Интеграл, связывающий две специальные функции

Рет қаралды 6,967

2 жыл бұрын

В этом видео будем находить несобственный интеграл x^(s-1)/(e^x-1), и выясним при каких s для такого интеграла известны "точные" значения. Этот интеграл связывает между собой две специальные функции: гамма-функцию и дзета-функцию.
Основные соотношения для гамма-функции получены здесь: • Гамма-функция и бета-ф...
Значения для дзета-функции получены здесь: • Дзета-функция: все зна...
Подробнее про числа Бернулли здесь: • Ряд Тейлора для танген...
Если у вас есть возможность, поддержите канал материально,
карта Тинькофф: 5536 9140 7597 3911

Пікірлер: 29

@AlexeyEvpalov 5 ай бұрын

Показана связь функций через интеграл. Большое Спасибо за интересную лекцию.

@PavelCypher 2 жыл бұрын

Посмотрел не отрываясь за один присест. Интегралы - это однозначно одна из моих любимых тем в математике.

@nazimavaleeva3752 2 жыл бұрын

Поняла, это не просто, вы очень высокого уровня математик, спасибо было интересно!

@Hmath 2 жыл бұрын

я бы о себе так лестно не стал говорить :)

@Hello-ts6hk 2 жыл бұрын

Большое спасибо за вашу работу! Как всегда очень интересно

@tahion5643 2 жыл бұрын

Если кто-то спросит, зачем математикам такие ухищрения для решения задач, то я покажу им это видео и скажу, что точно такой же интеграл ищется от формулы Планка плотности энергии теплового излучения для вывода формулы спектральной плотности излучения абсолютно черного тела. Автору уважуха!

@dashersbeatz 2 жыл бұрын

Попробую запрграммировать эту формулу в питоне и посмотреть (интеграл J). Спасибо за очередное произведение искусства!

@Abraxax 2 жыл бұрын

И как успехи? Кстати, как программировать интегралы?

@dashersbeatz 2 жыл бұрын

@@Abraxax Последовательность по параметру s

@dashersbeatz 2 жыл бұрын

@@Abraxax Сначала само собой нужно вычислить формулу последовательности, просто так интеграл не решишь. Чисденные расчёты

@NikitaBotnakov 2 жыл бұрын

Все очень интересно, предельно понятно и подробно, огромное спасибо!

@Suetolog1441 2 жыл бұрын

Всё таки интеграл является чуть ли основным понятием во всей высшей математике Чтобы понять что откуда взялось, нужно посмотреть все ваши видео😅 Звучит как вызов Как обычно на высшем уровне!

@MinecraftForever_l 2 жыл бұрын

И снова новое видео на моём любимом канале)

@pyaniy_abba577 2 жыл бұрын

Харош

@NikitaBotnakov 2 жыл бұрын

Оказывается, что рассматриваемая функция - это полилогарифм и раскладывается в красивый ряд (см.википедию на английском)

@peter_void5069 Жыл бұрын

Если немного поработать с особенностью в 0 под интегралом, то можно аналитически продолжить эту формулу для s < 1 и простым способом получить zeta(-1), было бы интересное видео. Вроде бы на ютубе никто это по-честному не считал, все только спекулируют расходящимися рядами.

@Hmath Жыл бұрын

я пару раз видел, но там не слишком подробно было. Очень узкая аудитория таких видео :)

@davidazizov8864 6 ай бұрын

Классное видео

@alternativereductor-19-98 2 жыл бұрын

Интегральные фокусы

@jianghongmurong2083 2 жыл бұрын

Thanks for all of special techniques. I enjoy your videos even thought I don’t understand Russian. Could you pls teach some examples about infinite integration involving the first kind of Bessel function: for example, int from 0 to infinity (x/(1+x^4)Jo(a*x)dx. The series expansion representation will be fine.

@Hmath 2 жыл бұрын

thank you, it's nice that someone watch my videos even without knowing russian. It means mathematics is more universal language than any other. Now there are 2 videos on my channel where Bessel's functions appeared: kzfaq.info/get/bejne/gKxhnM6Jxt6Zop8.html kzfaq.info/get/bejne/oblgaKunupy8goU.html

@rshkar1999 2 жыл бұрын

1. Целым быть не может (теорема Штаудта), в противном случае сумма ряда обратных величин простых чисел так же была бы целая при каком-то n. 2. Второй вопрос очень сложный. Об арифметической природе числителей чисел Бернулли мало что известно - они нечетны - да вот, пожалуй, и все. А в нашем интеграле в знаменателе стоит 4k и, если знать разложение числителя на множители, возможно, что-то сократиться. Опять же по теореме Штаудта, наименьший знаменатель чисел Бернулли с четными номерами равен 6. Получается, что очень грубой оценкой знаменателя интеграла будет 24k.

@Hmath 2 жыл бұрын

спасибо, очень подробное и полезное дополнение!

@user-ot2uf8ne9s 2 жыл бұрын

5:13 на этом моменте у меня челюсть отпала

@obrazovaka7965 2 жыл бұрын

Не могу понять, откуда получили Jmin на 11:13😿. Почему Jmin=J3?

@Hmath 2 жыл бұрын

здесь строго ниоткуда. считайте, что это просто факт, о котором сообщил :) а так, числа бернулли возрастают (об этом есть в предыдущем видео), но то, что они монотонно возрастают здесь нигде не доказывалось. Поэтому, конечно, тот факт, что J3 имеет наименьшее значение строго не доказано.

@heldehog4360 Жыл бұрын

почему не показываешь вывод функционального уравнения дзета функции через контурный интеграл, там ещё первоночально интегрирование ведём по берегам разреза.🤓 не все же глупые, я в институтах не учился, но это знаю.