Олимпиадная задача прошлого года, которая кажется сложнее, чем есть на самом деле

Рет қаралды 13,394

Этому не учат в школе

23 күн бұрын

Телеграм "Этому не учат в школе" - t.me/yellow_school
На какую цифру заканчивается сумма чисел 3²⁰²³+4²⁰²⁴?

Пікірлер: 24

@NicolyaLS 21 күн бұрын

Для масштаба: 3710414664983661149803682770868193978870281487471714073877512459219310542733998150484448828247954417992425059631640006465103359680973204629819534573625238060209443974257617065647571017927872526038967997450356315263691154056138944190736362871321981833350116010653181920683872896108404709636590952565085094876659470943045956504057901550473531711635078033372304253760973705524964051381064404184328310853464420805823038258833591846937658043984615343857663953226788624645362135968845294948467927658336894976230823356924620923928491011638483555540343138558122326310911934444267843269202806076774470050608319721335367389865648248367106350197911940916802080302093524752800948556088428472085802796739865825849698378407611261596961610983072949127532992122393349417486975231498006461884393867728923422239920919914907298001286434866660361951532327896537755073665499200280541229741700108654843212727270700091985211523902089147496321149502587669816102726885432889628527668877907331457309476478735094591467710103949397021275743378018630403869407272936930699768202021386079827281185524788128508393761956758583732855268574941121754038857092914855684249379519168646848993761614196230667699599715974061113961883296925419422459744412809483

@tolstoy4328 16 күн бұрын

ну в принципе число меньше чем я думал. посчитать можно. правда на это потратить надо не 1 десяток часов

@KapitanNikitin 21 күн бұрын

Не верите, можете проверить - это лучшее доказательство леммы! Возьму на вооружение!

@dmitrygurban8635 21 күн бұрын

За последнюю цифру суммы всегда отвечают последние цифры слагаемых. "4" в четной степени всегда заканчивается на "6". Теперь разберемся с 3^2023. 3^2023=27*3^2020. 3^(4*n) всегда заканчивается на "1", а значит 27*3^2020 оканчивается на 7*1=7. Сумма последних цифр слагаемых 6+7=13, т.е. заканчивается на "3". Вот и все решение

@AlexeyEvpalov 21 күн бұрын

Последние цифры степеней циклично повторяются. Спасибо за простое решение.

@darkerhast3105 20 күн бұрын

Можно решить легче поделите степени на 4 и возведите основания в степень на цифру которая получилась в остатке, если в остатке при делении получилось 0, то возведите в 4 степень, какие числа получатся на конце сложите и получите ответ. В данном примере это выглядит так делим 2023 на 4 остаток 3, возведем число 3 в степень 3³=27 на конце значит 7, после поделите 2024 на 4, остаток 0 тогда возводим в 4 степень цифру 4, 4⁴=256, на конце 6, сложите последние цифры 7+6=13, на конце значит будет 3, вот и все решение. Если не понятно почему я делил на 4 то напишите для себя специальную таблицу где вы каждую цифру будете возводить в степень начиная с единицы тоесть например 2¹=2; 2²=4; 2³= 8; 2⁴=...6; 2⁵=...2; 2⁶=...4 можете заметить что через каждые 4 раза цифра в конце повторяется, это справедливо для всех цифр или чисел (тогда берём цифру на конце) которые мы будем возводить в степень

@peterbyrne6394 17 күн бұрын

Thank you. logical and interesting solution.

@user-yv5gg7vr8v 21 күн бұрын

Отличная задача!

@14253689 20 күн бұрын

По-моему о закономерности со степенями тройки ранее уже слышал на канале Mr H Tutoring

@alexandrrotari1428 21 күн бұрын

Из всех рускоязычных матютюбканалов этот и Валерия Волкова самые лучшие. У них и голоса похожи. Рекомендую.

@user-lc4ib4qb3q 21 күн бұрын

Интересно-интересно то, что я решала не правильно, но ответ вышел верный. Я почему-то подумала, что достаточно возвести в степень последней цифры. То есть 3 возвести в степень 3 (последняя цифра от 2023), а 4 возвести в степень 4 (последняя цифра от 2024). В итоге вышло 27 + 256 = 283. Последняя цифра 3.

@user-si3ee3xw5b 22 күн бұрын

@vikvanger42 20 күн бұрын

Эта олимпиадная задача? За какой класс?

@alexboland8537 21 күн бұрын

усная олимпиадная задача, это что-то новенькое!

@Kim-jm6hy 20 күн бұрын

Я в 7 классе, к решению догадался сразу

@user-ec5ip3vp2r 20 күн бұрын

@user-sg6yg2uk1r 22 күн бұрын

Ставлю лайк.

@williamspostoronnim9845 21 күн бұрын

Обалдюмон! Ни за что бы не решил...

@Nikolyan 21 күн бұрын

Только включил видео, проверю в конце свой ответ. Четыре в квадрате 16, в кубе 64, в четвёртой 256, в пятой 1024 и так далее, то есть в чётной степени последняя цифра 6, а в нечётной 4. В нашем случае у 4 в 2024-ой последняя 6. С 3 не хочу проверять, потому что сразу помню 9, 81, 729. То есть 3 в 2023-ей =3(9 в 1011-ой), у 9 в нечётной последняя 9, а 9*3=27, то есть у 3 в 2023-ей последняя цифра 7. 7+6=13, ПОСЛЕДНЯЯ ЦИФРА СУММЫ 3.

@Nikolyan 21 күн бұрын

Не знаю для каких классов задача олимпиадная, но для старших можно было бы количество цифр в числе спросить.

@Alexander-mj3jk 21 күн бұрын

Думаю,100% баллов вы не получите за такое решение. Надо доказывать, что там последняя цифра периодична. Доказать это не сложно: если каждое следующее число умножаем на 3 в столбик, то это последняя цифра умножается на 3, то есть периодичность там будет...

@dmitrygurban8635 21 күн бұрын

Доказательство еще проще по методу остатков. "4" по модулю "5" равно "-1", и при возведении в нечетную степень остаток по модулю "5" будет равен "-1", т.е. последняя цифра будет равна 5+(-1)=4. При возведении "-1" в четную степень остаток по модулю "5" равен "1", т.е. последняя цифра будет равна 5+1=6. В нашем примере "4" возводится в четную степень, а значит и остаток "-1" тоже возводится в четную степень, т.е. будет равен "1", а значит 4^2024 оканчивается на "6". Сложнее с 3^2023. Надо знать, что 3^4=81, т.е. остаток числа 81 по модулю 10 будет равен "1". И в общем случае 3^(4*n)=81^n будет оканчиваться на "1". Поэтому я число 3^2023 представил в виде 27*3^2020=27*81^505. 81^505 всегда оканчивается на "1", а значит 27*81^505 оканчивается на 7*1=7. Ну а дальше 6+7=13, последняя цифра этой суммы "3". Вот и все решение. ПисАть было долго, но эту задачу я решил в уме за 30 секунд.