Прошло долгих 7 лет, как я наткнулся на этот канал с целью подготовиться к тогда ещё ГИА, и вот уже и бакалавриат подошёл к концу, а я все ещё смотрю данный канал и жду новых видео :)

Я бы, всё-таки, еще графики функций lg(x) и 1-x нарисовал - так оно красивей и наглядней. :)

Берём исходное уравнение. 1) Угадываем х =1. 2) При 0 < x < 1 левая часть больше 1, т.к. слева 10 в положительной степени, а правая часть меньше 1, т.к. справа число меньшее 1 в положительной степени. 3) При x > 1 левая часть меньше 1, правая - больше. Из 2 и 3 следует, что других решений нет.

Как всегда изящно и ошеломительно просто! Спасибо!

Отличное доказательство единственности решения. Спасибо.

Особенно понравился момент с убывающей и возрастающей функциями! Спектр решаемых мной задач расширяется и все благодаря вам!

Спасибо, стряхнула пыль с мозга. 🌹

Я из СССР, при поступлении в 1975г. штудировала Сканави. Сейчас Сканави на чердаке. Огромное спасибо.

Огромное спасибо вам за ваши видео , они помогли мне поступить👍

Интересные у Вас приёмы. Хорошо, когда числа к чему-то привязаны.

Привет Валерий. Действительно отличная задача. Спасибо вам!

Отлично, все детально, понятно и кажется даже не трудно, спасибо!

Попрошу заметить, что функции - непрерывны. Это же важное условие

Всё гениальное просто!

Весьма элегантно! В 1984 поступила в Киевский политех, Сканави был моей настольной книгой при подготовке! И сейчас ею пользуюсь при подготовке детей к вступительным экзаменам..... в Сербии! Замечательная школа советской математики!

Спасибо за видео!

Спасибо, очень интересное уравнение. Последнее уравнение я решал графически.

Спасибо !!

Спасибо за то, что вы делаете

Спасибо!

Спасибо Вам большое!

Великолепно!

Логарифмируем, пацаны

Мне очень нравится Ваша подача! 👏🏻👏🏻👏🏻👍🏻

Технично=красиво ! Спасибо

Мощно и красиво!

Просто и легко решил за минуту. Причём без двойного переноса туда-сюда. Как только мы получили равенство x - x² = x lg x, то в силу того, что x > 0 (а следовательно, x ≠ 0), мы можем сократить на x и сразу получить уравнение 1 - x = lg x, которое уже и решаем методами исследования функций и подбора.

То что 1 это ответ - очевидно. А за доказательство, что ответ единственный, лайк

Спасибо.

Для решения подобных уравнений в аналитическом виде в последнее время модно применять функцию Ламберта.

Договор дороже денег. Лайк и комент. Занят был не много. Просмотр без звука - потом послушаю. Сложные дни были.

Спасибо за интересное решение!

без логарифмов можно обойтись: так как если решения существуют, то все они будут иметь вид 10^n, где n - рациональное число, то есть X = 10^n. Заменяем X на 10^n. Дальше группировка и, наконец, получаем, что 10^n = 1 - n. А дальше как в ролике: обе функции монотонны, одна возрастает, вторая убывает => одно решение при n = 0, а значит X = 10^0 = 1. Обожаю ваш канал :)

Браво!

Круто🤩

И кто это сказал, что "логарифмирование не поможет"? Именно оно, и только оно, и помогает!

Решить можно было без аналитического исследования. 1-x-lgx=0. 1 = lgx +lg(10^x). 1 = lg(x*10^x). x*10^x = 10. При х10. При х = 1 решение есть. И никаких графиков и анализа функции на возрастание/убывание не требуется.

Как всегда, на высоте

На ночь глядя посмотрел из любопытства этот ролик , думал сойду с ума

you are the best explainer!

Решил ещё в самом начале методом подбора. 💪💪💪 Самое простое было х = 1. Так и вышло. Но не пытался доказать, что это будет единственное решение, поэтому посмотрел видео.

Класс !

Как обычно Хакаято вроде как сложная хрень А в итоге ответ 1

Супер задача! Как раз проверяет умение аналитически мыслить. Но если 2 функции были либо убываюшими, либо возрастаюшими, то решений могло быть бесконечно много. Но тут суть именно в этом, что одна возрастает, другая убывает

Отлично

Ого, круто!

Да, не отходя от кассы, сходу ответ угадывается ЭТО ...ЕДИНИЦА!!!

Здорово же выпутались из первоначального «ужаса»! А я испугался и не стал решать самостоятельно.

Круто

Думал что вы решите это уравнение без метода подбора😁😁

Божественно)

Не шарю в математике, но оч интересно :)

Ах, хорош! :)

Можно было воспользоваться свойствами функций в самом начале, без преобразований, но тогда корень не так очевиден, нужно поподбирать

Дякую Профессор

Это все очень интересно, но на самом деле задача выглядит так: (10^(1-x))^x=x^x

Не знаю почему но я интуитивно это понял.

Интересно🤔💭, спасибо, как всегда очень поучительно

Блин, решение крутое!

Крутоооо

По-моему более наглядно перегруппировать последнее уравнение как x + lg(x) = 1 и рассмотреть три случая: * 0

Долго боялся смотреть это видео. Сейчас спьяну открыл, поставив на паузу, и решил в уме. Вот мой алгоритм решения: 10^(x-x^2) = 10^(x(1-x)) Преобразуем полученное выражение свойству степеней 10^(x-x^2) = (10^(1-x))^x Подставляем полученное выражение в изначальное равенство (10^(1-x))^x = x^x Показатели степеней одинаковые -- сокращаем их 10^(1-x) = x Еще раз преобразовываем по свойству степеней 10^(1-x) = 10^-1 * 10^x = 1/10 & 10^x Откуда получаем равенство 10^x = 10x Выполняя те же действия с графиками, получаем единственную точку пересечения - это 1. И никаких логарифмов

Как обычно ответ -единица. В задачах творца бывает ещё экспонента, но не в этом случае.

Выносим степень "х" в левой части и сокращаем ее и справа и слева . остается 10^(1-х) =х .Дальше решаем графически, строим график у=х и у=10^(1-х) . Ответ х=1

Божественный подбор!

Можно было просто задаться областью определения и проанализировать: функции справа и слева при x>1 и 0

Я решил интуитивно за одну секунду )

Уникальное решение 💪😄👌

Хм, а я вот решил по-другому🤔 Из обоих частей можно извлечь корень степени x. В итоге получилось (10/10^x)=x Ну и дальше построение графиков и приход к выводу, что пересечение у них только в одном месте : x=1🤷‍♂️

Решил устно за полминуты, это совсем не сложно

С этим сложными уравнениями одна беда: чаще всего подставляешь 1, 2 или типа того и понимаешь, что других решений нет.

Еее, методом тыка сразу решил. Уже не в первый раз

Уравнение вида 1 - х = lgX можно решить и графически.

Brabo demais

Крутое решение крутой задачи

То есть, чтобы придумать такую задачу нужно написать: 10 в степени 1-1 = 1 в степени 1. Потом заменить едbницу на X и задача готова! 😀😇

Ну, я, честно, сразу нашел корень 1, но расписать, конечно, не так просто, как кажется

Я сразу ставил 1 и проверил . Всё верно

Всё тоже самое можно сказать про исходное уровнение - сразу видно, что решение = 1 и что других корней нет из-за строгого возрастания одной части и убывания другой, логарифмирования не требуется.

Пытался решать так (10^(x-1)) ^x=x^x отсюда (т.к x>0) 10^(x-1) =x и дальше исследуем показательную и линейную функцию. По сути тоже самое, но зато логарифмировать не надо. Это решение оправдало бы название ролика

Я понял, что что-то адекватно доказать в этом примере я не смогу и начал подбором. Я не мало так удивился, когда первая цифра, которую я подставил явилась верным ответом

10^(x-xx) = x^x 10^x(1-x)=x^x Возводим обе части в степень 1/x 10^(x-1)=x 10/10^x=x 10x/10^x=1 Очевидно, что x=1, т.к. уравнение имеет только одно действительное решение при x принадлежащее еденице (метод подбора).

Можно обойтись и без логарифмирования: возведем обе части в степень 1/x (мы можем это сделать, так как обе стороны положительны и x не равен 0): (10^(x(1-x)))^(1/x)=(x^x)^(1/x), 10^(1-x)=x, левая часть монотонно убывает, правая монотонно возрастает, т. е. уравнение имеет максимум 1 корень, который легко подбирается - x=1

Решение банально. Х=1, так как будет 10⁰=1¹, а любое число в нулевой степени - 1

Я просто вначале взял икс как 1 чтобы попробовать решить аналитически и как оказалось нашёл корень уравнения

функция Ламберта в помощь👽

Без логарифмов и без исследования: Пусть ^ - знак степени. Дано: 10^(x-x*x) = x^x; раскроем скобку: 10^(x*(1-x)) = x^x; поменяем порядок множителей у скобки 10^((1-x)*x) = x^x; или по другому (10^(1-x))^x = x^x; отсюда видно, что 10^(1-x) = x представим как произведение 10^1 / 10^x = x или 10 / 10^x = x или перенесем в правую часть знаменатель 10 = x*10^x запишем 10 в степени, чтобы был одинаковый вид с каждой стороны равенства 1*10^1 = x*10^x откуда четко виден корень который равен 1

В конце, помимо доказательства возрастания и убывания функций, необходимо доказать их монотонность, это так же необходимое условие для существования только одного корня.

Мне почему-то сразу на ум пришла единица.

Кому подбор не нравится , тут можно было сказать вот что 1-× это какое то число и логарифм по основанию x тоже какое то число , но поскольку эти числа между собой вычитаются , то число должен быть одинаковым , чтобы все это было равен нулю , можно было отдельнл решить 1-x , там получаем единицу , проверили логарифм , совпал равенства верное , получили бы другое число , это было бы пустое множество .

Если я ничего не напутал, то можно извлечь корень из неотрец. прав. и левой части без потери корней. Извлечём корень x-степени, тогда будем иметь дело с 10/x = 10^x и исследовать эти ф-ции или воспользоваться функцией Ламберта.

Преобразовать к виду 10\10^x=x можно без логарифмирования и затем исследовать обе функции.

А нельзя решить через подстановку lgx=10^t ? я попробовал вроде все ок

почему х = 0 не решения, разве 10^0 не равно 0^0? и вопрос, почему не взять корень степени х справа и слева? получится 10^(1-x) = x, дальше исследуем что x может лежать только в диапазоне от 0 до 1 и это как раз и будут крайние точки 0 и 1

Число 1 явно подходит

Я методом постановки просто подставил 1 и готово) все решилось

Автор видео: *вычисляет ответ через логарифмы и разложения на множители* Я: *просто предположил, что ответ 1, из уравнения x=10^(1-x)*

Я решил сразу методом подбора, не преобразовывая уравнение. получил то же.

Я даже не помню, решал такое в 11 классе или нет. Вроде бы решение уравнения через построение графика мы проходили. Очень интересно. По алгебре у меня стабильно 3/4 в старших классах было, и это при том, что математику я люблю (хотя и без фанатизма).

Интересно, я про логарифм и не подумал. я совсем иначе решил. x>0, значит можно возвести обе части в степень 1/х. Тогда имеем х=10^(1-х)=10/(10^х). Тогда 10= х*10^х. И х, и 10^х монотонно возрастающие на всей области определения, значит и их произведение монотонно возрастает. Значит каждое значение из области допустимых значений принимается лишь раз. Несложно заметить, что при x=1 мы и получаем 1*10^1=10. Равенство верно, х найден. Задача решена.