複素関数論入門③(複素関数の微分/コーシー・リーマンの方程式)

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2 жыл бұрын

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Пікірлер: 162

@appearenceace4096 2 жыл бұрын

たくみさんは数学を魅力的に話すの上手すぎる

@abcdeeeeeen 2 жыл бұрын

動画で学べる時代に生まれてよかった

@nanashinohanako 2 жыл бұрын

08:57 「任意の点で微分可能でない」は「ない」が量化子の内部にあるのか外部にあるのかが曖昧で、「どのような点でも、そこで微分不能である」と「そこで微分不能であるような点が存在する」のどちらかが曖昧になるので、避けたほうがよいかな、と思いました。

@user-vi4ci3ch5u Жыл бұрын

高校の数Ⅲ微分の導入の授業で先生が「1点だけ微分可能な函数がある」と教えてくれた。当時は全く腑に落ちなかったが、12:36のとき初めて納得できた。

@user-ps9yt5pd9w 2 жыл бұрын

メリクリ！勉強頑張ります！

@user-ps3ss6dq2u 2 жыл бұрын

この５千円というのは「アンパンマン。新しい銭よ♥️」という感じで投げ銭(所謂スパチャ。一回リアルアンパンマンにやってみたかったですが、やり方不明でした)した意味ですか？

@user-ps9yt5pd9w 2 жыл бұрын

@@user-ps3ss6dq2u 知識というあんこがつまった顔を分けてくれるお礼と、あんこのアップグレードに役立ててくれ！という気持ちの5,000円です。

@user-ps3ss6dq2u 2 жыл бұрын

@@user-ps9yt5pd9w 回答ありがとうございました。スパチャで５千円も投げ銭する豪快な人は初めて見ました。最も、やり方が分からなかったので出来ませんでしたが、やっぱり５千円もスパチャしてくれたら喜ばれましたか？

@user-ci7js1ld2w Жыл бұрын

こういう数学のおいしい部分だけ上手に説明してくれる講義もありがたいな。

@HirotoCB4 2 жыл бұрын

コーシー・リーマンの方程式すげぇ！！と感動を覚えた講義でした。週末になったらゆっくり見るつもりだったのを我慢せずに見ておいてよかったです。偏微分あたりの知識は大学で習って忘れている部分も多いので、年末にかけてその時のノートや教科書でしっかり復習しようと思います。

@user-ck5mu6mg3s 2 жыл бұрын

複素関数の中間テスト終わったんで年末ゆっくりこの動画で復習します

@namep2893 2 жыл бұрын

頑張ってください！応援してます！

@user-ck5mu6mg3s 2 жыл бұрын

@@namep2893 ありがとうございますお互い？頑張りましょう！

@user-dc9zd7es3m 2 жыл бұрын

数学は不勉強すぎてよくわからないけどヨビノリの授業は聞いてるだけで安心する

@namep2893 2 жыл бұрын

わかります！

@user-ht1bb4jp3v 2 жыл бұрын

忘れていたことを思い出して、知識の定着に役に立ちます。やっぱ大学数学はいいですね。

@mahbo_funaki 2 жыл бұрын

要点をよく掴んで講義されていて分かり易かった。また、簡単な式を例にして理解が深まった。数学や物理の面白いところに重点を置いて説明されているので、今後も動画を見ていきます。

@user-rz8vo1eh2g 8 ай бұрын

久しぶりに見たらガチのファンクションに笑ってしまった 35:14

@ryosukekimoto4186 2 жыл бұрын

データサイエンスをやりたくて、高校数学を復習しています。数学が苦手だったんですが、微積や複素数、三角関数の動画などめちゃわかりやすくて重宝しています。ネイピア数について詳しくしりたいです。今後もたくみさんの動画を参考にさせていただきます。ありがとうございます。

@user-gf1oc9qi2q 2 жыл бұрын

タイムリーすぎる正則関数とか留数定理とかやってたから助かる

@ARJUNADDR 2 жыл бұрын

偏微分をヨビノリ動画で見ていたので、スっと入りました😁。分からないことがあったら別の動画で補完できるのが素晴らしいですね😆。今後も楽しみです〜☺️

@user-rz5df1ro3p 2 жыл бұрын

最後に次回の講義の予告するの、ワクワクがすごい。ちゃんと復習しておく。

@user-yr3yz4sf7l 2 жыл бұрын

見ていると、複素関数論がドンドン面白くなってきました❗

@nekonekko9047 2 жыл бұрын

院試に物理数学あるので夏までに留数定理やグリーン関数のところまでやっていただけるととてつもなくありがたいという気持ち…！！

@yukim.7518 2 жыл бұрын

例題もたくさんあり、分かりやすかったです！

@Suna-cx5tz 2 жыл бұрын

過去に複素関数論を学んだけど、いまいち理解できなかったところありましたが、この説明ですっきりした

@user-nr5qi1tv3e 6 ай бұрын

なんでこんなわかりやすくて、使える内容を扱ってくれるんだよ！

@hiroshikito5503 2 жыл бұрын

複素関数の心髄を見せて貰いました。素晴らしいの一言です。

@user-bm6xm5is5k 2 жыл бұрын

待ってました！楽しみ！

@ymzkoceantug 2 жыл бұрын

講義を聞いて、また、紙でたどっていくと数学が好きになっていきます。若いときに巡り合っていたら　人生変わっていたかもしれない。ありがとう。

@zasty0816yo 2 жыл бұрын

大学の授業では理解出来なかったコーシーリーマンの方程式が理解出来ました！！ありがとうございます

@namep2893 2 жыл бұрын

ないす！

@kouteipengin3550 2 жыл бұрын

めちゃめちゃ待ってた

@teresa_kawaii55 2 жыл бұрын

ちょうど学校で習っている内容なのでとても助かりました！

@se-ra7735 2 жыл бұрын

僕もこういう先生になりたい！っていうやる気が出ました！ありがとうございます☺️

@user-rz9tm9pc3i 2 жыл бұрын

本当に死ぬほどわかりやすい感謝しかない、院試に役立てます

@user-xl3cf7jl9u 2 жыл бұрын

crの方程式に壁ドンされて耳元でヴァァァ！って叫ばれたかのような衝撃を受けました、複素数面白い！

@user-ht2lu8zw8o 2 жыл бұрын

受験勉強の合間に見るの楽しすぎぃ！！！連鎖律が分からなかったので終わってから勉強します！！

@user-hu1oc6uk8d 2 жыл бұрын

受験には受験のやり方があるんですよね。別にいい大学に行かなくても、機械設計はできるし、公務員試験だって合格する可能性はあるんですよね。実際受験勉強全てが役立ってるか言うたら絶対ないし、ただ、良い大学に行った人ほど、それだけ、継続して努力する傾向があるというだけで、学歴だけで落とす企業もあるっちゃありますが、世の中そんな企業だけじゃないし、自分を売り込むって考えたら、学歴フィルターがーとかならないんですよね。起業という選択もあるし。自分がよい例なんですけど、興味ないことは絶対勉強とかしません、逆に興味あることはとことんやりきっちゃうんですよね。そして今設計職に就かせてもらってます。大学は中堅ですが、大学院は旧帝大の研究室の研究室に入室させていただきました。いきなり、現れて長い分失礼しました。なんか気になったので。。受験勉強頑張ってください！！

@user-cu2fj8jd6z 2 жыл бұрын

複素関数論のテスト前やから積分楽しみでしかたないです！

@user-zh6zh4pf4c 2 жыл бұрын

電気回路の授業でf-Zグラフを微分をしていたときに複素数を微分していいのか分からなかったので、本当に助かりました。

@namep2893 2 жыл бұрын

いいことですね！

@kenichisugiyama-tj7yq Жыл бұрын

今回も非常に勉強になりなした。本当ににどうも有難うございます。

@user-ug8qh7si6g 2 жыл бұрын

微分したくてうずうずしてました！次も楽しみにしてます！！！

@raba5122 2 жыл бұрын

世界の秘密が解けていく感じがいい

@user-mk1fl4zk7d 11 ай бұрын

くしゃみでまた、やる気が出ました。先生も人間なんですね。

@user-tp3yv7uz3n 2 жыл бұрын

待ってました！

@mimaburao99 2 жыл бұрын

別形式のコーシーリーマンの方程式を知っていたら、中間試験の連続判定の設問は無双できていたのに思ってしまった。また、コーシーリーマンの方程式の導出で「実軸と平行、虚軸と平行〜」というところは、色々な近づき方があるという複素数特有の微分の定義からなるほどと感じました。そこに行くまでに微分可能な場合と微分が定まらい場合といった例題をやっていることで素直に導かれました。

@sebangou4596 2 жыл бұрын

複素関数の偏微分みたいなものをやってましたが、実数同様の計算でいけるんですね

@user-hu1oc6uk8d 2 жыл бұрын

きっとこのチャンネルの登録者ってこういう動画求めてるわけではないと思う。けど俺は教材として無料で勉強させていただいてることに、感謝してます。

@chishiki_itadaki Жыл бұрын

zバーでの偏微分で導関数が0になる事だけを確認すれば, 複素関数が微分可能かどうかを判別できることに感動しました.

@user-qi2el2dx1o 2 жыл бұрын

今日もありがとう！

@miz8271 2 жыл бұрын

お〜〜！！分かりやすいですね

@user-nr5qi1tv3e 6 ай бұрын

実践的かつ基礎的な動画。しゅごいのぉぉぉぉぉ！！！！！！！

@user-ct8rm7mx1m 2 жыл бұрын

fの書き方のクセがすごい

@kenichisugiyama-tj7yq Жыл бұрын

年似のため3周しました。積分楽しみです。

@user-ub7hi8ul6f 2 жыл бұрын

ここら辺の内容って複素関数の凄いと思える部分やな.

@sandpiper-fu6db 2 жыл бұрын

こんなチート技があるなんて感動！！次回が楽しみ

@jogw7734 2 жыл бұрын

複素関数の可視化に関して、講義して頂けると嬉しいです

@MissFujisaki 2 жыл бұрын

ありがとうございます！

@manatanful 2 жыл бұрын

43:00 logの定義域を単にC-{0}と考えると多価になるのでだめです（偏角を連続的に繋げて螺旋のような形のリーマン面を定義域とすれば一価と思えるのでokですが）。それか0を含まない単連結領域Dを取って、1とz∈Dを結ぶ曲線Cに対してlogz=∫_C(1/z)dzと定義すれば一価正則な分枝がD上定まるのでokです。

@user-qh6pn8mn8g 2 жыл бұрын

リーマン予想って何なのかを調べていたら、たくみさんの動画に行きつきました。複素関数やテーラー展開の話はとても面白くてよくわかります。以前、球の体積や表面積そして円の面積を積分で証明しました。でも円周の長さを積分で証明することができず悩んでます。よかったら教えて下さい。

@maxanket8930 2 жыл бұрын

統計力学の講義も観てみたいです！

@Miya_Kana 2 жыл бұрын

リクエストです！加法定理に色がついて見える授業を見たいです

@rmiastatkyoa-daisuki 2 жыл бұрын

コーシーリーマンの方程式、すご

@channel_Lili 2 жыл бұрын

複素関数の積分が知りたすぎて④出る前に本買ってしまった……

@machazard 2 жыл бұрын

23:28 十分条件であることはΔz = Δr exp(i Θ)とおいて、微分の定義式でΔr→0の極限をとれば3行ほどの計算で示せると思います。

@LilyKittyful 2 жыл бұрын

昔、大学の一般教養の数学の参考書で「微分可能な関数」という前提の但し書きが多いことが疑問に思えましたが、定数関数以外に微分不可能な関数があることを教えられ、勉強になります。私自身は外国語学部出身ですが、当時から情報やコンピュータに関する講義が多かったことが記憶に残っています。これからは文系学部でもプログラミング言語以外にも微分積分学や線形代数の基礎が必要になりつつあると感じられます。

@user-yz2ns8dr4n 2 жыл бұрын

定数関数は微分可能ですよ(微分すると0になる)

@LilyKittyful 2 жыл бұрын

厳密には0になる関数も「微分可能」なためご指摘の通りです。失礼いたしました。

@masa90032 2 жыл бұрын

テンソル解析の講義がみたいです！

@whono1531 2 жыл бұрын

他の2元数である2重数、分解型複素数だったら今までの関数はどう一般化されるのかも気になってくる。特に2重数は微分と関わりが深いらしいし。

@reiru921 2 жыл бұрын

「微分は、傾きのイメージ」だと全然うまく行かないから慣れないな〜 CR方程式から、実軸と虚軸に対して実部と虚部の振る舞いが一緒かを見てる感じかな

@rk-ty9sm 2 жыл бұрын

まだ中学2年だけど頑張りたい

@ks7296 2 жыл бұрын

複素積分お願いします！

@user-jy5sf6jc3q Жыл бұрын

CRの書き換え「zバーが含まれない」は、zバーでなくとも、zと組み合わせるとxとyが1つに決まってしまうようなzの関数が含まれるとアウトですね。例えば、zの実部を取り出すR(z)とか。変形していくとzバーが登場するので、予断は禁物ですな

@ktmrdaichi 2 жыл бұрын

最後の内容はウィルティンガー微分と呼ばれる考え方そのものですかね。

@winwin9153 2 жыл бұрын

コーシー「ほう…向かってくるのか…逃げずにこの0に近づいてくるのか…」

@user-kx2ce4zm3e 5 ай бұрын

66歳です。学生時代さぼっていたので、退職を機会に改めて勉強をし直してます。動画が好きな時に何度で見れる。演習問題の確認をexcelで簡単にできる。いい時代になってますね。ところで、f(z)=x^2+y^2iって微分できるんでしょうか。式を変形したら/zが出てくる？

@user-jz8no5lx5b Жыл бұрын

Zで微分可能かを判断するためにzバーで偏微分してもいいのか？？

@user-gb2yu7kd8p 2 жыл бұрын

線形代数のように本も出版すればいいと思います。大学の教科書の他に持つ参考書としては最適になるのでは？

@user-gu8wb9kv2d 2 жыл бұрын

正則すごい

@Cafe_AllRight 2 жыл бұрын

フェルマーの最終定理のクンマーやつで正則素数が出てきますが、どういう関係がありますか(ググっても分からなかった)

@user-hd4if8br1c 2 жыл бұрын

半年前にこれやって欲しかった……

@akinaka7543 2 жыл бұрын

9分頃のz複素共役(の微分)って、なんだろう？どの偏角から近づくかによって値が違うこの感じって、ネジとか螺旋階段みたいなカタチになってるんだろうか？

@user-jx5vh8qt2o 6 ай бұрын

流体力学で使うから、役立った

@user-yy2tr5qu4s 2 жыл бұрын

リクエストです。ナイキスト線図、ボード線図の解説って出来ませんか？電験の問題にこの図が出てくるけど意味がわからず困ってます。

@manabeudon0626 2 жыл бұрын

微分可能なら実部と虚部が偏微分可能なのは、動画のように実軸または虚軸に平行に近づけた場合の極限を考えることで直ぐに示すことが出来ると思います。(必要ならu=(f+f‾)/2,v=(f-f‾)/2iと複素共役を取る操作が連続であることを使う。)

@sep125 2 жыл бұрын

ウィルティンガーの微分こんなところで見るとは知らなかった

@murphy5440 7 ай бұрын

山本直樹著の「複素関数論の基礎」だとp70の箇所にf(z)=|z|^2の微分可能性の結論は、すべてのz∈Cにおいて微分可能でないってなってるけど、ヨビノリの解説通り　ze^-iθの項が消えればいいからz=0以外という漏れ・誤植があったのかな

@user-rq2pj2ph4l 2 жыл бұрын

質問です。共役複素数z(bar)の有無で正則かどうかを判断できるということでしたが、共役複素数はyiの項にマイナスが付くだけなので、なんとなく何かの拍子にすぐ共役複素数が作れそうだな、と感じました。式を整理してたら共役複素数が作れてしまった、という例はあまりないのでしょうか？曖昧な質問ですみません。

@hiroakinakajima Жыл бұрын

zの式の加減乗除では共役複素数は作れないんです。

@LoveTonsure 2 жыл бұрын

✋質問！11:50あたりの議論です。 lim[r→0] (z* + z exp(-2iθ)) から先の議論ですが、z = r exp(iθ) と置くと、このlimの第二項を r exp(iθ) exp(-2iθ) = r exp(-iθ) = z* として、結局 (d/dz)(|z|^2) = 2z* とできるように見えます。ところがCRの方程式によると、この式は微分不能であると。どこに誤りがあるのでしょうか？

@user-nt6vf6lx2v 2 жыл бұрын

rexp(iθ)はΔzのことなので，このθはΔz→0のときに動くことができます．なのでzの偏角(これはzが固定されれば定数扱い)を同じ記号θにして計算することはngです

@nakasan617 Жыл бұрын

いつもありがとうございます！このシリーズめちゃくちゃ好きです。コーシー・リーマンの方程式を導出するのに実部と虚部を比較してとあるんですが、オイラーの公式等々で実部と虚部は混じり合う可能性があるのに、なぜ単純に分けて比較することができるのかがわかってないです。もしよかったら教えてください。

@oncomplexplaneincomplexspace 6 ай бұрын

uもvも実数x,yでのみ表される実数です！(f(z)=u+iv)

@user-lu4yv2xu8g 2 жыл бұрын

楽しそう

@dowadowa1024 2 жыл бұрын

CR方程式の別表現のところ、もろ三角関数だなぁxがcosでyがsinの形してる

@fk341 2 жыл бұрын

分かりやすい解説有り難うございます！質問なのですが、log(z)は前回の動画の式変形ではLoglzl+iArg(z)という形になっていましたが、なぜzが0以外で正則なのでしょうか。z絶対値がある、すなわちzの共役が含まれているのに、なぜ正則となるのでしょうか。

@user-pt9lj7qo2f 2 жыл бұрын

CR方程式の極座標表示は ∂u/∂r=1/r(∂v/∂θ) ∂v/∂r=-1/r(∂u/∂θ) となります(これは証明が滅茶苦茶面倒なので略) log(z) をrとθの関数と見ると、log(r,θ)=log(r)+i(θ +2nπ)と書けるので、 u(r,θ) = log(r) (このlogは実数関数) v(r,θ) = θ+2nπ と表せます。これを極座標表示のCR方程式に突っ込むと確かに正則だと分かります。見た目上z共役が含まれていますが、多分一生懸命偏微分取ると0になるんでしょうね……(その偏微分はやりたくなさすぎる)

@fk341 2 жыл бұрын

@@user-pt9lj7qo2f なるほど、有り難うございます！座標変換することでうまく行くのと、zバーの偏微分0で判定できることのありがたさも分かりました！

@sanrosugaku 2 жыл бұрын

iArg(z)=Logz/|z|=Logz-log|z|なので消えると思いますよ(というか元に戻っただけ)

@Mr-oe6hd 2 жыл бұрын

ヨビノリ頑張りすぎや

@13dpg75 2 жыл бұрын

CR方程式の別表現のところから分からなくなったな…偏微分を復習しないとだめやな

@Weeb-yv8ww 2 жыл бұрын

やっぱ理系ってクソかっこいいな

@user-you12345 2 жыл бұрын

まだ見てないけど、とりあえず高評価！

@user-fm9pe1fi2z 2 жыл бұрын

質問です。 \bar{z}の表記を簡単のためz＊と書きます。やはりzとz＊を独立に扱う違和感が拭いきれないのですが、その例として、 f(z)=zという関数について考えたとき、 f(z,z＊)=z→∂f/∂z＊=0 という解釈もできれば、 f(z,z＊)=(z＊)＊→∂f/∂z＊≠0 とも理解できる気がします。解釈を一意にするためにはどう理解するのが良いでしょうか。

@user-nb2om9jl6b 2 жыл бұрын

zとz*の多項式、つまりzとz* の加減乗(＋-×)で構成された式について考えてる、とすればつじつまは合うのかな。つまり、zを(z*)* と書くことは、複素共役 * の演算が加減乗に含まれてないので考えない。実際どういう風に考えたらいいか、僕も気になります！

@user-nb2om9jl6b 2 жыл бұрын

後から自分で読んでよく分からないなと思ったので、一応補足しておきます。 (以下はウィルティンガーの微分という文脈での考えですが、動画で言っていたのは実質的にウィルティンガーの微分を定義したということだと思います)。・1/2(∂/∂Rez - i ∂/∂Imz) で定義されるウィルティンガーの微分演算子 ∂/∂z を、「zとz*の多項式」に作用させると、あたかも「z*を固定してzで偏微分したような」結果が得られる。例: 1/2(∂/∂Rez - i ∂/∂Imz)(zz*) = z*. ・z の関数 f(z) = z^2 などを g(z, z*) = z^2 と見るほかに、 h(z, z*) = z(z*)* (つまり、h(z, w) = zw*) と見る見方ができるが、後者と見てウィルティンガーの微分を作用させることを考えると、z(z*)* のzの方は正しく微分することができる一方、(z*)* の方は、ウィルティンガーの微分 ∂/∂z が、∂/∂z((z*)*) = (∂/∂z(z*))* のように(演算の順序の交換を)することができない(演算子∂/∂zに虚数が含まれているため)ので、期待した通りに微分されない(つまり、∂z((z*)*) = (0)* とはならない)。・つまり、f(z) を、zとz*の多項式と見ている限りはウィルティンガーの微分は期待した通りに働くが、そこに多項式以外の演算*が加わると、ウィルティンガーの微分が期待した結果を返さなくなるということです。 (なので、ウィルティンガーの微分を考える上で、そのとき考えている h(z, z*) の表式がzとz*の多項式になっているかが、一番上の質問の分かれ目になるのではと思います)。

@heygoogle8287 4 ай бұрын

複素関数がテイラー展開で定義できるのはある関数が正則ならその導関数も正則だからなのか… …逆か？

@kheita2991 2 жыл бұрын

ジョジョで言ったらDIOぐらい(コーシー・リーマンの方程式が)出てくるのがもう草すぎて

@kiichiokada9973 2 жыл бұрын

証明はこんな感じですかね？ 5:16バーを「」で代用すると、「a+ib+c+id」=「a+c+i(b+d)」　　　　　　 =a+cーi(b+d) 「a+ib」+「c+id」=aーib+cーid 　　　　　　　　 =a+cーi(b+d) 10:08 r(cos(θ)+isin(θ))r(cos(θ)ーisin(θ)) =r^2(cos^2(θ)ーi^2sin^2(θ)) =rs×1 =rs 追記質問があります！ 32:47この左辺ってどういう意味ですか？被微分関数がないんですが…… 33:05これってどういう操作をしたんですか？追記2 19:49「実軸(虚軸)に平行だ」が活用して「近づける」の連用修飾部となっているので、訂正前のほうが自然では？

@user-jx2cf7bu8h 2 жыл бұрын

葛城裸時です。もしかして永久機関の可能性⁉️

@user-js6su3vk1p 2 жыл бұрын

「f(z)=z* が任意の z∈C で微分可能ではない」は、「f(z) が微分不可能なzが存在する(微分可能なzがあるかもしれない)」ということを意味してますかね？(実際 z∈R のときは微分可能？) ただそうなると、f(z)=|z|^2 のときはなぜ z=0 で微分可能の旨を解答に書いたのでしょうか？それなら、f(z)=z* のときも微分可能な場合を書くべきでは？と思ったのですが

@user-mp3wj5xe1f 2 жыл бұрын

z*は常に(z∈Rのときも)微分不可能です