db 2 ай бұрын

Если все будут одного цвета, то неважно, сколько их будет. Впрочем, почему бы не надеть носки разных цветов )

@user-tu4ir5bl4b 2 ай бұрын

Хорошо известна аксиома: " независимо от количества носков, загруженных в стиральную машину, количества вынутых всегда нечетно "

@AK-_- 2 ай бұрын

@@gimeron-db у меня папа разные ботинки как-то надел 😉 и понял это когда уже доехал до места . Делать было нечего .Поржал .И пошел дальше по делам .😁

@user-er6zr1tm3i 2 ай бұрын

Шикарная весенняя рубашка!

@mike-stpr 2 ай бұрын

Шикарный ролик! Огромное спасибо! Восхитительно! 🙂

@German_1984 2 ай бұрын

На этом месте нам стоит остановиться, иначе у нас ещё и Пи откуда-нибудь появится :)

@purity_one 2 ай бұрын

О, помню эту задачу из задачника Мостеллера, который вы как-то рекомендовали.

@user-qx4ht6kg5s 2 ай бұрын

Рубашка шикарная. Зачёт!!!

@tinylith1603 2 ай бұрын

Если сразу предположить, что чёрный носок всего один, получается, что с вероятностью 50% он остаётся в ящике, когда мы тянем два носка, это возможно, если 2 это половина всех носков, несложно показать, что это минимально возможное количество

@mikezador 2 ай бұрын

Я тоже так решал. Если черный 1, то 2 красных, мало 1/3, а 3 красных будет 1/2

@trenger_v_top 2 ай бұрын

А почему не может быт 1/3 разве условие не сохраняется?

@mikezador 2 ай бұрын

@@trenger_v_top По условию вероятность 2 красных 1/2

@blunt9845 2 ай бұрын

Почему у Вас при любом раскладе 50%? Если чёрный носок один то вероятность что он остаётся в ящике 1-(1-1/S)*(1-1/(S-1)) = (S-2)/S. Т.е. вероятность очень зависит от колличетва всех носков. Второе сомниыельное утверждение: могло оказаться что чёрный носок не один. Например если в задаче могло быть указано, что всего носков больше 10.

@tinylith1603 2 ай бұрын

@@blunt9845 если в ящике всего один чёрный носок, возможны два события, либо мы его достали, либо нет, вероятность 1/2 для кажого из этих событий будет если достать наугад половину носков. Собственно (S-2)/S = 2/S = 1/2. Предполагаем один носок потому что это частный случай, для 2+ чёрных носков появляется ещё одно событие чёрный+чёрный, и тогда нет принципиального отличия между подсчётом чёрных или красных носков. Для других условий решения с одним чёрным носком может не быть, но решал я конкретную задачу, в которой про 10+ носков ничего не сказано.

@termit1903 2 ай бұрын

Вам спасибо за наше внимание!!

@user-qr7dw4hk6x 2 ай бұрын

Прекрасное объяснение

@Artur_Stoll 2 ай бұрын

Насколько понимаю, весь набор целочисленных вариантов представляет из себя многообразие, в котором соотношение s/x медленно приближается и сходится в бесконечности к корню из двух.

@user-oo3wd3ub9b 2 ай бұрын

В приближении к реальности носки должны лежать парами, учитывая это есть решение данной задачи?

@alexeymokhov9933 2 ай бұрын

Шикарная рубаха

@user-is1ob9xv2h 2 ай бұрын

Уважаю иатематиков !!!!

@user-wi1oe4rt8l 2 ай бұрын

Новая заставка?

@kozztyakv3842 2 ай бұрын

Добрый день! Добавьте пожалуйста в описание ролика реквизиты для перечисления пожертвований на развитие канала.

@getaclassmath 2 ай бұрын

Добрый день! Пока нас можно поддержать в Telegram: t.me/getaclass_channel/525 Спасибо!

@kozztyakv3842 2 ай бұрын

@@getaclassmath Добрый вечер! Отправил, надеюсь в будущем можно будет поддерживать подпиской на бусти😄

@user-gb1lj5tl8e 2 ай бұрын

про пеля и числа не понял. а решение задачи красивое, спасибо.

@myse404 2 ай бұрын

Просто подумав, мне кажется, что должно быть минимум 4 носка - 3 красных и 1 черный. Тогда шанс вытащить два красных подряд будет 3/4 × 2/3 = 2/4 = 1/2. При меньших колличествах не получается, тройка не сократится. Однако, все равно интересно доказательство и формула, так что буду смотреть

@blunt9845 2 ай бұрын

Но могло оказаться что чёрный носок не один. Например если в задаче могло быть указано, что всего носков больше 10. Тогда по-Вашему методу надо решать перебором. А это утомительно и недостойно истинному математику.

@mike-stpr 2 ай бұрын

Интересно рассмотреть эту же задачу в другой плоскости: есть ящик с носками двух цветов. Как нужно расположить в ящике эти носки, чтобы вероятность выбора одинаковой пары была 1/2 ? (ну или в более общем виде если получится). Понятно, что если мы хотим получить вероятность 1, то должны просто скрепить парные носки. А если 1/2? 🙂 СПАСИБО!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 🙂

@simpleman6617 2 ай бұрын

После стирки обычно все носки перемешиваются. Сколько надо накупить носков чтобы вероятность вытащить два носка из одной пары ну то есть совпадали по фасону размеру цвету была близка к 1 ну хотя бы 0,9? Очень актуально😂

@user-sq7ug7jh8h 2 ай бұрын

Ваша задача решается покупкой носков одного цвета и фасона.

@user-ge2op7sn5m 2 ай бұрын

Тут вся засада в том, что носки по одному обычно не продаются

@DaddyTorque 2 ай бұрын

А как быть любителям физики и физического эксперимента? И почему вытаскивание носков нельзя считать физическим экспериментом?

@paukrus 2 ай бұрын

Три носка, два красных. Один красный гарантирован. И 50 на 50 второй носок

@Unknown_-ol3ql 2 ай бұрын

Нет, и вот почему. Пусть событие А - достать чёрный носок. Его вероятность равна 1/3*1+1*1/3 = 0.666... Значит, вероятность того, что достанут 2 красных носка равна 1-0.666... = 0.3333, что не равно 0.5 Есть и другое решение: 2/3*1/2 = 0.3333... Сначала с шансом 2/3 достаётся красный носок, потом с шансом 1/2 достаётся второй носок. События независимые, поэтому умножаются. Если изначально достанется чёрный носок, значит вероятность достать красный 50 на 50? Нет...

@alx71376 2 ай бұрын

Задача поставлена некорректно. Не указано, что за один раз вынимается один носок.

@Kaiser-81 2 ай бұрын

Согласен, лично я из условий задачи понял, что за раз вынимается два носка одновременно, а не по одному один за другим.

@Unknown_-ol3ql 2 ай бұрын

а в чем разница? Одновременно или нет не имеет значения

@blunt9845 2 ай бұрын

Вообще то существует бесконечное множетво решений для 2*p²=q²±1. Минимальное решение p=1, q=1. Все другие решения получаются рекурентным соотношением: P = p+q, Q = 2*p+q. 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169... Только половина этих решений может быть использована для задачи с носками 2*х+1=p, 2*S = q. x/S = 3/4, 15/21, 85/120...

@user-di6pq7ef7p 2 ай бұрын

То есть вероятность вытащить два одинаковых носка при большом их количестве и разнообразии стремится к нулю, а так хотелось поверить в чудо...

@user-mf8fm9dj5m 2 ай бұрын

Но в задаче не сказано, что носки вынимаются по очереди. Поэтому надо рассмотреть также вариант одновременного вынимания носков.

@fhtagnfhtagn 2 ай бұрын

А какая разница?

@VictorGravit 2 ай бұрын

@@fhtagnfhtagnохохоххох, ещё какая разница

@friednoodle8572 2 ай бұрын

@@fhtagnfhtagn Если вынимать одновременно два носка, то для вероятности 1/2 в корзине должно быть 2 красных и 1 черный носок. В таком случае будет всего два варианта, как можно достать носки: либо 1 чёрный 1 красный, либо 2 красных. То есть, подходит один вариант из двух возможных, что равно 1/2. И ответ будет, что минимально надо 3 носка

@fhtagnfhtagn 2 ай бұрын

@@friednoodle8572 "1 чёрный 1 красный, либо 2 красных" - а почему 1/2 на 2 красных? Это как вероятность встретить динозавра на улице? Можно встретить, а можно не встретить, 1/2 значит. Если 2 красных и 1 чёрный в корзине, то вероятность достать 2 красных: к1к2 / (к1к2 + к1ч + к2ч) = 1/3.

@friednoodle8572 2 ай бұрын

@@fhtagnfhtagn Ладно, с носками ты прав

@user-xr3rm9eq9m 2 ай бұрын

3:50 не совсем понятно, почему взяты числа 15 и 20, а не 20 и 14. Гугл вообще не хочет рассказывать про гетеромектные числа...

@jackcarver2411 2 ай бұрын

Oblong (or promic, pronic, or heteromecic) numbers Прямоугольные числа

@fhtagnfhtagn 2 ай бұрын

А разве цепная дробь от корня из двух не находит все такие пары чисел?

@fhtagnfhtagn 2 ай бұрын

Оказалось, что почему-то не находит. Вот такая последовательность приближений получается: 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408, 1393/985, 3363/2378, ...

@fhtagnfhtagn 2 ай бұрын

А вообще-то всё получается. Чтобы перевести дроби выше p/q в носки, нужно их проредить, взяв чётные (нечётные отвечают за верхнюю границу корня из 2, а чётные - за нижнюю, нам нужна нижняя): 7/5, 41/29, 239/169, 1393/985 Пересчитываем в носки вот так: (p+1)/2 и (q+1)/2. В итоге получим такие пары: (4, 3) ; (21, 15) ; (120, 85) ; (697, 493) ; ...

@blunt9845 2 ай бұрын

@@fhtagnfhtagn Половина Ваших решений (через один) соотвтсвует задаче 2*p²=q² - 1, а половина задаче 2*p²=q²+1. Вот они то и променимы к носкам.

@user-fr4dv1pe6g 2 ай бұрын

Пусть a_1 = 7, b_1 = 5; a_(n+1) = (a_n)^2 + 2*(b_n)^2; b_(n+1) = 2*a_n*b_n Тогда предел последовательности {a_n/b_n} при n->+inf = sqrt(2)

@AlexeySivokhin 2 ай бұрын

6:53 Стоп! Но если в ящике очень много и одинаковое количество красных и чёрных носков, то вероятность вытащить подряд 2 красных носка- 1/4 !

@user-uw8sx6qm1n 2 ай бұрын

Здравствуйте! я согласен с вами, что предел пероятности - одна четвертая, когда носков много, а красных и черных поровну. Но у нас обратная задача: вероятность вытянуть два красных носка дана(одна вторая), а всё остальное будет находиться из этого. Т. е. носков окажется не поровну, как вы взяли в своём примере

@AlexeySivokhin 2 ай бұрын

@@user-uw8sx6qm1n Не понял. Носков МНОГО. допустим, 100 красных и 100 чёрных. Две попытки. Первая- имее вероятность 50%. если она успешна, то остаётся 99 корасоных и 100 чёрных носков. Вторая попытка даёт коасный носок с вероятность. 99/199. Итгого наша ероятность- (1/2)*(99/199)= 99/398=0.249 Отличиое от 1/4 (0.25) в одну тысячную! В нашем случае попытка состит в том, что мы вытаскиваем наугад два носка, фиксируем попытку как удачную, если оба они красоные, и как неудачную- в трёх остльных случях, клаём носки назад и повторем. Сделав так много раз,смотрим, каково отношние удачных попыток к общему числу Что не так?

@user-rw4ck1sx4y 2 ай бұрын

3 носка . 1 чёрный и 2 красных . 2 чёрных взять не можем а два красных вероятность 1/2. Сегодня Карфаген я не построила )

@user-xn7nw1sg1e 2 ай бұрын

М-да... Ничего не построила... Неверное решение! Вероятность взять красный носок из трёх возможных, где один черный и два красных равна 2/3. На следующем шаге снова взять красный действительно 1/2, НО! По условию задачи нужно, найти при каких условиях, вероятность возникновения обоих событий равна 1/2. Вероятность возникновения двух событий находится через логическое И, а это умножение. Таким образом: 2/3×1/2=2/6 или 1/3.

@user-rw4ck1sx4y 2 ай бұрын

@@user-xn7nw1sg1e Вопрос о минимальном количестве носок а значит минимум - 3 , меньше не может быть

@user-sr5lw3bv9 2 ай бұрын

к/(к+ч) *( к-1)/(к-1+ч)= 1/2 (к^2-к)/(к^2-к+кч+кч-ч+ч^2)=1/2 (к^2-к)/(к^2-к+2кч-ч+ч^2)=1/2 2к^2-2к=к^2-к-ч+2кч+ч^2 к^2-к=2кч-ч+ч^2 к^2-ч^2=к-ч+2кч (к-ч)*(к+ч)=к-ч+2кч Нашел ошибку, исправил, теперь написанное ранее не имеет смысла).

@user-ge2op7sn5m 2 ай бұрын

Интересная логика - купить 3 красных носка и один черный, чтобы с вероятностью 1/2 вытащить подряд два красных носка...

@regulus2033 2 ай бұрын

Эээх, на самом интересном месте остановили, про решение уравнения Пелля даже не упомянули(((

@user-bw6uw2yr3i 2 ай бұрын

О боже кто-нибудь может пояснить что такое гетеромерность чисел?

@AnanasClassic 2 ай бұрын

n*(n-1)

@Make_it_easy001 2 ай бұрын

Ага. Если увеличить количество вдвое (6 и 2), то 30 попыток из 54 будут удачными. То есть, больше, чем 1/2. Не интуитивно.

@WantedWhiteTiger 2 ай бұрын

Так и 6 не вдвое больше 2

@Make_it_easy001 2 ай бұрын

@@WantedWhiteTiger Ну так и 3 не вдвое больше 1.

@WantedWhiteTiger 2 ай бұрын

@@Make_it_easy001 ну так и не в количестве носков соотношение 1:2 должно быть Я не сразу понял, что там вдвое увеличено)

@AIexx100 2 ай бұрын

Если из ящика вынимаются два красных носка с вероятностью 1/2, то их должно быть 4, но два черных и два красных

@amidl 2 ай бұрын

Вынимаются не вместе, а по очереди

@F_A_F123 2 ай бұрын

@@amidlНеважно как вынимаются, но должно быть 3 красных носка и 1 чёрный

@blunt9845 2 ай бұрын

Если 2 х 2, то вероятность 2 красных 1/6, 2 чёрных 1/6, и разные 2/3. Т.е даже вытащить два одинаковых маловероятно.

@amidl 2 ай бұрын

@@blunt9845 Разве не 1/4, 1/4 и 1/2?

@AIexx100 2 ай бұрын

@@F_A_F123 а если мы захотим вынуть два черных носка с вероятностью 1/2, то тогда наоборот должно быть три черных и один красный? Что-то тут не бьётся, вероятности вынуть носки одного цвета и вероятность остаться носкам другого цвета равны, но то каких носков будет больше зависит от того, какие мы вынимаем, а какие оставляем, получается какая-то ассиметрия этих вероятностей и это не понятно.

@user-us2bg4tr1s 2 ай бұрын

Не смотрел видео, наверное 4...

@user-fc1gw8kf9y 2 ай бұрын

Не 4, стоит посмотреть))

@F_A_F123 2 ай бұрын

@@user-fc1gw8kf9y??? Ответ 4, как и сказано в видео..

@F_A_F123 2 ай бұрын

@@user-fc1gw8kf9y 4 просто носка

@user-fo5wb5xt4f 2 ай бұрын

А не три носка? Два красных и один черный. Первый красный носок мы вытащим с вероятностью сто процентов,а у второго красного будет вероятность 1/2.

@pskv20 2 ай бұрын

Нет, первый красный вытащим с вероятностью 2/3.

@user-tg6yo7io2y 2 ай бұрын

Неправильно! Видимо, Вы невнимательно читали условия задачи, цитирую: "чернЫЕ носки". Прилагательное "черный" стоит во МНОЖЕСТВЕННОМ числе. А, значит, черных носков должно быть, минимум, два. А у Вас получился один.

@MikhailAgeev527 2 ай бұрын

С одной стороны да, а вопрос заключается в том, какое минимальное возможное число носков в ящике,т.е. не спрашивают каких именно носков

@user-tg6yo7io2y 2 ай бұрын

@@MikhailAgeev527 Но нельзя же игнорировать условия задачи! Спрашивается, сколько носков в соответствии с указанными условиями.

@user-vc5nw8kx1h 2 ай бұрын

У вас неправильно, подумайте

@user-tg6yo7io2y 2 ай бұрын

@@user-vc5nw8kx1h Моя ошибка, видимо, в том, что я буквально понимаю условия задачи? :)

@andreyug-way1265 2 ай бұрын

Теория вероятности к математике и к жизни не имеет никакого отношения. Все парадоксы доказывают это. Не знаю, че вы ее так любите. Наверно, из-за этих самых парадоксов. Снимать то что-то надо. На самом деле, в мире столько интересного! Канал веритасиум пример для подражания.

@AnanasClassic 2 ай бұрын

Автор, ты крут и шаришь за матешу, полностью с тобой согласен! Именно потому, что теорвер никак с математикой не связан, он входит программу всех технических вузов. Без сомнения, чтобы заморочить мозги студентам)

@AXCYKEP 2 ай бұрын

Озвучка дартвейдера >>>>> озвучки Веритасиума

@user-vm6zf2dh6d 2 ай бұрын

в жизни существует колесо Фортуны, кто то в лотерею выигрывает чаще

@mikekrivbass6958 2 ай бұрын

@@AnanasClassic перефразируя Сирвента: чтоб студенты не наглели, чтоб лишения терпели...

@andreyug-way1265 2 ай бұрын

@@AnanasClassic если очень очень очень глубоко задумаетесь над вероятностями то пойдете искать корни в квантовый мир. Почему схлопываются другие вероятности волновой функции при замере? И тд и тп. И поймете что мы ничего не знаем про вероятности. Где то тут надо искать. В схлопывании. А тервер кривая попытка. Еще есть какая то связь с теорией множеств как ни странно.

@Bubka_Gop 2 ай бұрын

Не понял зачем тут уравнения. Ответ - 2 носка. Один черный и один красный.

@F_A_F123 2 ай бұрын

Нет. В таком случае вероятность вытащить 2 красных носка равна нулю, т.к. в таком случае невозможно выбрать 2 красных носка, т.к. есть всего 1 красный носок