ヒルベルトいるなら数学無双できそうにないな…

ZFCだけじゃ実数濃度が理解できないの、ほんとに理解できない、そこにあるのになぜ…

直線が長いと嬉しい

大学3回生の幾何学演習の1問目がこれだった。解説はこれほど詳しくなかった。ありがとうございます。

パッと見では弧状連結にも見えるけど、連結までしか言えないのでしょうか？

巨大数論としてはOrd×[0,1)まで広げたくなりますが、ω₁が「丁度いい」のは面白いですね

ω2以上では連結じゃないのか・・・衝撃だな

冪集合をP()として、Rの濃度がP(ℵ₀)なのは(ZFCで)正しいって認識で良いんですかね。 P(ℵ₀)が何番目に大きい濃度なのかがZFCでは示せないだけで……

全く同じ問題が2年前期の期末試験に出て無事死亡しました。

Lie群にはならないはず！位相群にはなるのだろうか

長い直線の定義を見た時に、非可算順序数は色々あるのになんで最小だけ考えるんだろうとぼんやり気になっていたので、最後の説明が気持ちよかった

言われてみれば絶対値記号、色んな意味で使っている。 実数の場合、複素数の場合、ベクトルの場合、行列の場合(行列式)、集合の場合…… 高校生や大学一年生の時は、これらに同じ記号が割り当てられることに疑問を持たなかったけど、言われてみれば不思議で、そして実は全て絶対値の一般化された定義を満たしていたから同じ記号で書いていたと知るとかなり面白いですね。

なぜ「長い」のか、が分かるとこ気持ち良すぎる。 加算無限の点列程度じゃ無限遠に飛ばないぐらい「長い」……確かに長いなあ

選択公理なしだとどうなるか、はまた別の動画でやるかもですが、ところでそういうことを調べている論文が見当たらないので何か論文を知ってる人がいたらコメントで教えて貰えると嬉しいです

0:56 数秒前の自分「ま、とりあえずこの動画の続き見ちゃうか」 数秒後の自分「なんで見に行かなかったねん」

質問させてください コンマ圏を特殊化してスライス圏を得る話についてですが、スライス圏C/cの定義として対象を f∈C s.t. cod(f) = c ととることがあります（E.g. Awodey本） コンマ圏 1C↓G の対象は例えば <f, c, *> の3つ組ですが、*は無視していいとしても<f, c>とf∈Cは同型なのでしょうか？ 特に関手 F: C/c → 1C↓G を f ↦ <f, dom(f), *> のように定義して良いものか気になります

5:14ここ、罠がスペルスピード2であることとは厳密には関係ないかも？基本罠だけが墓地でもスペルスピード2ってだけで

読みました！面白かったです

Awodey読んでたときにいきなりposetの定義が出てきてそこまでは良かったんですけどロジックの話になってくるとさっぱり分かりませんでした。(Boolean algebra を一般化した的なやつ)

two-point setはルベーグ可測になるんだろうか。なったら零集合なのは分かるけど……

この動画は、順序集合の圏Ordから圏の圏Catへの”自然”な関手Fを一つ定義したといえますよね？ 動画内で述べていたように、順序集合から圏を構成する方法は他にもあって、例えば、それを関手G:Ord -> Catとします。 このとき、「自然変換 a:F -> Gが唯一存在する」みたいな感じに、Fの自然性を正当化できたしますか？

eが2と3の間にあるの知ってるとか天才か？（使わなすぎて忘れつつある）

ここから始まったやな... ショートでも書かれてたけど、HIKAKIＮよりKZfaq歴は長いらしい。 異質すぎるｗ

面白いです。最近はこのチャンネルの更新が楽しみ。 ただ、私に数学的基礎知識が足りなくてなかなか理解できてないですけど。（工学修士卒だと数学を道具として使うことはあってもこういう根本的な所は疎か…）

7000人おめでとう

今まで圏論食わず嫌いしてたけど、確かに関数論と整数論を統一出来るのは便利ですね

つまりｐ進級数の係数はその整数の微分係数ってわけ！！？

これと似た話で、カントールの対角線論法による実数と自然数の濃度の違いの証明に抗議したことがあります。対角線を置き換えた数αと表記が異なるが値が同じ実数がリスト内に存在する可能性があるから、そのようなαが選ばれないように置き換え方を制限しなければならない（講義の説明ではランダムに置き換えるだけ）と主張しましたが、教授は受け入れてくれませんでしたね…（多分数学科の講義ではないからだと思います）

とても解説がわかりやすかった ありがとうございます

2:37 ω₁…？

じゃあ「クロネッカーの青春の夢の定理」とすべきだ。

コンピューター上で見てみたいな、この集合

どんな見た目してるんですかねこの集合

その未解決問題を肯定的に解いたら霊夢と魔理沙の動画一本作れてお得じゃん。がんばれー

9:14 直線l(∈X)とl_αの交点が高々1つというのは分かるけど、Xの濃度って連続体濃度まで行かないってこと？ (これまで追加してきた点の数)^2までしか直線lって作れないから、Xの濃度は(αが無限濃度に行けば)αの濃度で抑えられるからってことか そしてαはあくまでλ（これってLの濃度と等しい基数、cってことで良いよね？)の要素だから濃度は連続体濃度未満　対してLは連続体濃度だから差集合は空集合にはなりえないと

最後の未解決問題に関しては意外と弱い体系で示せるような感じがしなくもないですね。主張を少し弱めて「3点が直線上に並ばないように集合を増やすのはどこまで可能か？」を考えると、これはおそらくΠ^1_1-CA_0上で連続体濃度まで拡張できることが示せます。言い直すと、任意の直線との交点が高々2点の連続体濃度の集合の存在がΠ^1_1-CA_0で示せそうです。(以下の文献あたりを組み合わせるとそのように思いました) [1]Arnold W. Miller, Descriptive set theory and forcing [2]S. G. Simpson, Subsystems of second order arithmetic [3]Alberto Marcone, Borel quasi-orderings in subsystems of second-order arithmetic [1]のP.112では「任意のΣ^1_1(bold face) 集合は、可算個の直線で被覆できる、もしくはどの3点もco-linearな完全集合が存在する」ことが紹介されています。(Σ^1_1集合としてR^2を取れば目的(高々2点)の集合を得る) 証明のテクニックとしてはGandy(-Harrington) forcingを使うのですが、この強制法はATR_0上で二階算術において再現できます。[3] また併せて使用するMostowski絶対性の二階算術版と言える、beta-modelの存在はΠ^1_1-CA_0で示せます。[2] G-H forcing (とMostowski絶対性)を使う証明の典型はSilverの定理なのですが、[2]ではSilverの定理のΠ^1_1-CA_0での証明が書かれています。証明のやり方は同じなので、弱めた主張(高々2点ver)もΠ^1_1-CA_0で示せるはずです。またMostowski絶対性が必要ない可能性もあって、その場合ATR_0で示せることになります。 (実際、主張を少し弱めたSilverの定理はATR_0で示せることが[3]で指摘されています。Π^1_1同値関係をBorel同値関係に弱めるという内容です。集合の複雑性で証明の強さが変わるのであれば、Σ^1_1集合ではなく実際はR^2で良いということなのでATR_0で示せる可能性は充分あると思います) 上記の結論としては、弱めた形の主張が二階算術の範囲で証明できるということなので、元の主張(two-point setの存在)ももしかしたら二階算術の範囲で示せるかもしれないのかな？と思いました。 一方で、長々と2階の範囲で証明できる可能性について記述しておいてといったところではあるのですが、個人的には二階算術の範囲は超えるような気がしています笑 この動画の証明で使用されている「連続体濃度の高さまでの超限帰納法」ですが、これについては二階算術の範囲を超えていたように記憶しています。このタイプの帰納法を使用する別の定理としてVitaliの定理(非可測集合の存在)があります。Vitaliの定理についてかつて指導教員と話していたところ、「Vitaliの定理はZ_2(2階のfull comprehension)くらいは必要になってくる」といった話をされていました。(ソースはないのですが、確かMoschovakisのdescriptive set theoryにそう書いてあった、といってたような気がします) 記憶が定かでないので怪しいですが、Vitaliの定理のように連続体濃度の超限再帰を使用する定理で二階算術の範囲を超えるものがある(と思われる)ので、同じように連続体濃度の超限再帰を使用するtwo-point set の存在も二階算術を超えるのではないかと感じました。 最終的な結論としては、two-point setの存在は2階算術よりも少し強い体系は必要になってくるような気がしています。ただ、通常の選択公理(ZF+C)ほど強い体系は必要ないのかなと予想します。

関連する話題として、3次元空間は互いに交わらない単位円で埋め尽くすことができる、というのもあります J. H. Conway and H. T. Croft. Covering a sphere with congruent great-circle arcs. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 60:787 - 800, 10 1964

2:34 連続体仮説は認めません。ald-dです

「三点が直線上に並ぶことを避けてひたすら点を取っていけばよい」という素朴な操作を連続体濃度回実行するという暴挙を肯定してくれる選択公理と超限帰納法のことが好きになりました

超元気農法💪出た!

イチコメ！

とある受験生を釣るスレで『犬でもわかる超準解析』なる参考書が爆誕していたので見に来ました。 最初サラッと調べた感じ無限小を加えた実数の体を考えるってなんだ拡大実数みたいなものかと思いつつ目についたこの動画を開いてみると想像を超えた世界が待っていました。自然な大小関係を入れて無限大、無限小を扱いつつも定義は厳格なのが素晴らしいですね。その手があったかと。 ところで、これが受験生の手に渡ったところで、一体何の役に立つんでしょうか（

質問者の意図と違うかもしれませんが「射が等しい」という状況を具体的にイメージできないという悩みでしたら自分にもありました。頭の中で圏を構成する射を一つ一つ「○」に置き換え、集合の要素のように考えるようにしたらモヤモヤが晴れました。「○」同士がぴったり重なる場合、「射が等しい」と考えます。

サムネ滅茶苦茶しぐれういに見えた

圏論ってチラ見しかしてなくて、射と写像って何が違うのかとおもってたんですが・・・なんか分かった気になりました。ありがとうございます。

参考文献の二本目の著者です。参考文献に載せていただいて嬉しいです。ありがとうございます。

ティアラメンツの何がヤバいって「効果は強いけどデメリットがある」はずが「効果が強くてアドが取れる」バケモンカードばかりなところですね。あと効果破壊で倒せない。 キャラは可愛い(カッコイイ)のに常に禁止ギリギリのシリーズすぎて…

何となく分かりました。どうもありがとうございます。

かわいい、かも？

中年の夢の紹介も待ってます